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% Tapuscrit Vincent Tolleron
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Mercatique}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}  
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG  Antilles-Guyane juin 2008~\decofourright\\
Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).

Pour chaque question, trois réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.
 
On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte.
  
\emph{Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse fausse retire $0,5$~point, une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à zéro.}

\medskip  

\textbf{I.} Le nombre $\text{e}^{\frac{2}{3}} \times \text{e}^{\frac{1}{3}}$ est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~e &\textbf{b.}~~ $1$&\textbf{c.} ~~$\text{e}^{\frac{2}{9}}$\\
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{II.} Une société de crédit propose un prêt à intérêts composés dont le taux mensuel est de 0,9\,\%. Le taux annuel correspondant, arrondi à 0,1\,\%, est :
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~ 10,8\,\% &\textbf{b.}~~12,1\,\%&\textbf{c.} ~~11,4\,\%\\
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{III.} Le tableau ci-dessous donne les résultats d'un groupe de candidats à un examen en fonction de l'étude de leur première langue vivante.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash} X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&	Anglais&	Allemand&	Russe\\ \hline
Admis	&117&	68& 	33\\ \hline
Refusé	&16&	9&	7\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On rencontre au hasard un candidat. Il dit qu'il est admis. La probabilité que sa première langue étudiée soit l'allemand est à $10^{-3}$ près :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~ 0,272 &\textbf{b.}~~0,883&\textbf{c.} ~~0,312\\
\end{tabularx}\\  

\medskip

\textbf{IV.} Une entreprise étudie l'évolution du nombre de ses clients. Elle a recensé les résultats dans le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash} X|}}\hline
Année						&2002	&2003	&2004	&2005	&2006\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$		&1		&2		&3		&4		&5\\ \hline
Nombre de clients $y_{i}$	&120	&126	&130	&135	&142\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\begin{enumerate}
\item  Une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~ $y= - 0,19x+21,44$ &\textbf{b.}~~$y=5,3x+ 114,7$&\textbf{c.} ~~$y=5,3x - \np{10490,6}$\\
\end{tabularx} 

\medskip

\item  On choisit de réaliser un ajustement du nuage de points de la série précédente par la courbe d'équation $y =115,44 \times  1,04^x$. En supposant que cet ajustement reste valable pour les années suivantes, une estimation du nombre de clients en 2008 est de :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~ 158 &\textbf{b.}~~152&\textbf{c.} ~~840\\
\end{tabularx} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

Une entreprise fabrique des pièces de haute technologie. La fabrication hebdomadaire est limitée à \np{2000}~pièces. Le prix de vente de $100$~pièces est fixé à \np{15000}~\euro.

La recette en milliers d'euros, obtenue pour la vente de $x$ centaines de pièces est donc $R(x) =15x$.
 
Le graphique fourni en annexe donne la représentation graphique $R_{1}$ de la fonction $R$ et la représentation graphique $C_{1}$ de la fonction coût de production notée $C$ sur l'intervalle [0~;~ 20].

\medskip

\textbf{Partie A :  lectures graphiques}

\medskip

Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes :

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quel est le coût de production de $900$~pièces ?

\item  Quelle fabrication hebdomadaire correspond à un coût de production de \np{90000}~\euro ?

\item  Combien l'entreprise doit-elle fabriquer et vendre de pièces pour être bénéficiaire ?
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que la fonction $C$ définie sur l'intervalle [0 ; 20] est donnée par :

\[ C(x) = 0,5x^2 + 6,5x + 10 + 4,5\ln (x + 1).\]

On rappelle que le coût de production, en milliers d'euros, est le nombre $C(x),~ x$ étant le nombre de centaines de pièces produites ($x$ est compris entre $0$ et $20$~centaines de pièces). On admet que toutes les pièces produites sont vendues.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que le bénéfice est donné par la fonction $B$, définie sur [0~;~20] par :
		
\[B(x) = - 0,5x^2 + 8,5x - 10 - 4,5\ln (x + 1).\]

On note $B'$ la fonction dérivée de $B$ sur l'intervalle [0~;~20].
		\item  Calculer $B'(x)$.
		\item  Vérifier que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~20], $B'(x) = \dfrac{(x + 0,5)(8 - x)}{x+1}$.	
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que le signe de $B'(x)$ est celui de $(8 - x)$ sur l'intervalle [0~;~20].
		\item  En déduire le signe de $B'(x)$ puis le tableau de variation de $B$ sur l'intervalle [0~;~20].
 	\end{enumerate}
\item Pour quelle fabrication hebdomadaire le bénéfice est-il maximal ? Quel est ce bénéfice maximal à l'euro près ?
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

L'entreprise Iron SA exploite un filon de minerai de fer depuis 1950.

