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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Première série générale}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{2020}}
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\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat Première  Métropole-La Réunion~\decofourright\\[6pt]série générale e3c \no 8 année 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Ce QCM comprend cinq questions indépendantes.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

\textbf{Aucune justification n'est demandée mais il peut être nécessaire d'effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.}

Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une question \textbf{sans réponse n'apporte ni ne retire de point.}

\medskip

\textbf{Question 1}

$\dfrac{\text{e}^{5x}}{\text{e}^{2x - 2}} = $

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$\text{e}^{3x + 2}$&\textbf{b.~~}$\text{e}^{3x - 2}$&\textbf{c.~~}$\text{e}^{2,5x - 2,5}$&\textbf{d.~~}$\text{e}^{7x - 2}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 2}

Soit la suite définie par : $\left\{\begin{array}{l c l}
u_0&=&2\\u_{n+1} &=& 3u_n - 2
\end{array}\right.$ pour $n \in \N$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$u_3 = 7$&\textbf{b.~~}$u_3 = 10$&\textbf{c.~~}$u_3 = 28$&\textbf{d.~~}$u_3 = 4$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
\medskip

\textbf{Question 3}

Dans un atelier 3\,\% des pièces produites sont défectueuses. On constate qu'au cours du
contrôle qualité, si la pièce est bonne, elle est acceptée dans 95\,\% des cas, et que si elle est défectueuse, elle est refusée dans 98\,\% des cas.

La probabilité qu'une pièce soit refusée est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$\np{0,0779}$&\textbf{b.~~}$\np{0,0294}$&\textbf{c.~~}$\np{0,0485}$&\textbf{d.~~}$0,98$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
   
\medskip

\textbf{Question 4}

Sachant que $\cos x = \dfrac{5}{13}$ et que $x$ est compris entre $- \dfrac{\pi}{2}$ et $0$, la valeur de $\sin x$ est: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$\dfrac{8}{13}$&\textbf{b.~~}$- \dfrac{8}{13}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{12}{13}$&\textbf{d.~~}$- \dfrac{12}{13}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 5}

La loi de probabilité d'une
variable aléatoire $X$ est donnée par le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Valeurs $x_i$&$-2$ &$0$& $5$\\ \hline
$p_i = P\left(X = x_i\right)$&0,3 &0,5 &0,2\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

L'espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$3$&\textbf{b.~~}$0,9$&\textbf{c.~~}$0,4$&\textbf{d.~~}$0,5$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

En 2019, le nombre d'abonnés à une page de réseau social d'un musicien était de \np{6000}. 

On suppose que chaque année, il obtient $750$ abonnés supplémentaires.

On désigne par $u_n$ le nombre d'abonnés en $2019 + n$ pour tout entier naturel $n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre d'abonnés en 2020 et 2021.
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ?
\item En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
\item En quelle année le nombre d'abonnés aura triplé par rapport à l'année 2019 ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Un médicament contre la douleur est administré par voie orale. La concentration du produit actif dans le sang, en milligramme par litre de sang, est modélisé par la fonction $f$ qui, au temps écoulé $x$ en heure, $x$ étant compris entre 0 et 6, associe:

\[f(x) = x^3 -12x^2 + 36x \quad \text{où} \quad x \in  [0~;~6].\]

Le produit actif est efficace si sa concentration dans le sang est supérieure ou égale à $5$ mg/L.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En exécutant le script Python ci-dessous, on obtient la liste $[0,\, 1,\,  1,\,  1,\,  1,\,  1,\, 0]$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{c X}
1& \texttt{liste=[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]}\\ 
2& \texttt{{\blue for} x {\blue in range}(0,7) :}\\
3& $\vline$\quad\texttt{{\blue if} x$**$3-12$*$x$**$2+36$*$x>=5:} \\
4&$\vline$\quad$\vline$\quad\texttt{liste[x]= l}\\
5&\texttt{{\blue print}(liste)}\\ 
\end{tabularx}
\end{center}

À l'aide de ce résultat, indiquer l'intervalle de temps en unité d'heures sur lequel le
médicament est efficace.
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0~;~6], calculer sa fonction dérivée.
\item Justifier que la tangente $T$ à la courbe représentative de la fonction $f$  au point A d'abscisse 4 admet pour équation réduite $y = -12x + 64$.
\item Démontrer que $f(x) - (-12x + 64) = (x - 4)^3$.
\item En déduire la position relative de la courbe représentative de la fonction $f$ par rapport à la tangente T au point A.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère le point A de coordonnées (3~;~1) ainsi que la droite $(d)$ d'équation cartésienne $x - 3y - 4 = 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point B d'abscisse 7 appartenant à la droite $(d)$.
\item Donner un vecteur normal à la droite $(d)$.
\item Déterminer une équation de la droite $(\Delta)$ perpendiculaire à la droite $(d)$ passant par le point A.
\item Calculer les coordonnées du projeté orthogonal H du point A sur la droite $(d)$.
\item Calculer la distance AH et en donner une interprétation.
\end{enumerate}
\end{document}