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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Mercatique}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}  
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small juin 2008}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique La Réunion~\decofourright\\ juin 2008}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Selon l'institut national de la statistique et des études économiques (INSEE) un indice des prix a suivi, en France, l'évolution suivante entre les années 2000 et 2006.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&2000	&2001	&2002	&2003	&2004	&2005	&2006\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$	&1		&2		&3		&4		&5		& 6		&7\\ \hline
Indice $y_{i}$			&100	&101,5	&102,8	&104,0	&107,1	&109,4	&113,5\\ \hline
\multicolumn{8}{r}{\emph{INSEE : formation brute de capital fixe}}\\
\end{tabularx}

\medskip

L'exercice a pour objet d'étudier l'évolution de cet indice en utilisant deux modèles mathématiques.

Une représentation graphique du nuage de points $M_{i}$ de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est donnée en annexe 3,  à rendre avec la copie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Ajustement affine
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients au centième).
		\item À partir des calculs effectués ci-dessus, on retient comme ajustement affine du nuage de points la droite d'équation $y = 2{,}2x + 96{,}8$.
		
Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique donné en annexe 3,  à rendre avec la copie.
		\item En supposant que ce modèle reste valable pour l'année 2007, donner une prévision de la valeur de l'indice pour 2007. Indiquer la méthode utilisée.
	\end{enumerate}
\item Ajustement à l'aide d'un logiciel
Un logiciel de calcul propose d'ajuster le nuage de points à l'aide d'une partie de la courbe d'équation $y = 0{,}3x^2 + 0{,}1x + 99{,}9$.

La courbe $\mathcal{C}$ est tracée en annexe 3,  à rendre avec la copie.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ordonnée du point de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse 8.
		\item On suppose que le modèle défini par la courbe $\mathcal{C}$ reste valable pour l'année 2007.
		
Donner, selon ce modèle, la valeur de l'indice pour 2007.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

L'extrait de feuille de calcul ci-dessous donne partiellement le nombre de SMS* interpersonnels émis par téléphone en France lors des années 2001 à 2007. Le format d'affichage sur la plage de cellules B3:H3 est un format numérique à zéro décimale.

{\small (*) Un SMS ou Short Message Service est un message texte, également appelé texto, envoyé d'un téléphone à un autre.}

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{2.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
&\multicolumn{1}{c|}{A}&B&C&D&E&F& G&H\\ \hline
1& Année	&2001&2002&2003&2004&2005&2006&2007\\ \hline
2&Nombre de SMS 	interpersonnels (en millions)&\np{3234}&\np{5877}&\np{8410}&&\np{12712}&\np{15023}&\np{17546}\\ \hline
3& Indice&100&182&260&335&&465&543\\ \hline
\multicolumn{9}{r}{\emph{Source ARCEP Volumes de la messagerie interpersonnelle}}\\
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le nombre de millions de SMS interpersonnels émis au cours de l'année 2004 (arrondir à l'unité).
		\item Calculer l'indice de l'année 2005 (arrondir à l'unité).
	\end{enumerate}
\item	Donner une formule qui, entrée dans la cellule C3, permet par recopie vers la droite d'obtenir la plage de cellules C3:H3.

\item	Dans cette question les résultats seront arrondis à 1\:\%.
	\begin{enumerate}
		\item Donner le taux d'évolution du nombre de SMS interpersonnels émis de l'année 2001 à l'année 2007.
		\item Calculer le taux d'évolution moyen annuel du nombre de SMS interpersonnels émis de l'année 2001 à l'année 2007.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

Une entreprise comprend $375$~salariés. Elle dispose d'un restaurant d'entreprise. 

Une enquête a été réalisée sur la fréquentation de ce restaurant par les salariés de cette entreprise.

Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous.

