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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Mercatique}    
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small 23 juin 2008}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STG Mercatique Métropole~\decofourright\\23 juin 2008}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).}
%
%\emph{Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte.}
% 
%\medskip
% 
%\emph{Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}
% 
%\medskip
%
%\emph{Une réponse juste rapporte $1$ point ; une réponse fausse enlève $0,25$ point et l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total des points est négatif la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.}
%
%\medskip
%
%Les deux premières questions se rapportent au tableau de variations  ci-dessous.
%
%On considère la fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~25].
%
%On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. La fonction $g$ admet le tableau de variations suivant :
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(8,3)
%\psframe(8,3)
%\psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5)  \psline(2,0)(2,3)
%\psline{->}(2.6,1.5)(4.5,0.5) \psline{->}(5.5,0.5)(7.5,1.5)
%\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.2,2.5){$0$} \uput[u](5,2.5){$5$} \uput[u](7.8,2.5){$25$} 
%\uput[u](1,1.9){$g'$} \uput[u](3.5,2){$-$} \uput[u](5,2){$0$} \uput[u](6.5,2){$+$}
%\rput(1,1){$g$} \uput[d](2.2,2){e}\uput[u](5,0){$1$}\uput[d](7.8,2){$10$}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item  %La fonction $g$ admet un minimum
Réponse \textbf{a.} 
%\begin{tabularx}{1.05\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}\quad  qui vaut $1$ pour $x =5$ ;&\textbf{b.}\quad qui vaut $0$ pour $x = 5$ ; &\textbf{c.}\quad qui vaut $1$ pour $x =  0$.\\
%\end{tabularx}

\item  %Sur l'intervalle [0~;~25 ], l'équation $g(x) = 3$ admet :
%
%\begin{tabularx}{1.05\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}\quad  aucune solution ;&\textbf{b.}\quad une unique solution ; &\textbf{c.}\quad deux solutions.\\
%\end{tabularx}
Réponse \textbf{b.}

\item  %L'équation $\text{e}^{-3x} = 5$ admet pour solution dans $\R$

%\begin{tabularx}{1.05\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}\quad  $- \dfrac{\ln (5)}{3}$ ;&\textbf{b.}\quad $3 + \ln (5)$ ; &\textbf{c.}\quad $- \ln \left(\dfrac{5}{3}\right)$.\\
%\end{tabularx}
Réponse \textbf{a.}

$\text{e}^{-3x} = 5$ d'o\`u $- 3x = \ln 5$, puis $3x = - \ln 5$...
\item  %Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$  par $f(x)  = 10 - 3\ln (x)$.
Réponse \textbf{c.}
%On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
%
%Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$ ;
%
%\begin{tabularx}{1.05\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}\quad  $f'(x)= 10 - \dfrac{3}{x}$ ;&\textbf{b.}\quad $f'(x) = \dfrac{7}{x}$ ; &\textbf{c.}\quad $f'(x) = - \dfrac{3}{x}$.\\
%\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

%Un club sportif multisports propose deux formules d'abonnement (et uniquement deux) ; la formule sport unique et la formule tous sports. Chaque adhérent ne souscrit qu'à une seule des deux formules.
%
%\medskip
%
%Dans le fichier des adhérents, en fin de saison, on constate que 40\:\% d'entre eux ont choisi la formule sport unique.
%
%\medskip
%
%Parmi ceux qui ont choisi la formule sport unique, 85\:\% reçoivent une aide municipale, tandis que seulement 25\:\% des personnes qui ont choisi la formule tous sports bénéficient de l'aide municipale.
%
%\medskip
%
%On choisit une fiche au hasard. On admet que chaque fiche a la même probabilité d'être choisie.
%
%On considère les évènements suivants :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item U : \og la fiche choisie est celle d'un adhérent ayant opté pour la formule sport unique \fg{};
%\item T : \og la fiche choisie est celle d'un adhérent ayant opté pour la formule tous sports \fg{};
%\item A : \og l'adhérent bénéficie de l'aide municipale \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Déterminer :
	\begin{enumerate}
		\item  %$P$(U), la probabilité de l'évènement U.
$P(\text{U}) = 0,4$
		\item  %$P$(T), la probabilité de l'évènement T.
$P(\text{U}) =  1 - P(\text{U}) = 1 - 0,4 = 0,6$.		
		\item  %$P_{\text{U}}$(A), la probabilité, sachant U, de l'évènement A.
$P_{\text{U}}$(\text{A}) = 0,85$.		
 	\end{enumerate}
\item %Calculer la probabilité que la fiche choisie soit celle d'un adhérent ayant opté pour la formule sport unique et bénéficiant de l'aide municipale.
On peut faire un arbre
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=1.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{U}\taput{0,4}}
	{
	\Tr{A}\taput{0,85}
	\TR{$\overline{\text{A}}$}\tbput{0,15}
	}
\pstree{\TR{T}\tbput{0,6}}
	{
	\Tr{A}\taput{0,25}
	\TR{$\overline{\text{A}}$}\tbput{0,75}
	}
}
\end{center}

On a donc $p(\text{U} \cap \text{A}) = p_{\text{U}}(\text{A}) \times p(\text{U}) = 0,4 \times 0,85 = 0,34$.	
\item %Montrer que la probabilité de l'évènement A est égale à $0,49$.
On calcule de m\^eme :

$p(\text{T} \cap \text{A}) = p_{\text{T}}(\text{A}) \times p(\text{T}) = 0,6 \times 0,25 = 0,15$.

