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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STG CGRH}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG CGRH Polynésie~\decofourright\\septembre 2008}} 

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule des trois propositions est exacte.}

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

\emph{ Une réponse exacte vaut $1$~point. Une réponse inexacte enlève $0,5$ point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note de l'exercice est ramenée à $0$.}

\medskip

On donne $\mathcal{C}_{f}$ la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle  $\left[-3~;~\dfrac{3}{2}\right]$.

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{$\mathcal{C}_{f}$ admet une tangente horizontale aux points A$(-2~;~0)$ et C$(0~;~-4)$.\\

$\mathcal{D}$	est la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point B$(-1~;~ -2)$.\\

$\mathcal{D}$ passe par le point de coordonnées $(0~;~-5)$.} \hfill
\parbox{0.55\linewidth}{\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-4,-7)(2.1,6.5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-4,-7)(2,6.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-7)(2.5,6.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-4,-7)(2.5,6.5)
\uput[ul](-2,0){A} \uput[dl](-1,-2){B} \uput[dr](0,-4){C} \uput[ul](-3,-4){$\mathcal{C}_{f}$} \uput[ur](-3,4.2){$\mathcal{D}$}\uput[dl](0,0){O}
\psdots(-2,0)(-1,-2)(0,-4) 
\psplot{-3.6}{0.5}{-3 x mul 5 sub}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-3}{1.5}{x 3 exp x dup mul 3 mul add 4 sub}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](1.5,0)(1.5,6.125)(0,6.125)
\end{pspicture*}
}
\begin{enumerate}
\item  Le nombre de solutions sur l'intervalle $\left[-3~;~\dfrac{3}{2}\right]$ de l'équation $f(x) = 0$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~ 1&	\textbf{b.}~~ 2& 	\textbf{c.}~~ 3\\
\end{tabularx}

\item  Les solutions sur l'intervalle $\left[-3~;~\dfrac{3}{2}\right]$ de l'équation $f'(x) = 0$ sont :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~ $-2$ et $1$&\textbf{b.}~~$ - 2$ et $0$&\textbf{c.}~~ $-3$ et $0$.\\
\end{tabularx}

\item  Le nombre dérivé $f'(-1)$ est égal à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~1,5&\textbf{b.}~~$ - 2$&\textbf{c.}~~$- 3$\\
\end{tabularx}

\item  Une équation de la droite  $\mathcal{D}$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~ $y = - 3x$&\textbf{b.}~~$y= - 3x - 5$&\textbf{c.}~~$y = - 2x - 5$.\\
\end{tabularx}

\item  La représentation graphique de la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\psset{unit=0.6cm}\begin{pspicture}(-3,-4)(2,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-3,-4)(2,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-4)(2,4)
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}\uput[ul](0,0){O}
\uput[l](-2.3,3){$\mathcal{C}_{1}$}
\psplot{-2.5}{0.5}{x dup mul 3 mul x 6 mul add}
%\psplot[linecolor=blue]{-2.5}{0.5}{x dup mul 0.5 mul  x add}
\end{pspicture}&\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-3,-4)(2,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-3,-4)(2,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-4)(2,4)
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}\uput[ul](0,0){O}
\uput[r](-2.8,3){$\mathcal{C}_{2}$}
\psplot{-3}{1.5}{x dup mul  x add 2 sub}
\end{pspicture}&\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-3,-4)(2,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-3,-4)(2,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-4)(2,4)
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}\uput[ul](0,0){O}
\uput[u](-3,-2){$\mathcal{C}_{3}$}
\psplot{-3}{1.5}{1.5 x dup mul 0.75 mul sub 0.75 x mul sub}
\end{pspicture}\\ 
\textbf{a.}~~&\textbf{b.}~~&\textbf{c.}~~\\
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

Le tableau ci-dessous donne le nombre d'habitants en France, exprimé en millions.

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année							&1985&1990&1995&2000&2005\\ \hline
Nombre d'habitants (en millions)&56,6&58,2&59,4&60,8&62,8\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{\emph{(Source  INSEE)}}\\
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution du nombre d'habitants de 1985 à 2005. Arrondir à 0,01\,\%

\item En déduire le taux moyen annuel entre 1985 et 2005. Arrondir à 0,01\,\%.