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{7.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
&Hommes& Femmes&	Total\\ \hline
Nombre de salariés qui mangent régulièrement au restaurant d'entreprise&	110&	55&	165\\ \hline
Nombre de salariés qui mangent occasionnellement au restaurant d'entreprise&	42&	33& 	75\\ \hline
Nombre de salariés qui ne mangent jamais au restaurant d'entreprise&58&	77& 	135\\ \hline
Nombre total de salariés&	210& 	165&	375\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On choisit au hasard un salarié dans la liste des $375$~salariés de cette entreprise. Tous les salariés ont la même probabilité d'être choisis.

On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] F : \og Le salarié choisi est une femme \fg ;
\item[] R : \og Le salarié choisi mange régulièrement au restaurant d'entreprise \fg ;
\item[] O : \og Le salarié choisi mange occasionnellement au restaurant d'entreprise \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire par une phrase l'évènement F~$\cap$~R, puis calculer sa probabilité (arrondir le résultat au millième).
\item Traduire par une phrase l'évènement R~$\cup$~O, puis calculer sa probabilité.
\item Calculer la probabilité que, sachant qu'il mange occasionnellement au restaurant d'entreprise, le salarié choisi soit une femme (donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible).
\item Les évènements F et O sont-ils indépendants ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

Cet exercice a pour objet une étude de marché pour un article donné. Cette étude de marché a montré que le nombre de personnes désirant acheter cet article est fonction du prix $x$, en euros, auquel il est proposé à la vente.

Pour cet article et pour un prix $x$, on note $f(x)$  le nombre de milliers d'acheteurs. La fonction $f$ est la fonction de demande.

Une entreprise décide de fabriquer cet article. Cette entreprise pourra fabriquer $g(x)$ milliers d'articles au prix $x$. La fonction $g$ est la fonction d'offre.

Les courbes représentatives $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ des fonctions $f$ et $g$ sont données en annexe 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On suppose que pour cet article la fonction $f$ est définie sur l'intervalle [1~;~12] par :

\[f(x) = 10 - 3\ln (x).\]

	\begin{enumerate}
		\item  Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$.
		\item  Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1~;~12].
		\item  En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~12].
	\end{enumerate}
\item	\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

On suppose que pour cet article la fonction $g$ est définie sur l'intervalle [1~;~12] par 

\[g(x) = 2 \ln (x).\]

L'entreprise pourra-t-elle vendre tous les articles qu'elle aura fabriqués si le prix de vente est fixé à 8~\euro{}?

\medskip

\item	On se propose de déterminer, à l'aide d'un tableur, la valeur de $x$ pour laquelle $f(x) = g(x)$.

Cette valeur est appelée prix d'équilibre de l'article.

La feuille de calcul de l'annexe 2,  donne les valeurs de $f(x)$, les valeurs de $g(x)$ et les valeurs de $g(x) - f(x)$, pour $x$ variant de $7$ à $7,5$ au pas $0,01$.

Sur ce tableur la fonction logarithme népérien se note LN( ) et pour les colonnes B, C et D le format d'affichage est un format numérique à trois décimales.
	\begin{enumerate}
		\item Donner une formule qui, entrée dans la cellule B2, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage de cellules B2:B52.
		\item Donner une formule qui, entrée dans la cellule D2, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage de cellules D2:D52.
		\item Donner la valeur du prix d'équilibre (arrondir au centime d'euro).
		\item Déterminer le nombre d'articles qui seront achetés si le prix de vente est égal au prix d'équilibre.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
	
