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%Tapuscrit Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STG CGRH}
\lfoot{\small{Métropole}\hspace{3mm} correction}
\rfoot{\small{juin 2012}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\gray Baccalauréat STG - CGRH \\
 Métropole juin 2012\hspace{3mm}Correction}}
 
 \vspace{0.5cm}
 
 Coefficient 2  \hfill Durée 2 heures
\vspace{0.5cm}
\end{center}
 La calculatrice est autorisée.
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 1\hfill  (8 points)}

\medskip
Le tableau suivant représente le nombre de créations d'entreprises,en milliers, de 2003 à 2010 dans le secteur immobilier. {\emph{\small(Source : INSEE, août 2011)}}
%Ce tableau est reproduit dans l'annexe {\textbf{à rendre avec la copie.}}

 \medskip
 {\small
 \begin{center}
 \begin{tabular}{|>{\columncolor[gray]{0.75}}c|c|c|>{\centering \arraybackslash}m{3.5cm}|>{\centering \arraybackslash}p{3.85cm}|}\hline
 \rowcolor[gray]{0.75}&A & B & C&  D\\\hline
1 & Année&  Rang de l'année ($x_i$)&Nombre de créations d'entreprises ($y_i$)\linebreak (en milliers)&Taux annuel d'évolution (en \%)\\\hline
 2 & 2003 & 0&  10,7&\cellcolor{gray}{}\\\hline
 3 & 2004 & 1&  13,3 & 24,3\\\hline
 4 & 2005&  2&  14,9&\\\hline
 5 & 2006 & 3 & 15,4&\\\hline
 6 & 2007&  4 & 17,4&\\\hline
 7 & 2008&  5&  17,1&\\\hline
 8 & 2009&  6 & 15,8&\\\hline
 9 & 2010 & 7 & 17,8&\\\hline
 \end{tabular}

 \smallskip

% {\emph{\small Dans la cellule D3, le nombre 24,3 est le taux annuel d'évolution de 2003 à 2004, en \%, arrondi à 0,1\,\% près.}}
 \end{center}
}
\vspace{0.25cm}

\begin{center}
{\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}}
\end{center}

\medskip

{\textbf{Partie A}}
\medskip
\begin{enumerate}
\item \`A l'aide de la calculatrice, une équation de la droite $\mathcal{D}$ qui réalise un ajustement affine du nuage de points de coordonnées $(x_i~;~y_i)$, par la méthode des moindres carrés, est $y=\np{0.843}x+\np{12.35}$
\item La droite $\mathcal{D}$ a pour équation : $y=0,84x+\np{12.350}$.
%En admettant que ce modèle reste valable jusqu'en  2015,
 En 2015, $x=12$ en remplaçant $x$ par 12 dans l'équation de la droite, nous avons $y=\np{0.84}\times 12+\np{12.35}=\np{12.43}$.

 Nous  pouvons estimer le nombre de créations d'entreprises en 2015 à \np{22430} environ.
\end{enumerate}

\medskip

{\textbf{Partie B}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La formule à entrer dans la cellule D3 et à recopier sur la plage D3 : D9 pour calculer, en \%, les taux annuels d'évolution du nombre de créations d'entreprises entre
2003 et 2010 est : =(C3/C2-1)*100 ou =100$\dfrac{C3-C2}{C2}$
\item 
Voir le tableau sur l'annexe.

\item Le résultat obtenu dans la cellule D8 signifie qu'entre 2008 et 2009, le nombre de créations d'entreprises a baissé de \np{7.6}~\%.
\item Calculons le taux global d'augmentation du nombre de créations d'entreprises entre 2003 et 2010. 

Le taux est défini par  $\frac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. Si l'on appelle $T$ le taux global d'évolution, $T=\dfrac{\np{17.8}-\np{10.7}}{\np{10.7}}\approx \np{0.6635}$.

 Le taux global d'augmentation entre 2003 et 2010 est  d'environ \np{66.4}\,\%.

\item Montrons que le taux annuel moyen d'évolution du nombre de créations d'entreprises entre 2003 et 2010, arrondi à 0,1\,\% près, est 7,5\,\%.

