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%Tapuscrit Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve de contrôle continu}
\lfoot{\small{Première générale sujet 65}}
\rfoot{\small{mai 2020}}
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\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU \no 2~\decofourright\\[5pt]Sujet 65 mai 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - CLASSE : Première Générale }

\vspace{1cm}

 \textbf{\textsc{Exercice }1 \hfill 5 points}
  
\medskip

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse devra être justifiée.

\emph{Toute démarche de justification même non aboutie sera prise en compte.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on donne les points :
\[\text{A}(2~;~-2), \hspace{1.5em}\text{B}(4~;~0),\hspace{1.5em} \text{C}(0~;~-5),\hspace{1.5em} \text{D}(-7~;~1).\]
\begin{description}
\item[Affirmation 1 :] Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.
\item[Affirmation 2 :] Une équation de la droite perpendiculaire à (AB) passant par C est : \[y = x-5\]
\item [Affirmation 3 :] Une équation du cercle de centre A passant par B est : \[(x - 2)^2+(y + 2)^2 = 8\]
\end{description}
\item Soit $f$ la fonction définie pour tout $x\in]0~;~+\infty[$ par : \[f(x)=\frac{\e^x}{x}.\]
 On note $f'$ sa fonction dérivée.
\begin{description}
\item[Affirmation 4 :] $f'(1) = 0$
\end{description}
\item On donne : $\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$
\begin{description}
\item[Affirmation 5 :] $\sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)< 0$
\end{description}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

 \textbf{\textsc{Exercice }2 \hfill 5 points}
  
\medskip

Une entreprise produit entre 1 millier et 5 milliers de pièces par jour. Le coût moyen de production d'une pièce, en milliers d'euros, pour $x$ milliers de pièces produites, est donné par la fonction $f$ définie pour tout réel $x\in[1~;~5]$ par :

\[f(x)=\dfrac{0,5x^3-3x^2+x+16}{x}\]

\begin{enumerate}
\item Calculer le coût moyen de production d’une pièce lorsque l’entreprise produit 2 milliers de pièces.
\item On admet que [de] $f$ est dérivable sur [1 ; 5] et on note $f'$ sa fonction dérivée.

 Montrer que pour tout réel $x\in[1~;~5]$, \[f'(x)=\dfrac{x^3-3x^2-16}{x^2}\]
\item Vérifier que, pour tout réel $x$, \[x^3 - 3x^2 - 16 =(x - 4)(x^2 +x + 4)\]
\item En déduire le tableau de variation de $f$ sur [1~;~5].
\item Déterminer le nombre de pièces à fabriquer pour que le coût moyen de production d’une pièce soit minimal, ainsi que la valeur de ce coût minimal.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice }3 \hfill 5 points}

\medskip

Un complexe cinématographique a ouvert ses portes en 2018 en périphérie d’une ville.
En 2018, le complexe a accueilli 180 mille spectateurs. La gestionnaire du complexe prévoit une augmentation de 4\,\% par an de la fréquentation du complexe.

Soit $n$ un entier naturel. On note $u_n$ le nombre de spectateurs, en milliers, du complexe cinématographique pour l’année $(2018+n)$. On a donc $u_0=180$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Étude de la suite $\left(u_n\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer le nombre de spectateurs en 2019.
		\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique. Préciser sa raison.
		\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
	\end{enumerate}
\item Un cinéma était déjà installé au centre-ville. En 2018, il a accueilli \np{260 000} spectateurs. Avec l’ouverture du complexe, le cinéma du centre-ville prévoit de perdre \np{10 000} spectateurs par an.
Pour $n$, entier naturel, on note $v_n$ le nombre de spectateurs, en milliers, accueillis dans le cinéma du centre-ville l’année $(2018 + n)$. On a donc $v_0 = 260$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(v_n\right)$ ?
		\item On donne le programme ci-dessous, écrit en Python.

\begin{python}
def cinema() :
	n = 0
	u = 180
	v = 260
	while u < v :
		n = n + 1
		u = 1.04*u
		v = v - 10
	return n
\end{python}
	\end{enumerate}
Quelle est la valeur renvoyée lors de l’exécution de la fonction cinema() ? 

L’interpréter dans le contexte de l’exercice.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice }4 \hfill 5 points}
  
\medskip

La gestionnaire d’un cinéma s’intéresse à la catégorie des films vus par ses spectateurs, ainsi qu’à leur consommation au rayon \og friandises\fg. Une étude sur plusieurs mois a montré que 40\,\% des spectateurs sont allés voir un film d’action, $35$\,\% un dessin animé et les autres une comédie.

Parmi les spectateurs allant voir un film d’action, la moitié achètent des friandises, alors qu’ils sont 80\,\% pour ceux allant voir un dessin animé et $70$\,\% pour ceux allant voir une comédie.

On interroge au hasard un spectateur sortant du cinéma et on note :
\begin{description}
\item[]$A$ l’évènement : \og le spectateur a vu un film d’action\fg,
\item[]$D$ l’évènement : \og le spectateur a vu un dessin animé\fg,
\item[]$C$ l’évènement : \og le spectateur a vu une comédie\fg,
\item[]$F$ l’évènement : \og le spectateur a acheté des friandises\fg.
\end{description}
\begin{enumerate}
\item  Reproduire et compléter sur la copie l’arbre de probabilité ci-dessous représentant la situation.

\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~~}\taput{}}
	{
	\TR{$F$}\taput{}
	\TR{$\overline{F}$}\tbput{}
	}
\pstree{\TR{$D$~~}\tbput{}}
	{\TR{$F$}\taput{}
	\TR{$\overline{F}$}\tbput{}
	}
\pstree{\TR{$C$~~}\tbput{}}
	{\TR{$F$}\taput{}
	\TR{$\overline{F}$}\tbput{}
	}
}
\end{center}

\item Démontrer que $p(F) = 0,655$.
\item On interroge au hasard un spectateur ayant acheté des friandises. Quelle est la probabilité qu’il ait vu un dessin animé ? On donnera l’arrondi à $10^{-3}$.
\item Une place de cinéma coûte 10 \euro. On considérera que si un spectateur achète des friandises, il dépense 18 \euro{} pour sa place de cinéma et ses friandises.

On note $X$ la variable aléatoire donnant le coût d’une sortie au cinéma pour un spectateur.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer la loi de probabilité de $X$.
\item En déduire le coût moyen par spectateur d’une sortie dans ce cinéma.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}