\item Calculer une estimation, en millions d'habitants, du nombre d'habitants en 2010 si le taux moyen annuel après 2005 est de 0,5\,\%.
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
\item Construire le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$ associé au tableau ci-dessous dans le repère	orthogonal donné en annexe.

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année							&1985	&1990	& 1995	& 2000	& 2005\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$			&1		&2		&3		&4		&5\\ \hline
Nombre d'habitants (en millions)&56,6	&58,2	&59,4	&60,8	&62,8\\ \hline
\end{tabularx}

\item On décide d'ajuster cette série statistique à deux variables par la méthode des moindres carrés.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite $\mathcal{D}$ de régression de $y$ en $x$ sous la forme $y = ax + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels à déterminer à $10^{-1}$ près.
		
\medskip
		
\emph{Aucune justification n'est demandée.}

Construire la droite $\mathcal{D}$ dans le repère donné en annexe.
		\item On suppose que l'évolution de la population active se poursuit selon le modèle donné par la droite d'ajustement obtenue à la question précédente.
		
Déterminer graphiquement une estimation du nombre d'habitants en 2010.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

Anne et Bastien comparent les étrennes qu'ils reçoivent chaque année. En 2000, Anne a reçu 80~\euro{} et Bastien 100~\euro.

Chaque année, les étrennes d'Anne augmentent de 6~\euro{} et celles de Bastien de 3\,\%. Pour tout entier $n$, on note $U_{n}$ et $V_{n}$ les étrennes reçues par Anne et Bastien l'année $2000 + n$.

On a donc $U_{0} = 80$ et $V_{0} = 100$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les étrennes qu'ont reçues Anne et Bastien en 2001, puis en 2002.
		\item Donner la nature de la suite $\left(U_{n}\right)$. Justifier.
		
En déduire $U_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Donner la nature de la suite $\left(V_{n}\right)$. Justifier. 
		
En déduire $V_{n}$ en fonction de $n$.
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer en quelle année Anne reçoit pour la première fois davantage que Bastien.
 	\end{enumerate}
\item On note $S_{n}$ et $T_{n}$ la somme des étrennes reçues per Anne et Bastien de l'année 2000 jusqu'à l'année $2000 + n$.

On a donc $S_{n} = U_{0}+U_{1} + \cdots + U_{n}$ et $T_{n} = V_{0} + V_{1}+ \cdots + V_{n}$.

Calculer $S_{15}$ et $T_{15}$.

\medskip
	
\textbf{Formulaire :}
\begin{itemize}
\item La somme $S$ des $n + 1$ premiers termes d'une suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ est donnée par :

\[S = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n} = (n + 1) \times \dfrac{u_{0} + u_{n}}{2}\]

\item La somme $T$ des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ de raison $q \neq 1$ est donnée
par :

\[T = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n} = u_{0} \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\]

\end{itemize}
\item On donne ci-dessous l'extrait d'une feuille de calcul réalisée à l'aide d'un tableur : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
		&A			&B			&C			&D			&E		&F\\ \hline\hline
1		&$n$		&Année		&$U_{n}$	&$V_{n}$	&$S_{n}$&$T_{n}$\\ \hline
2		&0			&2000		&80			&100		&80 	&100\\ \hline
3		&1			&2001		&			&			&		&\\ \hline
4		&2			&2002		&			&			&		&\\ \hline
5		&3			&2003		&			&			&		&\\ \hline
$\vdots$&$\vdots$	&$\vdots$	&$\vdots$	&$\vdots$	&$\vdots$&$\vdots$\\ \hline
$\vdots$&$\vdots$	&$\vdots$	&$\vdots$	&$\vdots$	&$\vdots$&$\vdots$\\ \hline	
17		&15			&2015		&			&			&		&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Quelle formule, à recopier sur la plage C4:C17, peut-on entrer dans la cellule C3 ?
		\item Quelle formule, à recopier sur la plage D4:D17, peut-on entrer dans la cellule D3 ?
		\item Quelle formule, à recopier sur la plage E4:E17,  peut-on entrer dans la cellule E3 ?
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
{\Large \textbf{ANNEXE À RENDRE}}

\vspace{1cm
}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-0.5,55.5)(7,66)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,56)(7,66)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=56](0,56)(7,66)
\uput[d](6.5,55.5){Rang} \rput{90}(-1,64){Nombre d'habitants en millions}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}