\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{colortbl}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès 
\usepackage{pst-plot}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Mercatique}  
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STG Mercatique ~\decofourright\\Antilles--Guyane septembre 2008}} 
    
\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM)
%
%Pour chaque question, trois réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.
%
%On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte. Aucune justification n'est demandée.
% 
%\emph{Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse fausse retire $0,5$~point, une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif la note attribuée à l'exercice est ramenée à zéro}.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %On place un capital de 100~euros à 3,8\,\% par an à intérêts composés.
 
%Pour tout entier naturel $n$, on note $D_{n}$ le capital obtenu au bout de $n$ années, On a donc $D_{0} = 100$.
 
%La suite $\left(D_{n}\right)$ ainsi obtenue est :
Chaque année le capital est augmenté de 0,038 de sa valeur. Le capital est donc chaque année multiplié par $1,038$. C'est donc une suite géométrique de raison $1,038$. Réponse b.
\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.} arithmétique de raison $1,038$& 
%\textbf{b.} géométrique de raison $1,038$& \textbf{c.} géométrique de raison $3,8$\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\item  %Le prix de l'immobilier dans une ville a augmenté de 22\,\% en un an.

%Le taux d'évolution mensuel moyen équivalent, arrondi à $0,001$\,\%, est de :
Il faut trouver le nombre $t$ tel que $t^{12} = 1,22$ soit $t = 1,22^{\frac{1}{12}} \approx \np{1,016708}$ ce qui correspond à un taux annuel moyen de $1,671$\,\%. Réponse c. 
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}   
%\textbf{a.}~~ 1,833\,\% & \textbf{b.}~~ 1,017\,\% &	\textbf{c.}~~ 1,671 \,\% \\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
\item  %Pour tout nombre réel $x$ strictement positif, la fonction $f$ définie par : 

%$f(x) = x^2- \ln (x)$  admet pour fonction dérivée la fonction $f'$ définie par : 

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}   
%\textbf{a.}~~ $f'(x)  = \dfrac{2x^2-1 }{x}$&
%\textbf{b.}~~ $f'(x) = \dfrac{2x- 1}{ x}$& 
%\textbf{c.}~~ $f'(x) = x^2 - \dfrac{1}{x}$\\
%\end{tabularx}
On a pour $x > 0$, \: $f'(x) = 2x - \dfrac{1}{x} = \dfrac{2x^2-1 }{x}$. Réponse b.
\medskip 
\item %On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. Sachant que la carte tirée est un c{\oe}ur,  la probabilité que ce soit un roi est : 

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}   
%\textbf{a.}~~ $\dfrac{1}{2}$&\textbf{b.}~~ $\dfrac{1}{4}$&\textbf{c.}~~ $\dfrac{1}{8}$\\
%\end{tabularx}
Il y a 8 c{\oe}urs, donc la probabilité que ce soit le roi est $\dfrac{1}{8}$. Réponse c.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} 

\medskip

%L'évolution des ventes d'un produit fabriqué par une entreprise est donnée dans le tableau suivant : 
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.75cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année &1999 &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006\\ \hline 
%Rang de l'année $x_{i}$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 \\ \hline
%Ventes $y_{i}$ (en millions d'unités)&200 &202 &213 &225 &233 &241 &247 &252 \\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Représenter graphiquement le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques : 
 
%1 cm pour une année sur l'axe des abscisses ; 
%
%1 cm pour 10~millions sur l'axe des ordonnées (graduer l'axe des ordonnées à partir de 190).
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-2)(10,80)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=190,Dy=10]{->}(0,0)(-0.5,-2)(10,80)
\psdots(0,10)(1,12)(2,23)(3,35)(4,43)(5,51)(6,57)(7,62)(3.5,36.6)
\uput[u](5,0){Rang de l'année}
\uput[r](0,78){Ventes en millions d'années}
\uput[dr](3.5,36.6){G}
\psline(0,8)(7,64)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7}{199 2.71828 0.04 x mul exp mul  190 sub}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
 
\item  %Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points, Placer G dans le repère précédent. 
On trouve G(3.5~;~226,6)
\medskip

\end{enumerate}

%On cherche à faire une prévision pour l'année 2009. Dans ce but, on propose deux modèles. 

\bigskip

\textbf{Partie B : Modèle affine}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, une équation de la droite ($D$) d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients à l'unité).
La calculatrice livre :

$y = 8x + 198$. 
\item %Tracer cette droite dans le repère précédent.
Voir sur le graphique 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : Modèle exponentiel} 

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~10]$  par : $f(x) = 199\text{e}^{0,04x}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %Quel est le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[0~;~ 10]$ ? Justifier la réponse.
La fonction $f$ a pour dérivée sur $[0~;~10]$ :

$f'(x) = 0,04 \times 199\text{e}^{0,04x} = 7,96\text{e}^{0,04x}$ : tous les termes de cette dérivée sont positifs, donc $f'(x) \geqslant 0$ : la fonction $f$ est croissante sur $[0~;~10]$. 
\item  %Recopier et compléter le tableau ci-dessous (on arrondira à l'unité) : 

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8	&9	&10\\ \hline 
$f(x)$	&199&207&216&224&234&243&253&263&274&285&296\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  %Tracer la courbe ($\mathcal{C}$) représentative de la fonction $f$ dans le repère précédent.
Voir la figure au dessus. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D}

\medskip
 
%Indiquer pour chacun des deux modèles, les prévisions que l'on peut effectuer sur le nombre de ventes du produit durant l'année 2009, 
2009 correspond à $x = 10$.

Avec le modèle affine on prédit $y = 8 \times 10 + 198 = 278.

