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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Mercatique}
\rhead{A. P. M. E. P.}  
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small juin 2008}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STG Mercatique La Réunion~\decofourright\\ juin 2008}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

%Selon l'institut national de la statistique et des études économiques (INSEE) un indice des prix a suivi, en France, l'évolution suivante entre les années 2000 et 2006.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année&2000& 2001& 2002& 2003& 2004& 2005& 2006\\ \hline
%Rang de l'année $x_{i}$&	1&	2&	3&	4&	5& 	6&7\\ \hline
%Indice $y_{i}$&	100&	101,5& 102,8& 104,0& 107,1& 109,4& 113,5\\ \hline
%\multicolumn{8}{r}{\emph{INSEE : formation brute de capital fixe}}\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%L'exercice a pour objet d'étudier l'évolution de cet indice en utilisant deux modèles mathématiques.
%
%Une représentation graphique du nuage de points $M_{i}$ de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est donnée en annexe 3,  à rendre avec la copie.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  Ajustement affine
	\begin{enumerate}
		\item %À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients au centième).
La calculatrice donne $y = 2,16x + 96,81$.
		\item %À partir des calculs effectués ci-dessus, on retient comme ajustement affine du nuage de points la droite d'équation $y = 2{,}2x + 96{,}8$.
		
%Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique donné en annexe 3,  à rendre avec la copie.
Voir l'annexe à la fin.
		\item %En supposant que ce modèle reste valable pour l'année 2007, donner une prévision de la valeur de l'indice pour 2007. Indiquer la méthode utilisée.
l'année 2007 correspond à $x = 8$ ; donc $y = 2,2 \times 8 + 96,8 = 114,4$.

On peut aussi trouver le point de la droite tracée précédemment, d'abscisse 8 ; on lit son ordonnée 114,5 à peu près. 
	\end{enumerate}
\item %Ajustement à l'aide d'un logiciel
%Un logiciel de calcul propose d'ajuster le nuage de points à l'aide d'une partie de la courbe d'équation $y = 0{,}3x^2 + 0{,}1x + 99{,}9$.

%La courbe $\mathcal{C}$ est tracée en annexe 3,  à rendre avec la copie.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'ordonnée du point de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse 8.
Calcul : $y = 0,3 \times 8^2 + 0,1 \times 8  + 99,9 = 119,9$.
		\item %On suppose que le modèle défini par la courbe $\mathcal{C}$ reste valable pour l'année 2007.
		
%Donner, selon ce modèle, la valeur de l'indice pour 2007.
2007 correspond toujours à $x = 8$, donc d'après le calcul précédent on prévoit pour cette année un indice de 119,9.

On peut aussi graphiquement trouver l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 8 ; on lit à peu près 120.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

%L'extrait de feuille de calcul ci-dessous donne partiellement le nombre de SMS* interpersonnels émis par téléphone en France lors des années 2001 à 2007. Le format d'affichage sur la plage de cellules B3:H3 est un format numérique à zéro décimale.
%
%{\small (*) Un SMS ou Short Message Service est un message texte, également appelé texto, envoyé d'un téléphone à un autre.}
%
%\medskip
%
%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{2.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%&\multicolumn{1}{c|}{A}&B&C&D&E&F& G&H\\ \hline
%1& Année	&2001&2002&2003&2004&2005&2006&2007\\ \hline
%2&Nombre de SMS 	interpersonnels (en millions)&\nombre{3234}&\nombre{5877}&\nombre{8410}&&\nombre{12712}&\nombre{15023}&\nombre{17546}\\ \hline
%3& Indice&100&182&260&335&&465&543\\ \hline
%\multicolumn{9}{r}{\emph{Source ARCEP Volumes de la messagerie interpersonnelle}}\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer le nombre de millions de SMS interpersonnels émis au cours de l'année 2004 (arrondir à l'unité).
Avec un indice de 334 en 2004 pour un indice de référence de 100 en 2001, on trouve $\np{3234}\times \dfrac{335}{100} = \np{10833,9} \approx \np{10834}$.
		\item %Calculer l'indice de l'année 2005 (arrondir à l'unité).
Il y a eu \np{12712} SMS en 2005 pour un indice de référence de 100 en 2001 qui correspondait à \np{3234} messages.