\parbox{0.6\linewidth}{\psset{unit=0.65cm}
\begin{pspicture}(12,10.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(12,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(12,10)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{1}{12}{10 x ln 3 mul sub}
\psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt]{1}{12}{x ln 2 mul}
\rput(6,11){\textbf{ANNEXE 1}}
\uput[dl](0,0){O}\uput[u](4,6){\blue $\mathcal{C}_{f}$}\uput[d](4,2.8){\green $\mathcal{C}_{g}$}	
\end{pspicture}
}\hfill
\parbox{0.35\linewidth}{\scriptsize{$\begin{array}{|*{5}{c|}}
\multicolumn{5}{c}{\textbf{ANNEXE 2}}\\ \hline
&\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D}\\ \hline
1&	x	&	f(x)	&	g(x)	&	g(x)-f(x)\\ \hline
2&	7,00&	4,162	&	3,892	&	-0,270\\ \hline
3&	7,01&	4,158	&	3,895		&	-0,263\\ \hline
4&	7,02&	4,154	&	3,898	&	-0,256\\ \hline
5&	7,03&	4,149	&	3,900	&	-0,249\\ \hline
6&	7,04&	4,145	&	3,903	&	-0,242\\ \hline
7&	7,05&	4,141	&	3,906	&	-0,235\\ \hline
8&	7,06&	4,137	&	3,909	&	-0,228\\ \hline
9&	7,07&	4,132	&	3,912	&	-0,221\\ \hline
10&	7,08&	4,128	&	3,915	&	-0,234\\ \hline
11&	7,09&	4,124	&	3,917	&	-0,207\\ \hline
12&	7,10&	4,320	&	3,920	&	-0,200\\ \hline
13&	7,11&	4,115	&	3,923	&	-0,192\\ \hline
14&	7,12&	4,111	&	3,926	&	-0,185\\ \hline
15&	7,13&	4,107	&	3,929	&	-0,178\\ \hline
16&	714&	4,103	&	3,931	&	-0,171\\ \hline
17&	7,15&	4,099&	3,934&	-0,164\\ \hline
18&	7,16&	4,094&	3,937&	-0,157\\ \hline
19&	7,17&	4,090&	3,940&	-0,150\\ \hline
20&	7,18&	4,086&	3,943&	-0,144\\ \hline
21&	7,19&	4,082&	3,945&	-0,137\\ \hline
22&	7,20&	4,078&	3,948&	-0,130\\ \hline
23&	7,21&	4,074&	3,951&	-0,123\\ \hline
24&	7,22&	4.069&	3,954&	-0,116\\ \hline
25&	7,23&	4,065&	3,956&	-0,109\\ \hline
26&	7,24&	4,061&	3,959&	-0,102\\ \hline
27&	7,25&	4,057&	3,962&	-0,095\\ \hline
28&	7,26&	4,053&	3,965&	-0,088\\ \hline
29&	7,27&	4,049&	3,968&	-0,081\\ \hline
30&	7,28&	4,045&	3,970&	-0,074\\ \hline
31&	7,29&	4,040&	3,973&	-0.067\\ \hline
32&	7,30&	4,036&	3,976&	-0,061\\ \hline
33&	7,31&	4,032&	3,978&	-0,054\\ \hline
34&	7,32&	4,028&	3,981&	-0,047\\ \hline
35&	7,33&	4,024&	3,984&	-0,040\\ \hline
36&	7,34&	4,020&	3,987&	-0,033\\ \hline
37&	7,35&	4,016&	3,989&	-0,026\\ \hline
38&	7,36&	4,012&	3,992&	-0,020\\ \hline
39&	7,37&	4,008&	3,995&	-0,013\\ \hline
40&	7,38&	4,004&	3,998&	-0,006\\ \hline
41&	7,39&	4,000&	4,000&	0,001\\ \hline
42&	7,40&	3,996&	4,003&	0,007\\ \hline
43&	7,41&	3,992&	4,006&	0,014\\ \hline
44&	7,42&	3,987&	4,008&	0,023\\ \hline
45&	7,43&	3,983&	4,011&	0,028\\ \hline
46&	7,44&	3,979&	4,014&	0,034\\ \hline
47&	7,45&	3,975&	4,016&	0,041\\ \hline
48&	7,46&	3,971&	4,019&	0,048\\ \hline
49&	7,47&	3,967&	4,022&	0,054\\ \hline
50&	7,48&	3,963&	4,024&	0,061\\ \hline
51&	7,49&	3,959&	4,027&	0,068\\ \hline
52&	7,50&	3,955&	4,030&	0,075\\ \hline
\end{array}$}}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 3\\
À RENDRE AVEC LA COPIE}
\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm,comma=true}
\begin{pspicture}(0.5,99)(8.5,122)
\multido{\n=0.5+0.5}{18}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,99)(\n,122)}
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\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}