Avec le modèle exponentiel on prédit $y = 199 \text{e}^{0,04 \times 10} = 199 \text{e}^{0,4} \approx 296,9$.
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [1~;~13] par :
%
%\[f(x) = x \ln (x) - 3x + 10. \]
%
%Une entreprise fabrique du dissolvant chimique. Lorsque l'entreprise fabrique $x$ centaines de litres par jour, le coût moyen de production du litre est égal à $f(x)$ ($x$ est compris entre 1 centaine et 13 centaines). Ce coût est exprimé en euros. 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Si l'entreprise produit 500~litres par jour, quel sera le coût moyen de production du litre, en euros, arrondi au centime ?
Pour $x = 5$ centaines $f(5) =  5 \ln (5) - 3\times 5 + 10 = 5 \ln (5) -  5 \approx 3,047$.

Le coût moyen de production du litre, en euros, arrondi au centime est environ 3,05~\euro.
\item %Montrer que $f'(x) = \ln(x) - 2$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle [1~;~13].
En dérivant le produit, on obtient : 

$f'(x) = \ln (x) + x \times \dfrac{1}{x} - 3 = \ln x  + 1  - 3 = \ln x - 2$.  
\item %Étudier le signe de $f'(x)$ puis établir le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle [1~;~13].
On a $f'(x)  \geqslant 0$ si  $\ln x - 2 \geqslant $ ou $\ln x \geqslant 2$ ou $\text{e}^{\ln x} \geqslant \text{e}^2$ et $x \geqslant \text{e}^2$.

On trouverait de la m\^eme fa\c{c}on que $f'(x) \leqslant 0$ si $x \leqslant \text{e}^2$.

La fonction est donc décroissante sur $\left[1~;~\text{e}^2\right]$ et croissante sur $\left[\text{e}^2~;~13\right]$.

On a $f(1) = 1 \ln 1 - 3 + 10 = 7$

$f(13) = 13\ln (13) - 3 \times 13 + 10 = 13\ln (13) - 29$.

$f\left(\text{e}^2 \right) = \text{e}^2\ln \text{e}^2 - 3 \times \text{e}^2 + 10 = 2\text{e}^2 - 3\text{e}^2 + 10 = 10 - \text{e}^2$.

D'o\`u le tableau de variations

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} 
\uput[u](1.1,2.4){$1$} 
\uput[u](4,2.4){$\text{e}^2$}
\uput[u](6.8,2.4){$13$} 
\uput[u](0.5,1.9){$f'(x)$} 
\uput[u](2.5,2){$-$} 
\uput[u](4,2){$0$} 
\uput[u](5.5,2){$+$}
\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5)
\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5)
\uput[d](1.1,2){7}\uput[u](4,0){$10 - \text{e}^2$}
\uput[d](6,2){$13\ln (13) - 29$}
\rput(0.5,1){$f(x)$}  
\end{pspicture}
\end{center}

\item %En déduire le nombre de litres à produire par jour pour que le coût moyen de production du litre soit minimum. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée au litre près. 
Le minimum de la fonction correspond à $x = \text{e}^2$ et on a vu que $f\left(\text{e}^2 \right) = 10 - \text{e}^2 \approx 4,34$.
%Préciser alors la valeur arrondie au centime du coût moyen de production du litre correspondant.

Il faut donc produire $\text{e}^2$ soit environ 261 litres pour obtenir un co\^ut moyen par litre minimum de $10 - \text{e}^2 \approx 2,61$~\euro au centime près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

%À l'aide d'une machine, un supermarché contrôle l'authenticité de \np{2000}~billets de banque. Les coupures de 20~\euro{} représentent 40\,\% de l'ensemble des billets contrôlés. 
%
%On a détecté 5 fausses coupures. Les billets de 20~\euro{} représentent 60\,\% des fausses coupures.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Reproduire et compléter le tableau suivant. Faire figurer le détail des calculs sur votre copie.

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5} 
\multicolumn{1}{c|}{~}&Coupure de 10~\euro &Coupure de 20~\euro&Coupure de 50~\euro& Total \\ \hline
Billets falsifiés&0&3& 2&5 \\ \hline 
Billets authentiques&600 &797&598&\np{1995}\\ \hline
Total &600&800&600& \np{2000}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

%Dans les questions suivantes, les réponses seront données sous la forme d'une fraction irréductible.

%Un billet est choisi au hasard parmi les \np{2000} billets contrôlés. 
% 
%On considère les évènements suivants : 
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] $F$ : \og le billet choisi est falsifié \fg{} ; 
%\item[] $C$ : \og le billet choisi est une coupure de 50~\euro{} \fg{} ;
%\item[] $V$ : \og le billet choisi est une coupure de 20~\euro{} \fg. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\item  %Définir par une phrase l'évènement $V \cap F$ et calculer $p(V \cap F)$.
$V \cap F$ : \og Le billet choisi est une coupure de 20~\euro{} falsifiée \fg.

$p(V \cap F) = \dfrac{3}{\np{2000}}$ 
\item  %Calculer la probabilité conditionnelle de $F$ sachant $C$ notée $p_{C}(F)$.
$p_{C}(F) = \dfrac{p(F \cap C}{p(C)} = \dfrac{2}{600} = \dfrac{1}{300}$. 
\item  %Calculer $p(F)$. Peut-on dire que les évènements $F$ et $C$ sont indépendants ? Justifier la réponse.
$p(F) = \dfrac{5}{\np{2000}} = \dfrac{1}{400}$.

Comme $p_{C}(F) \neq  p(F)$, les évènements $F$ et $C$ ne sont pas indépendants.
\end{enumerate}
\end{document}