L'indice pour 2005 est donc égale à : $\dfrac{\np{12712}}{\np{3234}} \times 100 \approx 393,07 \approx 393$.
	\end{enumerate}
\item	%Donner une formule qui, entrée dans la cellule C3, permet par recopie vers la droite d'obtenir la plage de cellules C3:H3.
On écrit en C3 : = 100*C2/\$B2.
\item	%Dans cette question les résultats seront arrondis à 1\:\%.
	\begin{enumerate}
		\item %Donner le taux d'évolution du nombre de SMS interpersonnels émis de l'année 2001 à l'année 2007.
Le taux d'évolution de l'année 2001 à l'année 2007 est égal à $\dfrac{\np{17546} - \np{3234}}{\np{3234}} \approx 4,425$, soit un taux de 443\,\% environ.
		\item %Calculer le taux d'évolution moyen annuel du nombre de SMS interpersonnels émis de l'année 2001 à l'année 2007.
Le taux d'évolution global est égal à $4,42 + 1 = 5,42$.

Il faut donc trouver le nombre $t$ tel que :

$(1 + t)^6 = 5,42$ soit $1 + t = 5,42^{\frac{1}{6}}$, d'où $t = 5,42^{\frac{1}{6}} - 1 \approx 0,325$, ce qui correspond à un taux d'évolution moyen annuel de 33\,\% environ.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

%Une entreprise comprend $375$~salariés. Elle dispose d'un restaurant d'entreprise. 
%
%Une enquête a été réalisée sur la fréquentation de ce restaurant par les salariés de cette entreprise.
%
%Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous.
%
%\medskip
%
%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{7.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%&Hommes& 	Femmes&	Total\\ \hline
%Nombre de salariés qui mangent régulièrement au restaurant d'entreprise&	110&	55&	165\\ \hline
%Nombre de salariés qui mangent occasionnellement au restaurant d'entreprise&	42&	33& 	75\\ \hline
%Nombre de salariés qui ne mangent jamais au restaurant d'entreprise&58&	77& 	135\\ \hline
%Nombre total de salariés&	210& 	165&	375\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%On choisit au hasard un salarié dans la liste des $375$~salariés de cette entreprise. Tous les salariés ont la même probabilité d'être choisis.
%
%On considère les évènements suivants :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] F : \og Le salarié choisi est une femme \fg ;
%\item[] R : \og Le salarié choisi mange régulièrement au restaurant d'entreprise \fg ;
%\item[] O : \og Le salarié choisi mange occasionnellement au restaurant d'entreprise \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Traduire par une phrase l'évènement F~$\cap$~R, puis calculer sa probabilité (arrondir le résultat au millième).
F~$\cap$~R est l'évènement : \og Le salarié choisi est une femme qui mange régulièrement au restaurant \fg.

On a $p(\text{F} \cap \text{R}) = \dfrac{35}{375} \approx 0,147$.
\item %Traduire par une phrase l'évènement R~$\cup$~O, puis calculer sa probabilité.
R~$\cup$~O est l'évènement : \og Le salarié choisi mange régulièrement ou occasionnellement au restaurant \fg.

On a $p(\text{R} \cup\text{O}) = \dfrac{165 + 75}{375} = 0,64$.
\item %Calculer la probabilité que, sachant qu'il mange occasionnellement au restaurant d'entreprise, le salarié choisi soit une femme (donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible).
Il faut trouver $p_{\text{O}}(\text{F}) = \dfrac{33}{75} = \dfrac{11}{25}$ (ou 0,44).
\item %Les évènements F et O sont-ils indépendants ? Justifier votre réponse.
On a $p(\text{F}) = \dfrac{165}{375} = \dfrac{11}{25-}$.

