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% Tapuscrit Vincent Tolleron
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Mercatique}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}  
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STG  Antilles-Guyane juin 2008~\decofourright\\
Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
%
%Pour chaque question, trois réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.
% 
%On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte.
%  
%\emph{Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse fausse retire $0,5$~point, une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à zéro.}
%
%\medskip  

\textbf{I.} %Le nombre $\text{e}^{\frac{2}{3}} \times \text{e}^{\frac{1}{3}}$ est égal à :
Réponse \textbf{a.} : $\text{e}^{\frac{2}{3}} \times \text{e}^{\frac{1}{3}} = \text{e}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = \text{e}^{1} = \text{e}$.
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}~~ e &\textbf{b.}~~ $1$&\textbf{c.} ~~$\text{e}^{\frac{2}{9}}$\\
%\end{tabularx}

\medskip

\textbf{II.} %Une société de crédit propose un prêt à intérêts composés dont le taux mensuel est de 0,9\,\%. Le taux annuel correspondant, arrondi à 0,1\,\%, est :
Réponse \textbf{a.} : augmenter 12 fois de 0,9\,\%, c'est multiplier par $1,009^{12} \approx 1,114$ soit un taux de 11,4\,\% annuel.
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}~~ 10,8\,\% &\textbf{b.}~~12,1\,\%&\textbf{c.} ~~11,4\,\%\\
%\end{tabularx}

\medskip

\textbf{III.} %Le tableau ci-dessous donne les résultats d'un groupe de candidats à un examen en fonction de l'étude de leur première langue vivante.
Réponse \textbf{c.} : la probabilité de rencontrer un élève reçu et étudiant l'allemand est $\dfrac{68}{117 + 68 + 33} = \dfrac{68}{218} \approx \np{0,3119} \approx 0,312$. 
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash} X|}}\cline{2-4}
%\multicolumn{1}{c|}{}&	Anglais&	Allemand&	Russe\\ \hline
%Admis	&117&	68& 	33\\ \hline
%Refusé	&16&	9&	7\\ \hline
%\end{tabularx}

%\medskip
%
%On rencontre au hasard un candidat. Il dit qu'il est admis. La probabilité que sa première langue étudiée soit l'allemand est à $10^{-3}$ près :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}~~ 0,272 &\textbf{b.}~~0,883&\textbf{c.} ~~0,312\\
%\end{tabularx}\\  

\textbf{IV.} %Une entreprise étudie l'évolution du nombre de ses clients. Elle a recensé les résultats dans le tableau suivant :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash} X|}}\hline
%Année&2002&	2003&	2004&	2005&	2006\\ \hline
%Rang de l'année $x_{i}$&1&	2& 	3&4&5\\ \hline
%Nombre de clients $y_{i}$&120&	126&130&135&142\\ \hline
%\end{tabularx}
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés est :
Réponse \textbf{b.} : (calculatrice ou par le calcul on disqualifie la première et la troisième équation)
\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}~~ $y= - 0,19x+21,44$ &\textbf{b.}~~$y=5,3x+ 114,7$&\textbf{c.} ~~$y=5,3x - \np{10490,6}$\\
%\end{tabularx} 

\item  %On choisit de réaliser un ajustement du nuage de points de la série précédente par la courbe d'équation $y = 115,44 \times  1,04^x$. En supposant que cet ajustement reste valable pour les années suivantes, une estimation du nombre de clients en 2008 est de :
Réponse : \textbf{b.} 2008 correspond à $x = 7$, d'o\`u $y = 115,44 \times 1,04^{7} \approx 151,911 \approx 152$.
%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}~~ 158 &\textbf{b.}~~152&\textbf{c.} ~~840\\
%\end{tabularx} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

%Une entreprise fabrique des pièces de haute technologie. La fabrication hebdomadaire est limitée à \np{2000}~pièces. Le prix de vente de $100$~pièces est fixé à \np{15000}~\euro.
%
%La recette en milliers d'euros, obtenue pour la vente de $x$ centaines de pièces est donc $R(x) =15x$.
% 
%Le graphique fourni en annexe donne la représentation graphique $R_{1}$ de la fonction $R$ et la représentation graphique $C_{1}$ de la fonction coût de production notée $C$ sur l'intervalle [0~;~ 20].
%
%\medskip

\textbf{Partie A :  lectures graphiques}

\medskip

%Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes :
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Quel est le coût de production de $900$~pièces ?
On lit pour $x = 9$, $y = 120$ milliers d'euros.
\item  %Quelle fabrication hebdomadaire correspond à un coût de production de \np{90000}~\euro ?
Inversement 90 milliers d'euros correspondent à une production de 7 centaines de pièces, soit 700~pièces.
\item  %Combien l'entreprise doit-elle fabriquer et vendre de pièces pour être bénéficiaire ?
On voit que la droite est au dessus de la courbe lorsque $2 < x <14$.