 Entre 2003 et 2010, le nombre de créations d'entreprises a subi 7 évolutions. En 2010, le nombre de créations de 2003 a été multiplié par $1+T$ d'une part ou par $(1+t_m)^{7}$ d'autre part,  $t_m$ désignant le taux moyen d'augmentation d'où \[(1+t_m)^{7}=1,664\quad \text{il en résulte }\quad t_m=(\np{1.664})^{\tfrac{1}{7}}-1\approx \np{0.07546}\]
 Le taux moyen est bien de \np{7.5}\,\%.
\item On considère que l'évolution du nombre d'entreprises créées à partir de 2003 est modélisée par une suite géométrique $\left( u_n \right)$
de premier terme $u_0 = 10,7$ et de raison $1,07$.

$u_n$ désigne le nombre d'entreprises créées, en milliers, l'année 2003 +$ n$.
\begin{enumerate}
\item Exprimons $u_n$ en fonction de $n$. Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0q^n$ donc ici, $u_n=\np{10.7}\times(\np{1.07})^n$
\item En supposant que ce modèle reste valable jusqu'en 2015, déterminons le nombre de créations d'entreprises en  2015. Appliquons la formule pour $n=12$. $u_{12}=\np{10.7}\times(\np{1.07})^{12}\approx \np{24.098}$.

\`A la centaine près, le nombre de créations d'entreprises en  2015 est d'environ \np{24100}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{\textsc{Exercice}2\hfill  (7 points)}

\medskip

Une entreprise fabrique des pièces mécaniques.

On note $x$ le nombre de \textbf{dizaines} de pièces fabriquées au cours d'une journée.

Le  coût de production, en euros, de $x$ \textbf{dizaines} de pièces est noté $f(x)$. La partie de la courbe représentative de la fonction
$f$ sur l'intervalle [4~;~10] est donnée dans le repère de \textbf{l'annexe à rendre avec la copie}.

\medskip

{\textbf{Partie A : Lecture graphique}}

\medskip

On laissera apparents, sur le graphique de l'annexe à rendre avec la copie, les traits nécessaires à la lecture graphique.

\begin{enumerate}
\item \`A l'aide du graphique, le coût de production de 50 pièces est de 3~\euro.
\item Chaque pièce est vendue $0,3$~\euro. On note $R(x)$ la recette de l'entreprise lorsqu'elle produit $x$ dizaines de pièces.
 Chaque pièce étant vendue $0,3$~\euro , la dizaine est donc vendue $3$~\euro.  La vente de $x$ dizaines rapporte alors 3$x$~\euro .
 
Nous obtenons bien $R(x )=3x$.
\item La représentation graphique de  la fonction $R$ est un segment dont les extrémités sont les points de coordonnées (4~;~12) et (10~;~30).
\item Le bénéfice réalisé par l'entreprise, en fonction du nombre $x$ de dizaines de pièces
vendues, est la différence entre la recette et le coût de production. On note B(x )ce bénéfice.
 \`A l'aide du  graphique, déterminons à quel intervalle doit appartenir $x$ pour que l'entreprise  réalise un bénéfice positif. 

Pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif c'est-à-dire  strictement supérieur ou égal à 0, il faut que les recettes soient supérieures aux coûts.

 Ceci est réalisé lorsque la courbe des coûts est strictement  en-dessous de la courbe des recettes ou lorsqu'elles se coupent, nous obtenons donc [4~;~9].
 \end{enumerate}
 
 \medskip
 
{\textbf{Partie B : Étude du bénéfice}}

\medskip

On suppose que la fonction $f$ est définie par : $f(x)=x^2-8x +18$ sur l'intervalle [4~;~10].

\begin{enumerate}
\item On rappelle que lorsque l'entreprise produit $x$ dizaines de pièces, sa recette est $R(x)=3x$.

Vérifions que le bénéfice de l'entreprise est alors $B(x)=-x^2+11x-18$.

$B(x)=R(x)-f(x)=3x-(x^2+8x+18)=-x^2+11x-18$.
\item 
\begin{enumerate}
 \item $B'$ est la dérivée de la fonction $B$. Calculons $B'(x)$ lorsque $x$ appartient à l'intervalle [4~;~10].
 $B^\prime(x)=-2x+11$.
 \item Déterminons, en fonction de $x$, le signe de $-2x +11$ sur l'intervalle [4~;~10].
 
  sur $\R,\  -2x+11>0$  si et seulement si $x<\frac{11}{2}$. 
  
   par conséquent si $4\leqslant x<\frac{11}{2},\ -2x+11>0$ et si $\frac{11}{2}<x \leqslant 10,\ -2x+11<0$
\item \'Etudions les variations de $B$ sur l'intervalle [4~;~10].

