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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Première série générale}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{2020}}
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\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat Première  Métropole-La Réunion~\decofourright\\[6pt]série générale e3c \no 9 année 2020 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d'elles, une seule des affirmations proposées est exacte.

Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n'apporte ni ne retire de point.

\medskip

\textbf{Question 1}

On choisit au hasard un individu parmi les passagers en transit dans un aéroport. On a représenté ci-dessous un arbre de probabilités lié à certains évènements dont certains éléments ont été effacés.

On considère les évènements suivants:
\begin{itemize}
\item $A$ : \og le passager parle anglais \fg
\item $B$ : \og le passager ne parle pas anglais \fg
\item $E$ : \og le passager est un membre de l'Union Européenne \fg
\end{itemize}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~~}\naput{0,6}}
	{\TR{$E$}
	\TR{$\overline{E}$}\tbput{0,5}
	}
\pstree{\TR{$B$~~}}
	{\TR{$E$}\taput{0,3}
	\TR{$\overline{E}$}
	}
}
\end{center}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$P_B(E) = 0,12$&\textbf{b.~~}$p(E) = 0,42$&\textbf{c.~~}\small La probabilité que le passager choisi soit européen et ne parle pas anglais est 0,3&\textbf{d.~~}$P(A \cup B) = 1,1$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 2}

Le plan est muni d'un repère orthonormé. Soit $D$ la droite d'équation $3x + y - 2 = 0$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}Le point de coordonnées $(6~;~-15)$ appartient à $D$&\textbf{b.~~}$D$ est perpendiculaire à la droite d'équation $12x + 4y = 0$&\textbf{c.~~}Le vecteur de coordonnées
(1~;~3) est un vecteur directeur de $D$.&\textbf{d.~~}\small Le vecteur de coordonnées
(3~;~1) est un vecteur directeur des droites perpendiculaires à $D$.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 3} On considère dans l'ensemble des réels l'équation trigonométrique $\sin x = 1$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}Cette équation admet une unique solution dans l'ensemble des réels&\textbf{b.~~}Cette équation admet une infinité de solutions dans l'ensemble des réels&\textbf{c.~~}$2\pi$ est une solution de cette équation&\textbf{d.~~}$- \dfrac{57\pi\rule{0pt}{11pt}}{2\rule[-3pt]{0pt}{0pt}}$ est une solution de cette équation\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 4}

Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$
et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~} La courbe $\mathcal{C}$ n'admet pas de tangente au point d'abscisse $0$&\textbf{b.~~}La tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ pour équation $y = 2x$&\textbf{c.~~} La tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ a pour coefficient directeur 1&\textbf{d.~~}La tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ est parallèle à l'axe des abscisses\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 5}

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-2~;~ +\infty[$ par:

\[f(x) = \dfrac{x - 3}{x+2}\]

$f$ est dérivable sur l'intervalle $]-2~;~ +\infty[$ et pour tout réel $x$ de $]-2~;~ +\infty[$, on a :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$f'(x) = 1$&\textbf{b.~~}$f'(x) = \dfrac{2x - 1}{(x + 2)^2\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}$&\textbf{c.~~}$f'(x) = \dfrac{5}{(x + 2)^2}$&\textbf{d.~~}$f'(x) = 2x - 1$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

À la naissance de Lisa, sa grand-mère a placé la somme de \np{5000}~euros sur un compte et cet argent est resté bloqué pendant $18$ ans.

Lisa retrouve dans les papiers de sa grand-mère l'offre de la banque :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Offre}\\ \hline
Intérêts composés au taux annuel constant de 3\,\%.\\
À la fin de chaque année le capital produit 3\,\% d'intérêts qui sont intégrés au capital.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On considère que l'évolution du capital acquis, en euro, peut être modélisée par une suite 
$\left(u_n\right)$ dans laquelle, pour tout entier naturel $n$,\, $u_n$ est le capital acquis, en euro, $n$ années après la naissance de Lisa.

On a ainsi $u_0 = \np{5000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $u_1 = \np{5150}$ et $u_2 = \np{5304,5}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. 
		