Comme $p(\text{F}) = p_{\text{O}}(\text{F})$, on peut dire que les évènements F et O sont indépendants.
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

%Cet exercice a pour objet une étude de marché pour un article donné. Cette étude de marché a montré que le nombre de personnes désirant acheter cet article est fonction du prix $x$, en euros, auquel il est proposé à la vente.
%
%Pour cet article et pour un prix $x$, on note $f(x)$  le nombre de milliers d'acheteurs. La fonction $f$ est la fonction de demande.
%
%Une entreprise décide de fabriquer cet article. Cette entreprise pourra fabriquer $g(x)$ milliers d'articles au prix $x$. La fonction $g$ est la fonction d'offre.
%
%Les courbes représentatives $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ des fonctions $f$ et $g$ sont données en annexe 1$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On suppose que pour cet article la fonction $f$ est définie sur l'intervalle [1~;~12] par :

%\[f(x) = 10 - 3\ln (x).\]

	\begin{enumerate}
		\item  %Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$.
Sur [1~;~12], \: $f'(x) = - 3 \times \dfrac{1}{x}$
		\item  %Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1~;~12].
		Comme $w > 0, \: \dfrac{1}{x} > 0$, donc le signe de $f'(x)$ est celui de $- 3$. On a donc sur [1~;~12], \:$f'(x) < 0$.
		\item  %En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~12].
		Le résultat précédent montre que sur [1~;~12], $f$ est décroissante de $f(1) = 10$ à $f(12) = 10 - 3 \ln (12) \approx 2,545$.
	\end{enumerate}
\item	%\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

%On suppose que pour cet article la fonction $g$ est définie sur l'intervalle [1~;~12] par 

\[g(x) = 2 \ln (x).\]

%L'entreprise pourra-t-elle vendre tous les articles qu'elle aura fabriqués si le prix de vente est fixé à 8~\euro{}?
Pour un prix de vente  fixé à 8~\euro{}, l'entreprise produit $g(8) = 2 \ln (8) \approx 4,159$ milliers d'articles alors que la demande sera de :

$f(8) =  10 - 3\ln (8) \approx  3,762$ milliers d'articles.

Il y aura donc $\np{4159} - \np{3762} = 387$ articles invendus.

\emph{Rem.} On peut voir sur le graphique que pour $x = 8$, la demande est au dessous de l'offre.
\item %On se propose de déterminer, à l'aide d'un tableur, la valeur de $x$ pour laquelle $f(x) = g(x)$.

%Cette valeur est appelée prix d'équilibre de l'article.

%La feuille de calcul de l'annexe 2,  donne les valeurs de $f(x)$, les valeurs de $g(x)$ et les valeurs de $g(x) - f(x)$, pour $x$ variant de $7$ à $7,5$ au pas $0,01$.

%Sur ce tableur la fonction logarithme népérien se note LN( ) et pour les colonnes B, C et D le format d'affichage est un format numérique à trois décimales.
	\begin{enumerate}
		\item %Donner une formule qui, entrée dans la cellule B2, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage de cellules B2:B52.
On écrit dans B2 : = 10 - 3*LN(A2)
		\item %Donner une formule qui, entrée dans la cellule D2, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage de cellules D2:D52.
On écrit dans D2 : = C2 - B2
		\item %Donner la valeur du prix d'équilibre (arrondir au centime d'euro).
Il faut trouver dans le tableau $x$ ou $f()$ et $g(x)$ sont les plus proches. On trouve environ 7,39~euros. 
		\item %Déterminer le nombre d'articles qui seront achetés si le prix de vente est égal au prix d'équilibre.
On calcule $f(7,39) = 10 - 3 \ln (7,39) \approx \np{3,9996} \approx \np{4,000}$ et 

$g(7,39) = 2 \ln (7,39) \approx \np{4,0002} \approx \np{4,000}$.

On trouve dans les deux cas environ \np{4000} articles vendus.		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
	