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)\geqslant 0$ alors $f$ est croissante sur $I$

Pour $x\in \left[4~;\frac{11}{2}\right[,\ B^\prime(x)>0$, par conséquent $B$ est croisssante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I \,f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est décroissante sur $I$ 

Pour $x\in \left]\frac{11}{2}~;~10\right],\ B^\prime(x)<0$, par conséquent $B$ est décroisssante sur cet intervalle.

\end{enumerate}
\item Déterminons  alors le nombre de pièces que l'entreprise doit produire pour réaliser un bénéfice maximum.

$B$ étant croissante sur $\left[4~;\frac{11}{2}\right[$ puis décroissante  sur $\left]\frac{11}{2}~;~10\right]$, elle admet en $\frac{11}{2}$ un maximum.

L'entreprise doit donc fabriquer \np{5.5} dizaines de pièces, par conséquent elle doit produire 55 pièces. 
\end{enumerate}

 
 \medskip
 
\textbf{\textsc{Exercice} 3\hfill  (5 points)}

 \medskip
 
L'élection du président d'une association se fait au scrutin majoritaire à deux tours. Tout au long du scrutin, 
seuls les votes exprimés sont comptabilisés. Trois candidats se présentent  au premier tour.  Le candidat A obtient 40\,\% des voix. Le candidat B obtient 33\,\% des voix. Le
candidat C  obtient 27\,\% des voix. On procède alors à un second tour entre les candidats A et B. Tous les votants du premier tour votent au second tour.
\begin{itemize}\item[$\bullet$]
Parmi les adhérents de l'association qui ont voté A au premier tour, 99\,\% votent A au second tour.
\item[$\bullet$]
Parmi les adhérents de l'association qui ont voté B au premier tour, 100\,\% votent B au second tour.
\item[$\bullet$]
Parmi les adhérents de l'association qui ont voté C au premier tour, 20\,\% votent A au second tour.
\end{itemize}

Partie A

\`A l'issue du second tour,  on interroge un adhérent de l'association choisi au hasard et on note :
\begin{description}
\item[A$_1$] l'évènement : \og cet adhérent a voté  A au premier tour \fg

\item[B$_1$] l'évènement : \og cet adhérent a voté B au premier tour \fg

\item[C ] l'évènement : \og cet adhérent a voté C au premier tour  \fg
\item[A ] l'évènement : \og cet adhérent a voté A au second tour \fg
\item[B ] l'évènement : \og cet adhérent a voté B au secon d tour \fg
\end{description}

\begin{enumerate}
\item  Complétons l'arbre de probabilités ci-dessous :
\medskip

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{A$_1$}\taput{\footnotesize 0,4}}
	  { 
		  \TR{A}\taput{ \footnotesize\color{red}{\np{0.99}}}
		  \TR{B}\tbput{\footnotesize\color{red}{\np{0.01}}}	   
	  }
	\pstree{\TR{B$_1$}\taput{\footnotesize 0,33}}
	  {
		  \TR{A}\taput{\footnotesize 0}
		  \TR{B}\tbput{\footnotesize\color{red}{\np{1}}} 
	  }
	\pstree{\TR{C}\tbput{\footnotesize 0,27}}
	  {
		  \TR{A}\taput{\footnotesize\np{ 0.2}}
		   \TR{B}\tbput{\footnotesize\color{red}{\np{0.8}}}
	  }	
}
\end{center}

\end{enumerate}
{\footnotesize  
Les questions 2),3) et 4) constituent un questionnaire à choix multiples (QCM).

Pour chaque question, quatre réponses sont proposées, une seule réponse est correcte.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la  copie la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou
 une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item 
La probabilité de l'évènement $C \cap A$ est :

\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
$\bullet$ \cancel{0,2}&$\bullet$\cancel{0,29}&$\bullet$\ovalbox{0,054}&$\bullet$\cancel{0,02}\\
\end{tabularx}

\item La probabilité de l'évènement A est :

\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
$\bullet$\ovalbox{0,45}&$\bullet$\cancel{0,4}&$\bullet$\cancel{0,55}&$\bullet$\cancel{0,6}\\
\end{tabularx}
\item
Un adhérent de l'association choisi au hasard a voté A au second tour. La probabilité que
cet adhérent ait voté C au premier tour est :