En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$  en précisant sa raison et son premier terme.
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item  Calculer le capital acquis par Lisa à l'âge de $18$ ans. Arrondir au centième.
\item  Si Lisa n'utilise pas le capital dès ses $18$ ans, quel âge aura-t-elle quand celui-ci dépassera \np{10000} euros ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip
Le rectangle OABC ci-dessous représente une place touristique vue de dessus. Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij{} tel que $\vect{\text{OC}} = 24\vect{\imath}$ et $\vect{\text{OA}} = 35\vect{\jmath}$.

Afin d'éclairer le plus grand nombre de monuments, on place au point O, un projecteur lumineux qui permet d'éclairer la partie du plan délimitée par les segments
de droite [OK] et [OL] tels que K est le milieu de [AB] et $\vect{\text{CL}} = \dfrac{1}{5}\vect{\text{CB}}$.

\begin{figure}
\begin{center}
\psset{unit=0.25cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(-2,-2)(30,38)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=aliceblue](12,35)(0,0)(24,7)(24,35)
\multido{\n=0+2}{16}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,38)}
\multido{\n=0+2}{20}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(30,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=50,Dy=50]{->}(0,0)(0,0)(30,38)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=50,Dy=50]{->}(0,0)(0,0)(0.5,0.5)
\psframe(24,35)
\psline(12,35)(0,0)(24,7)
\uput[ur](0,35){A} \uput[ur](24,35){B}\uput[ur](24,0){C}\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](12,35){K}\uput[r](24,7){L}
\uput[u](29,0){$x$}\uput[r](0,37){$y$}\uput[d](24,0){24}\uput[l](0,35){35}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{figure}

\begin{enumerate}
\item Déterminer par lecture graphique les coordonnées des points A, B, C, K et L.
\item Un visiteur affirme : \og Moins de 70\,\% de la surface de la place est éclairée \fg.

Cette affirmation est-elle exacte ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{OK}}$ et $\vect{\text{OL}}$.
		\item Montrer que le produit scalaire $\vect{\text{OK}} \cdot \vect{\text{OL}}$ est égal à $533$.
		\item En déduire la mesure, arrondie au degré, de l'angle $\widehat{\text{KOL}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par $f(x) =x^3 -x^2 -x-1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x$,\: $f'(x) = 3\left(x + \dfrac{1}{3}\right)(x - 1)$
		\item En déduire le tableau de variation de $f$ sur $[0~;~ +\infty[$.
		\item Déterminer l'abscisse du point de la courbe représentative de $f$ pour lequel le
coefficient directeur de la tangente vaut $7$.
	\end{enumerate}
\item On note $x_0$ l'unique solution de l'équation $f(x) = 0$. On admet que $x_0 \in [1~;~2]$.

 On considère la fonction suivante définie en langage Python.
 
 \begin{center}
 \begin{tabularx}{0.55\linewidth}{|c X|}\hline
1& \texttt{{\blue def} zero\_de\_f(n) :}\\
2& \texttt{a = 1}\\
3& \texttt{b = 2}\\
4&\texttt{{\blue for} k {\blue in range}(n) :}\\
5&\quad\texttt{x = (a + b)/2}\\
6&\quad\texttt{{\blue if} x$**$3 - x$**$2 - x - 1 < 0 :}\\
7&\qquad\texttt{a = x}\\
8&\quad\texttt{{\blue else} :}\\ 
9&\qquad\texttt{b = x}\\
10&\texttt{{\blue return} a, b}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item On applique cette fonction pour $n = 3$. Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant, jusqu'à l'arrêt de l'algorithme.
		
 \begin{center}
 \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Itération	&$x = \dfrac{a+b}{2}$	&$f(x)< 0$ ?&$a$&$b$&Amplitude de $[a~;~b]$\\ \hline
$k = 0$		&1,5					&OUI		&1,5& 2	&0,5 \\ \hline
$k = 1$		&						&			&	&	&\\ \hline
$k = 2$		&						&			&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end
		\item En déduire un encadrement de $x_0$, d'amplitude $0,125$, par deux nombres décimaux.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}