D'o\`u $p(\text{A}) =  p(\text{U} \cap \text{A}) + p(\text{T} \cap \text{A}) = 0,34 + 0,15 = 0,49$.	
\item %Déterminer $P_{\text{A}}$(U), la probabilité, sachant A, de l'évènement U.
$P_{\text{A}}(\text{U}) = \dfrac{p(\text{U} \cap \text{A})}{p(\text{A})} = \dfrac{0,34}{0,49} \approx 0,69$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

%Une entreprise ne peut être créée en France que selon deux formes juridiques, à savoir soit sous la forme d'une société, soit sous la forme d'une entreprise individuelle. Le tableau ci-dessous rend compte, selon la forme juridique choisie, de la création d'entreprises en France lors des années 2000 à 2006.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année&	2000&	2001&	2002&	2003 &	2004&	2005&	2006\\ \hline
%	Pourcentage d'entreprises créées sous la forme d'une société& 	39,3&	40,1&	40,7&	41,9&	44,4&	45,6& 	47,1\\ \hline
%Pourcentage d'entreprises créées sous la forme d'une entreprise individuelle&	60,7&	59,9&	59,3&	58,1&	55,6&	54,4 &	52,9\\ \hline
%Nombre total d'entreprises créées& 	\nombre{270043}& \nombre{268619}& \nombre{268459}& \nombre{291 986}& 	\nombre{318757}& \nombre{316534}& \nombre{321938}\\ \hline
%\multicolumn{8}{r}{\emph{Source INSEE, répertoire des entreprises et des établissements (Sirene)}}\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer le nombre d'entreprises créées sous la forme d'une société en 2001.
\np{107716} entreprises ont été créées sous la forme d'une société en 2001.
\item %On construit le tableau ci-dessous des indices du nombre total d'entreprises en prenant pour indice de référence 100 en 2000.

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}p{2.25cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année&	2000&	2001&	2002&	2003 &	2004&	2005&	2006\\ \hline
%Nombre total	 d'entreprises créées& \nombre{270043}& 	\nombre{268619}& 	\nombre{268459}& 	\nombre{291986}& 	\nombre{318757}& 	\nombre{316534}& 	\nombre{321938}\\ \hline
%Indice	&100&&	99,41&	108,13&	118,04&& 119,22\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer l'indice arrondi au centième pour l'année 2001.
$I_{2001} = \dfrac{\np{269619}}{\np{270043}} \times 100  \approx 99,47$. 
		\item  %Déterminer l'indice arrondi au centième pour l'année 2005.
$I_{2005} = \dfrac{\np{316534}}{\np{270043}} \times 100	\approx 117,22$.	
 	\end{enumerate}
\item %Déterminer le taux d'évolution moyen annuel de création d'entreprises de 2000 à 2006.
En utilisant $I_{2006} = 119,22$, on obtient \np{1,1922} comme coefficient multiplicateur.

Le taux d'évolution moyen annuel de création d'entreprises de 2000 à 2006 est donc :

$\np{1,1922}^{\frac{1}{6}} - 1 \approx \np{0,02973} \approx 0,03$ ou encore environ 3\,\%.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\medskip

%Une entreprise a acheté une machine en 2000 pour une valeur de \nombre{50 000}~\euro{} et a noté la valeur de cette machine sur le marché de l'occasion jusqu'en 2005. Les résultats sont notés dans le tableau suivant :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}p{2.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année&	2000&	2001&	2002&	2003&	2004&	2005\\ \hline
%Rang de l'année $x_{i}$&	0&	1&	2&	3&	4&	5\\ \hline
%Valeur de la machine (en \euro) $y_{i}$&\nombre{50000}&	\nombre{42000}&	\nombre{36000}&	\nombre{32 000}&	\nombre{26500}&	\nombre{22 000}\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

%Une représentation du nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est donnée en annexe, à rendre avec la copie.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés (\emph{arrondir les coefficients à l'unité}).
La calculatrice donne $y = - \np{5443}x + \np{48357}$.
\medskip

%Pour l'étude qui suit, on retient comme ajustement affine la droite $\Delta$ d'équation $y = - \nombre{5440}x + \nombre{48400}.$
\item 	%Tracer la droite $\Delta$  sur le graphique de l'annexe, à rendre avec la copie.
Voir plus bas.
\item 	%En supposant que ce modèle reste valable pour les cinq années à venir, prévoir une estimation de la valeur de cette machine en 2007, puis en 2010.
Valeur de cette machine en 2007 :

- par lecture graphique environ \np{10000}~\euro ;

- en utilisant l'équation $y = - \np{5440}x + \np{48400}$, on trouve \np{10320}~\euro.