\parbox{0.6\linewidth}{\psset{unit=0.65cm}
\begin{pspicture}(12,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(12,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(12,10)
\psplot[linecolor=blue]{1}{12}{10 x ln 3 mul sub}
\psplot[linecolor=green]{1}{12}{x ln 2 mul}
\rput(6,11){\textbf{ANNEXE 1}}
\uput[dl](0,0){O}\uput[u](4,6){$\mathcal{C}_{f}$}\uput[d](4,2.8){$\mathcal{C}_{g}$}	
\end{pspicture}
}\hfill
\parbox{0.35\linewidth}{\scriptsize{$\begin{array}{|*{5}{c|}}
\multicolumn{5}{c}{\textbf{ANNEXE 2}}\\ \hline
&A&B&C&D\\ \hline
1&	x&	f(x)&	g(x)&	g(x)-f(x)\\ \hline
2&	7,00&	4,162&	3,892&	-0,270\\ \hline
3&	7,01&	4,158&	3,895&	-0,263\\ \hline
4&	7,02&	4,154&	3,898&	-0,256\\ \hline
5&	7,03&	4,149&	3,900&	-0,249\\ \hline
6&	7,04&	4,145&	3,903&	-0,242\\ \hline
7&	7,05&	4,141&	3,906&	-0,235\\ \hline
8&	7,06&	4,137&	3,909&	-0.228\\ \hline
9&	7,07&	4,132&	3,912&	-0,221\\ \hline
10&	7,08&	4,128&	3,915&	-0,234\\ \hline
11&	7,09&	4,124&	3,917&	-0,207\\ \hline
12&	7,10&	4,320&	3,920&	-0,200\\ \hline
13&	7,11&	4,115&	3,923&	-0,192\\ \hline
14&	7,12&	4,111&	3,926&	-0,185\\ \hline
15&	7,13&	4,107&	3,929&	-0,178\\ \hline
16&	714&	4,103&	3,931&	-0,171\\ \hline
17&	7,15&	4,099&	3,934&	-0,164\\ \hline
18&	7,16&	4,094&	3,937&	-0,157\\ \hline
19&	7,17&	4,090&	3,940&	-0,150\\ \hline
20&	7,18&	4,086&	3,943&	-0,144\\ \hline
21&	7,19&	4,082&	3,945&	-0,137\\ \hline
22&	7,20&	4,078&	3,948&	-0,130\\ \hline
23&	7,21&	4,074&	3,951&	-0,123\\ \hline
24&	7,22&	4.069&	3,954&	-0,116\\ \hline
25&	7,23&	4,065&	3,956&	-0,109\\ \hline
26&	7,24&	4,061&	3,959&	-0,102\\ \hline
27&	7,25&	4,057&	3,962&	-0,095\\ \hline
28&	7,26&	4,053&	3,965&	-0,088\\ \hline
29&	7,27&	4,049&	3,968&	-0,081\\ \hline
30&	7,28&	4,045&	3.970&	-0,074\\ \hline
31&	7,29&	4,040&	3,973&	-0.067\\ \hline
32&	7,30&	4,036&	3,976&	-0,061\\ \hline
33&	7,31&	4,032&	3,978&	-0,054\\ \hline
34&	7,32&	4,028&	3,981&	-0,047\\ \hline
35&	7,33&	4,024&	3,984&	-0,040\\ \hline
36&	7,34&	4,020&	3,987&	-0,033\\ \hline
37&	7,35&	4,016&	3,989&	-0,026\\ \hline
38&	7,36&	4,012&	3,992&	-0,020\\ \hline
39&	7,37&	4,008&	3,995&	-0,013\\ \hline
40&	7,38&	4,004&	3,998&	-0,006\\ \hline
41&	7,39&	4,000&	4,000&	0,001\\ \hline
42&	7,40&	3,996&	4,003&	0,007\\ \hline
43&	7,41&	3,992&	4,006&	0,014\\ \hline
44&	7,42&	3,987&	4,008&	0,023\\ \hline
45&	7,43&	3,983&	4,011&	0,028\\ \hline
46&	7,44&	3,979&	4,014&	0,034\\ \hline
47&	7,45&	3,975&	4,016&	0,041\\ \hline
48&	7,46&	3,971&	4,019&	0,048\\ \hline
49&	7,47&	3,967&	4,022&	0,054\\ \hline
50&	7,48&	3,963&	4,024&	0,061\\ \hline
51&	7,49&	3,959&	4,027&	0.068\\ \hline
52&	7,50&	3,955&	4,030&	0,075\\ \hline
\end{array}$}}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 3\\
À RENDRE AVEC LA COPIE}
\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(0.5,99)(8.5,122)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Ox=0.5,Oy=99]{->}(0.5,99)(9,122)
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\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.5}{8.4}{x dup mul 0.3 mul 0.1 x mul add 99.9 add}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](1,100)(2,101.5)(3,102.8)(4,104)(5,107.1)(6,109.4)(7,113.5)
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\uput[u](7,115.5){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}