La première année d'extraction l'entreprise a récupéré \np{20000}~tonnes de fer. Cependant depuis 1950, en raison des difficultés croissantes d'extraction, de l'appauvrissement du filon, les quantités extraites diminuent de 1\,\% par an.
 
On appelle $T_{n}$ le nombre de tonnes extraites l'année $(1950 + n)$. On a donc 

$T_{0} = \np{20000}$.
  
\medskip
  
\emph{Les résultats seront arrondis à la tonne.}

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item  Justifier que $T_{1} = \np{19800}$ puis calculer $T_{2}$ et $T_{3}$.

\item  Exprimer $T_{n+1}$ en fonction de $T_{n}$.

\item  Quelle est la nature de la suite $\left(T_{n}\right)$ ? En déduire l'expression de $T_{n}$ en fonction de $n$.

\item  Quelle est la quantité extraite en 2008 ?

\item  Montrer que la quantité totale extraite entre 1950 et l'année $(1950 + n)$ est :

\[S_{n} = \np{2000000}  \times  \left(1 - 0,99^{n+1}\right).\]

\item  En 1950, les géologues estimaient que ce filon recelait \np{1000000} de tonnes de métal, En quelle année théoriquement le filon sera-t-il épuisé ?
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Formulaire :}

\medskip

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  La somme $S$ des $(n + 1)$ premiers termes d'une suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ est donnée par :

\[S = u_{0}+u_{1}+ \cdots + u_{n} =(n+1)\times \dfrac{u_{0}+ u_{1}}{2}.\]

\item  La somme $S$ des $(n + 1)$ premiers termes d'une suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ de raison $q\: (q > 1)$ est
donnée par :

\[S = u_{0}+u_{1}+ \cdots + u_{n}= u_{0} \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.\]

\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Évolution de la population en France}

\medskip

\emph{Le tableau ci-dessous est extrait d'une feuille de calcul d'un tableur.}

\emph{Il donne les populations urbaine et rurale françaises, en millions de personnes, entre 1954 et 1999.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{c|}*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C&D&E&F\\ \hline
1&\multicolumn{6}{c|}{Populations urbaine et rurale en France métropolitaine}\\ \hline
2&	&Population&	Population&	Population&	Taux de&	Indice de\\
\multirow{2}{0.2cm}{3}&\multirow{2}{0.5cm}{}&urbaine&	rurale&	totale&	population&	population\\
&	&(en millions)&	(en millions)&	(en millions)&urbaine (en \%)&urbaine\\ \hline
4	&1954			&24,5		&18,2	&42,7	&57,4	&100\\ \hline
5	&1962			&29,4		&17,1	&		&		&\\ \hline
6	&1968			&34,8		&14,9	&		&		&\\ \hline
7	&1975			&38,4		&14,2	&		&		&\\ \hline
8	&1982			&39,9		&14,5	&		&		&\\ \hline
9	&1990			&41,9		&14,7	&		&		&\\ \hline
10	&1999			&44,2		&14,3	&		&		&\\ \hline
11	&				&			&		&		&		&\\ \hline
12&\multicolumn{6}{c|}{Source INSEE, recensement de la population}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Dans cet exercice, on exprimera les taux en pourcentage et on arrondira les indices et les pourcentages au dixième.}

\begin{enumerate}
\item  Calculer pour l'année 1962 le taux de population urbaine en France par rapport à la population totale.
\item  On fixe l'indice de population urbaine à la base 100 en 1954. Quel est l'indice de population urbaine en 1962 ? En 1982 ?
\item  On s'intéresse dans cette question à l'évolution de la population totale.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer qu'avec l'arrondi fixé le taux d'évolution global de la population française entre 1954 et 1999 est 37\,\%.
		\item  En déduire le taux annuel moyen d'augmentation entre 1954 et 1999.
		\item  Donner des formules à insérer dans la feuille de calcul précédente qui, entrées dans les cellules D5, E5 et F5, permettent par recopie vers le bas d'obtenir la plage des cellules D5 : F10.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\newpage
	
\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 2} \end{flushleft}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.05cm}
\begin{pspicture}(-1,-10)(21,320)
\multido{\n=0+0.5}{43}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.6pt](\n,0)(\n,320)}
\multido{\n=0+10}{33}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.6pt](0,\n)(21,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=20]{->}(0,0)(21,320)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=20](0,0)(21,320)
\uput[u](21,0){$x$} \uput[r](0,320){$y$} \uput[u](16,0){Nombre de centaines de pièces}\rput{90}(-2.5,300){milliers d'euros}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=6000]{0}{18.5}{x 2 exp 0.5 mul 6.5 x mul add 10 add x 1 add ln 4.5 mul add}
\psplot{0}{20}{15 x mul}
\uput[d](19,280){$R_{1}$} \uput[d](19,320){\blue $C_{1}$}
\end{pspicture}
\end{center}	
\end{document}