Il faut qu'elle fabrique entre 200 et \np{1400} pièces pour être bénéficiaire.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%On admet que la fonction $C$ définie sur l'intervalle [0 ; 20] est donnée par :
%
%\[C(x) = 0,5x^2 + 6,5x + 10 + 4,5\ln (x + 1).\]
%
%On rappelle que le coût de production, en milliers d'euros, est le nombre $C(x),~ x$ étant le nombre de centaines de pièces produites ($x$ est compris entre $0$ et $20$~centaines de pièces). On admet que toutes les pièces produites sont vendues.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que le bénéfice est donné par la fonction $B$, définie sur [0~;~20] par :
		
%\[B(x) = - 0,5x^2 + 8,5x - 10 - 4,5\ln (x + 1).\]
On a $B(x) = R(x) - C(x) = 15x - \left(0,5x^2 + 6,5x + 10 + 4,5\ln (x + 1) \right) = - 0,5x^2 + 8,5x - 10 - 4,5\ln (x + 1)$.

%On note $B'$ la fonction dérivée de $B$ sur l'intervalle [0~;~20].
		\item  %Calculer $B'(x)$.
Sur [0~;~20], $B'(x) = - 2 \times 0,5x + 8,5 - 4,5 \times \dfrac{1}{x + 1} = - x + 8,5 - \dfrac{4,5}{x + 1}$.
		\item  %Vérifier que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~20], $B'(x) = \dfrac{(x + 0,5)(8 - x)}{x + 1}$.
On a $\dfrac{(x + 0,5)(8 - x)}{x + 1} = \dfrac{8x - x^2 + 4 - 0,5x}{x + 1} = \dfrac{- x^2 + 7,5x + 4}{x + 1}$.

D'autre part $B'(x) = - x + 8,5 - \dfrac{4,5}{x + 1} = \dfrac{(- x + 8,5)(x + 1) - 4,5}{x + 1} = \dfrac{- x^2 - x + 8,5x + 8,5 - 4,5}{x + 1} = \dfrac{- x^2 + 7,5x + 4}{x + 1}$.

On trouve dans les deux cas la même expression  : on peut donc écrire  :

$B'(x) = \dfrac{(x + 0,5)(8 - x)}{x + 1}$	
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Justifier que le signe de $B'(x)$ est celui de $(8 - x)$ sur l'intervalle [0~;~20].
		Comme $0\leqslant x \leqslant 20$, on a $1 \leqslant x + 1 \leqslant 21$, donc $x + 1 \geqslant 1 > 0$.
		
Le signe du quotient est celui du numérateur $(x + 0,5)(8 - x)$
		\item  %En déduire le signe de $B'(x)$ puis le tableau de variation de $B$ sur l'intervalle [0~;~20].
Un tableau de signes montre que $(x + 0,5)(8 - x)$ s'annule en $- 0,5$ et en $8$, que $(x + 0,5)(8 - x) > 0$ si $- 0,5 < x < 8$ et que $(x + 0,5)(8 - x) < 0$ si $x < - 0,5$ ou si $x > 8$.

Sur l'intervalle [0~;~20], la dérivée est donc positive sur [0~;~8], puis négative. D'o\`u le tableau de variations :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3) \psline(0,2)(7,2) \psline(0,2.5)(7,2.5)
\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.5){$x$} \uput[u](1.15,2.5){$0$} \uput[u](4,2.5){$8$} \uput[u](6.8,2.5){$20$}
\uput[u](0.5,1.9){$B'(x)$} \uput[u](2,1.9){$+$}\uput[u](4,1.9){0}\uput[u](5.5,1.9){$-$}
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)
\rput(0.5,1){$B(x)$}
\uput[u](1.4,0){$10$}\uput[u](6,0){$- 40 - 4,5\ln 21$}
\uput[u](5.3,0.4){$\approx - 53,7$} 
\end{pspicture}
\end{center}
 	\end{enumerate}
\item %Pour quelle fabrication hebdomadaire le bénéfice est-il maximal ? Quel est ce bénéfice maximal à l'euro près ?
La fonction $B$ est croissante puis décroissante : il existe donc un maximum obtenu pour $x = 8$ :