\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
$\bullet$\cancel{ p( A $\cap$ C) }&$\bullet$ \ovalbox{p$_{\text{A}}$( C)} &$\bullet$ \cancel{p$_{\text{C}}$(A)} &$\bullet$ \cancel{p(A $\cup$  C)}\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

Partie B
%Dans cette partie toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Un candidat est élu à l'issue du second tour de l'élection lorsqu'il obtient strictement plus de la moitié des voix.
\begin{enumerate}
\item  Le candidat élu à l'issue du second tour de l'élection est B ; p(B)> p(A)

 p(A)=  p(A $\cap \text{A}_1$)+P(A $\cap C)$ =$\np{0.4} \times \np{0.99} + \np{0.27} + \np{0.2}= \np{0.396}+\np{0.054}=\np{0.45}$
Il en résulte alors que p(B)= 1-\np{0.45}=\np{0.55}.
\item Si les adhérents qui ont voté A au premier tour avaient tous voté A au second tour, A n'aurait  quand même pas  été élu. 
 Calculons dans ce cas p(A).

 p(A)=$\np{0.4} \times 1 +\np{0.054}=\np{0.454}$. p(A) <\np{0.5}.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}
\end{center}

{\textbf{\textsc{Exercice 1}--tableau à compléter}}

\medskip

\begin{tabular}{|>{\columncolor[gray]{0.75}}c|c|c|>{\centering \arraybackslash}m{3.5cm}|>{\centering \arraybackslash}p{3.85cm}|}\hline
\rowcolor[gray]{0.75}&A & B & C&  D\\\hline
1 & Année&  Rang de l'année ($x_i$)&Nombre de créations d'entreprises ($y_i$)\linebreak (en milliers)&Taux annuel d'évolution (en \%)\\\hline
2 & 2003 & 0&  10,7&\cellcolor{gray}{}\\\hline
3 & 2004 & 1&  13,3 & 24,3\\\hline
4 & 2005&  2&  14,9&12,0\\\hline
5 & 2006 & 3 & 15,4&\np{3.4}\\\hline
6 & 2007&  4 & 17,4&\np{13.0}\\\hline
7 & 2008&  5&  17,1&$-\np{1.7}$\\\hline
8 & 2009&  6 & 15,8&$-\np{7.6}$\\\hline
9 & 2010 & 7 & 17,8&\np{12.7}\\\hline
\end{tabular}

\footnotesize  les résultats sont arrondis à 0,1\,\% près.
\vspace{0.5cm}

{\textbf{\textsc{Exercice 2}--Partie A : graphique à compléter}}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1.3cm,yunit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(10.5,41)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.5pt](-0.5,-0.5)(11,41)
 \uput[dl](0,0){O}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{4}{10}{ x 2 exp 8 x mul sub  18 add}
 \psline{-}(6,0)(6,6) \psline{-}(0,6)(6,6)
 \psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=0.8pt]{->}(5,0)(5,3) \psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=0.8pt]{->}(5,3)(0,3)
 \rput(-0.3,3){\color {red} {3}}
 \psline[linestyle=dashed,linecolor=cyan,linewidth=0.8pt]{->}(4,0)(4,2) \psline[linestyle=dashed,linecolor=cyan,linewidth=0.8pt]{->}(9,0)(9,27)
 \psset{fillcolor=blue}
  \psdot[dotstyle=Circle,dotscale=1.3](6,0) \psdot[dotstyle=Circle,dotscale=1.3](6,6) \psdot[dotstyle=Circle,dotscale=1.3](0,6)
\uput[ur](8.5,0.11){\scriptsize Nombre de dizaines de pièces}
\psplot[linecolor=green,linewidth=0.75pt]{4}{10}{3 x mul}
 \uput[r](0.1,40.6){\scriptsize Coût de production de $x$ dizaines de pièces (en euros).}
\psaxes[linewidth=1.15pt,Dy=2]{->}(0,0)(-0.5,-1.5)(11.2,41.2)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=cyan,linewidth=0.8pt]{<->}(4,1)(9,1) 
\uput[u](7,1){\color{cyan}{zone de bénéfice}}
\end{pspicture}
\end{center}
\emph{Lecture du graphique: si $x=6$, l'entreprise produit 60 pièces pour un coût de 6~\euro}
\end{document}