Valeur de cette machine en 2010 : en utilisant l'équation on trouve $- \np{6000}$~\euro.
\item 	%Commenter le dernier résultat.
Le dernier résultat signifie que garder la machine au delà de 2009 fera perdre de l'argent à l'entreprise.
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

%Le service comptable de cette entreprise remarque que pendant les années 2000 à 2005 la machine s'est dépréciée d'environ 15\:\% par an. Il suppose alors qu'à partir de 2005 la baisse annuelle sera de 15\:\%. Il pose $v_{0} = \nombre{22000}$ et note $\left(v_{n}\right)$ la suite donnant la valeur estimée, selon ce modèle, de la machine au bout de $n$ années de fonctionnement à partir de 2005.
%
%Ainsi, $v_{1}$ est la valeur estimée de la machine en 2006.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique ; déterminer sa raison.
Baisser chaque année de 15\,\%, c'est multiplier par $1 - 0,15 = 0,85$. Donc $v_{n+1} = 0,85 v_{n}$.

La suite $\left(v_{n}\right)$ est donc une suite géométrique de raison $0,85$ et de premier terme $v_{0} = \np{2200}$.
		\item  %Montrer que, pour tout entier naturel $n,~ v_{n} = \nombre{22000} \times (0,85)^n$.
		On sait que $v_{n} = v_{0} \times q^n = \np{2200}\times 0,85^n$.
  	\end{enumerate}
\item	%Le tableau suivant est un extrait d'une feuille de calculs. II donne la valeur estimée $v_{n}$ de la machine pour les années 2005 à 2011. Le format de la colonne D est un format numérique à zéro décimale.
	
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor[gray]{0.8}}c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\rowcolor[gray]{0.8}&A&B&C&D\\ \hline
%1&Année&	Valeur réelle de la machine&Rang de l'année à partir de 2005&Valeur estimée de la machine\\ \hline
%2&2000&\nombre{50000}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}\\ \hline3&2001&\nombre{42000}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}\\ \hline
%4&2002&\nombre{36000}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}\\ \hline
%5&2003&\nombre{32000}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}\\ \hline
%6&2004&\nombre{26500}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}\\ \hline
%7&2005&\nombre{22000}&0&\nombre{22000}\\ \hline
%8&2006&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&	1&	\nombre{18700}\\ \hline
%9&2007&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&	2&	\nombre{15895}\\ \hline
%10&2008&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&	3&	\nombre{13511}\\ \hline
%11&2009&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&	4&	\nombre{11 484}\\ \hline
%12&2010&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&5&\nombre{9762}\\ \hline
%13&2011&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&6&\nombre{8297}\\ \hline	
%\end{tabularx}
%
%\end{center}

%Donner une formule qui, entrée dans la cellule D8, permet, par recopie vers le bas, d'obtenir la plage de cellules D8:D13.
La formule est : = D7 * 0,85 ou encore \$D\$7 * (0,85)^C8.
\item 	%\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

%\medskip
%
%Selon ce modèle, à partir de quelle année la machine aura-t-elle une valeur inférieure à \nombre{5000}~\euro{}?
Selon ce modèle, la machine aura une valeur inférieure à \nombre{5000}~\euro{} à partir de 2015.

Méthode 1 : on calcule les termes successifs de la suite :

\np{22000}, \np{18700}, \np{15895}, \np{13510,80}, \np{11484,10}, \np{9761,52}, \np{8297,29}, \np{7152,70}, \np{5994,79}, \np{5095,57}, \np{4331,24}.

Méthode 2 : on résout l'inéquation $\np{22000}\times 0,85^n < \np{5000}$  ; on obtient $n > 9,1$ soit $n$ au moins égal à 10.
\end{enumerate}
	
\newpage
	
\begin{center}

\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.0003cm}
\begin{pspicture}(0,-10000)(12,60000)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=10000]{->}(0,0)(0,-10000)(12,60000)
\uput[d](6,-10000){Rang de l'année}
\rput{90}(-1.5,25000){Valeur estimée de la machine}
\multido{\n=0+0.4}{31}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,-10000)(\n,60000)}
\multido{\n=-10000+1000}{71}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(12,\n)}
\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45,dotscale=1.5](0,50000)(1,42000)(2,36000)(3,32000)(4,26500)(5,22000)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10.5}{48357 5443 x mul sub}
\uput[ur](10,-6000){$\Delta$}
\end{pspicture}	
\end{center}
\end{document}