$B(8) = - 0,5 \times 8^2 + 8,5 \times 8 - 10 - 4,5\ln (8 + 1) = - 32 + 68  - 10 - 4,5 \ln 9 = 26 - 4,5\ln 9 \approx \np{16,1125}$ soit \np{16112,50}~euros.
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

%L'entreprise Iron SA exploite un filon de minerai de fer depuis 1950.
%
%La première année d'extraction l'entreprise a récupéré \np{20000}~tonnes de fer. Cependant depuis 1950, en raison des difficultés croissantes d'extraction, de l'appauvrissement du filon, les quantités extraites diminuent de 1\,\% par an.
% 
%On appelle $T_{n}$ le nombre de tonnes extraites l'année $(1950 + n)$. On a donc 
%
%$T_{0} = \np{20000}$.
%  
%\medskip
  
%\emph{Les résultats seront arrondis à la tonne.}
%
%\medskip
  
\begin{enumerate}
\item  %Justifier que $T_{1} = \np{19800}$ puis calculer $T_{2}$ et $T_{3}$.
$T_{1} = \np{20000} - 0,01\np{20000} = (1 - 0,01)\np{20000} = 0,99 \np{20000} = \np{19800}$.

\item  %Exprimer $T_{n+1}$ en fonction de $T_{n}$.
Chaque année la production diminue de 1\,\%, donc 

$T_{n+1} = (1 - 0,01)T_{n} = 0,99T_{n}$.

\item  %Quelle est la nature de la suite $\left(T_{n}\right)$ ? En déduire l'expression de $T_{n}$ en fonction de $n$.
La relation précédente signifie que la suite $\left(T_{n}\right)$ est géométrique de raison 0,99 et de premier terme $T_{0} = \np{20000}$.

On sait qu'alors $T_{n} = T_{0} \times q^n = \np{20000} \times 0,99^n$.
\item  %Quelle est la quantité extraite en 2008 ?
La quantité extraite en 2008 est $T_{58} = \np{20000} \times 0,99^{58} \approx \np{11165,3} \approx \np{11165}$.
\item  %Montrer que la quantité totale extraite entre 1950 et l'année $(1950 + n)$ est :

%\[S_{n} = \np{2000000}  \times  \left(1 - 0,99^{n+1}\right).\]
$S_{n} = = T-0 + T_{1} + \cdots + T_{n} = \np{20000} + \np{20000}\times 0,99 + \np{20000} \times 0,9^2 + \cdots + \np{20000} \times 0,9^n = \np{20000}\left(1 + 0,9 + 0,99^2 + \cdots + 0,99^n \right)$.

La somme des termes de la parenthèse est la somme des $n + 1)$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 0,99. On sait que cette somme est égale à $\dfrac{1 - 0,99^{n+1}}{1 - 0,99} = \dfrac{1 - 0,99^{n+1}}{0,01} = 100\left(1 - 0,99^{n+1} \right)$.

Donc $S_{n} = \np{20000} \times 100\left(1 - 0,99^{n+1} \right) = \np{2000000}  \times  \left(1 - 0,99^{n+1}\right)$.

\item  %En 1950, les géologues estimaient que ce filon recelait \np{1000000} de tonnes de métal, En quelle année théoriquement le filon sera-t-il épuisé ?
Il faut résoudre l'équation :

$\np{2000000}\left(1 - 0,99^{n+1} \right) = \np{1000000}$ c'est-à-dire $1 - 0,99^{n+1} = 0,5$ ou $0,5 = 0,99^{n+1}$ soit en prenant le logarithme :

$\ln 0,5 = (n + 1)\ln 0,99$ et enfin $n + 1 = \dfrac{\ln 0,5}{\ln 0,99} \approx 68,96$. D'o\`u $n \approx 67,96$.

Le filon sera épuisé la soixante huitième année soit en 2018.
\end{enumerate}
 
%\medskip
% 
%\textbf{Formulaire :}
%
%\medskip
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item  La somme $S$ des $(n + 1)$ premiers termes d'une suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ est donnée par :
%
%\[S = u_{0}+u_{1}+ \cdots + u_{n} =(n+1)\times \dfrac{u_{0}+ u_{1}}{2}.\]
%
%\item  La somme $S$ des $(n + 1)$ premiers termes d'une suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ de raison $q\: (q > 1)$ est
%donnée par :
%
%\[S = u_{0}+u_{1}+ \cdots + u_{n}= u_{0} \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.\]
%
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\medskip

%\textbf{Évolution de la population en France}
%
%\medskip
%
%\emph{Le tableau ci-dessous est extrait d'une feuille de calcul d'un tableur.}
%
%\emph{Il donne les populations urbaine et rurale françaises, en millions de personnes, entre 1954 et 1999.}
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{c|}*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&A&B&C&D&E&F\\ \hline
%1&\multicolumn{6}{c|}{Populations urbaine et rurale en France métropolitaine}\\ \hline
%2&&Population&	Population&	Population&	Taux de&	Indice de\\
%\multirow{2}{0.2cm}{3}&\multirow{2}{0.5cm}{}&urbaine&	rurale&	totale&	population&	population\\
%&&(en millions)&	(en millions)&	(en millions)&	urbaine (en \%)&	urbaine\\ \hline
%4&1954&	24,5&	18,2&	42,7&	57,4&	100\\ \hline
%5&1962&	29,4&	17,1&	&	&\\ \hline
%6&1968&	34,8&	14,9&	&	&\\ \hline
%7&1975&	38,4&	14,2&	&	&\\ \hline
%8&1982&	39,9&	14,5&	&	&\\ \hline
%9&1990&	41,9&	14,7&	&	&\\ \hline
%10&1999&	44,2&	14,3&	&	&\\ \hline
%11&&&&&&\\ \hline
%12&\multicolumn{6}{c|}{Source INSEE, recensement de la population}\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%\textbf{Dans cet exercice, on exprimera les taux en pourcentage et on arrondira les indices et les pourcentages au dixième.}

\begin{enumerate}
\item  %Calculer pour l'année 1962 le taux de population urbaine en France par rapport à la population totale.
Le taux de population urbaine en France par rapport à la population totale est égal à :

$\dfrac{29,4}{29,4 + 17,1} = \dfrac{29,4}{46,5} \approx 0,632$ soit 63,2\,\%.
\item  %On fixe l'indice de population urbaine à la base 100 en 1954. Quel est l'indice de population urbaine en 1962 ? En 1982 ?
L'indice en 1962 est égal à $\dfrac{29,4}{24,5}\times 100 = 120$.

L'indice en 1982 est égal à $\dfrac{39,9}{24,5}\times 100 \approx 161,18 \approx 161,2$.
\item  %On s'intéresse dans cette question à l'évolution de la population totale.
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer qu'avec l'arrondi fixé le taux d'évolution global de la population française entre 1954 et 1999 est 37\,\%.
		En 1999 la population totale est égale à $44,2 + 14,3 = 58,5$.
		
Le taux d'évolution global de la population française entre 1954 et 1999 est $\dfrac{58,5}{42,7} - 1 \approx 0,370$, soit 37\,\%.
		\item  %En déduire le taux annuel moyen d'augmentation entre 1954 et 1999.
Le taux annuel moyen d'augmentation sur ces 45 années est le nombre $t$ tel que $t^{45} = 1,37$ soit $t = 1,37^{\frac{1}{45}} \approx \np{1,0070}$, ce qui correspond à un taux moyen annuel de 0,7\,\%.
		\item  %Donner des formules à insérer dans la feuille de calcul précédente qui, entrées dans les cellules D5, E5 et F5, permettent par recopie vers le bas d'obtenir la plage des cellules D5 : F10.
Formule : = B5/B\$4*100		
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\newpage
	
\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 2} \end{flushleft}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.05cm}
\begin{pspicture}(-1,-10)(21,320)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=20]{->}(0,0)(-1,-10)(21,320)
\multido{\n=0+0.5}{43}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.6pt](\n,0)(\n,320)}
\multido{\n=0+10}{33}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.6pt](0,\n)(21,\n)}
\uput[d](21,0){$x$} \uput[l](0,320){$y$} \uput[u](18,0){Nombre de centaines de pièces}\rput{90}(-2.5,300){milliers d'euros}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=6000]{0}{18.5}{x 2 exp 0.5 mul 6.5 x mul add 10 add x 1 add ln 4.5 mul add}
\psplot{0}{20}{15 x mul}
\uput[d](19,280){$R_{1}$} \uput[d](19,320){$C_{1}$}
\end{pspicture}
\end{center}	
\end{document}