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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Mercatique}    
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small 23 juin 2008}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique Métropole~\decofourright\\23 juin 2008}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).}

\emph{Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte.}
 
\medskip
 
\emph{Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}
 
\medskip

\emph{Une réponse juste rapporte $1$ point ; une réponse fausse enlève $0,25$ point et l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total des points est négatif la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.}

\medskip

Les deux premières questions se rapportent au tableau de variations  ci-dessous.

On considère la fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~25].

On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. La fonction $g$ admet le tableau de variations suivant :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5)  \psline(2,0)(2,3)
\psline{->}(2.6,1.5)(4.5,0.5) \psline{->}(5.5,0.5)(7.5,1.5)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.2,2.5){$0$} \uput[u](5,2.5){$5$} \uput[u](7.8,2.5){$25$} 
\uput[u](1,1.9){$g'$} \uput[u](3.5,2){$-$} \uput[u](5,2){$0$} \uput[u](6.5,2){$+$}
\rput(1,1){$g$} \uput[d](2.2,2){e}\uput[u](5,0){$1$}\uput[d](7.8,2){$10$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  La fonction $g$ admet un minimum

\begin{tabularx}{1.05\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}\quad  qui vaut $1$ pour $x =5$ ;&\textbf{b.}\quad qui vaut $0$ pour $x = 5$ ; &\textbf{c.}\quad qui vaut $1$ pour $x =  0$.\\
\end{tabularx}

\item  Sur l'intervalle [0~;~25 ], l'équation $g(x) = 3$ admet :

\begin{tabularx}{1.05\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}\quad  aucune solution ;&\textbf{b.}\quad une unique solution ; &\textbf{c.}\quad deux solutions.\\
\end{tabularx}


\item  L'équation $\text{e}^{-3x} = 5$ admet pour solution dans $\R$

\begin{tabularx}{1.05\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}\quad  $- \dfrac{\ln (5)}{3}$ ;&\textbf{b.}\quad $3 + \ln (5)$ ; &\textbf{c.}\quad $- \ln \left(\dfrac{5}{3}\right)$.\\
\end{tabularx}

\item  Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$  par $f(x)  = 10 - 3\ln (x)$.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$ ;

\begin{tabularx}{1.05\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}\quad  $f'(x)= 10 - \dfrac{3}{x}$ ;&\textbf{b.}\quad $f'(x) = \dfrac{7}{x}$ ; &\textbf{c.}\quad $f'(x) = - \dfrac{3}{x}$.\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Un club sportif multisports propose deux formules d'abonnement (et uniquement deux) ; la formule sport unique et la formule tous sports. Chaque adhérent ne souscrit qu'à une seule des deux formules.

\medskip

Dans le fichier des adhérents, en fin de saison, on constate que 40\:\% d'entre eux ont choisi la formule sport unique.

\medskip

Parmi ceux qui ont choisi la formule sport unique, 85\:\% reçoivent une aide municipale, tandis que seulement 25\:\% des personnes qui ont choisi la formule tous sports bénéficient de l'aide municipale.

\medskip

On choisit une fiche au hasard. On admet que chaque fiche a la même probabilité d'être choisie.

On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $U$ : \og la fiche choisie est celle d'un adhérent ayant opté pour la formule sport unique \fg{};
\item $T$ : \og la fiche choisie est celle d'un adhérent ayant opté pour la formule tous sports \fg{};
\item $A$ : \og l'adhérent bénéficie de l'aide municipale \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer :
	\begin{enumerate}
		\item  $P(U)$, la probabilité de l'évènement $U$.
		\item  $P(T)$, la probabilité de l'évènement $T$.
		\item  $P_{\text{U}}(A)$, la probabilité, sachant $U$, de l'évènement $A$.
 	\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité que la fiche choisie soit celle d'un adhérent ayant opté pour la formule sport unique et bénéficiant de l'aide municipale.
	
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $A$ est égale à $0,49$.
	
\item Déterminer $P_{A}(U)$, la probabilité, sachant $A$, de l'évènement $U$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

Une entreprise ne peut être créée en France que selon deux formes juridiques, à savoir soit sous la forme d'une société, soit sous la forme d'une entreprise individuelle. Le tableau ci-dessous rend compte, selon la forme juridique choisie, de la création d'entreprises en France lors des années 2000 à 2006.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année						&2000	&2001&2002	&2003 	&2004&2005&2006\\ \hline
Pourcentage d'entreprises créées
 sous la forme d'une société& 39,3	&40,1&40,7	&41,9	&44,4&45,6&47,1\\ \hline
Pourcentage d'entreprises créées
 sous la forme d'une entreprise individuelle&	60,7&	59,9&	59,3&	58,1&55,6&54,4 &52,9\\ \hline
Nombre total d'entreprises créées&\np{270043}&\np{268619}&\np{268459}&\np{291 986}&\np{318757}& \np{316534}&\np{321938}\\ \hline
\multicolumn{8}{r}{\emph{Source INSEE, répertoire des entreprises et des établissements (Sirene)}}\\
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre d'entreprises créées sous la forme d'une société en 2001.
\item On construit le tableau ci-dessous des indices du nombre total d'entreprises en prenant pour indice de référence 100 en 2000.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}m{2.25cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année		&2000		&2001		&2002		&2003 		&2004		&2005		&2006\\ \hline
Nombre total d'entreprises créées
			&\np{270043}&\np{268619}&\np{268459}&\np{291986}&\np{318757}&\np{316534}&\np{321938}\\ \hline
Indice		&100		&			&99,41		&108,13		&118,04		&			&119,22\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer l'indice arrondi au centième pour l'année 2001.
		\item  Déterminer l'indice arrondi au centième pour l'année 2005.
 	\end{enumerate}
\item	Déterminer le taux d'évolution moyen annuel de création d'entreprises de 2000 à 2006.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\medskip

Une entreprise a acheté une machine en 2000 pour une valeur de \np{50 000}~\euro{} et a noté la valeur de cette machine sur le marché de l'occasion jusqu'en 2005. Les résultats sont notés dans le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}m{2.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&2000		&2001		&2002		&2003	&2004	&2005\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$	&0			&1			&2			&3		&4		&5\\ \hline
Valeur de la machine 
(en \euro) $y_{i}$		&\np{50000}	&\np{42000}	&\np{36000}	&\np{32000}&\np{26500}&\np{22000}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

Une représentation du nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est donnée en annexe, à rendre avec la copie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés (\emph{arrondir les coefficients à l'unité}).

\medskip

Pour l'étude qui suit, on retient comme ajustement affine la droite $\Delta$ d'équation $y = - \np{5440}x + \np{48400}.$
\item 	Tracer la droite $\Delta$  sur le graphique de l'annexe, à rendre avec la copie.
\item 	En supposant que ce modèle reste valable pour les cinq années à venir, prévoir une estimation de la valeur de cette machine en 2007, puis en 2010.
\item 	Commenter le dernier résultat.
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

Le service comptable de cette entreprise remarque que pendant les années 2000 à 2005 la machine s'est dépréciée d'environ 15\:\% par an. Il suppose alors qu'à partir de 2005 la baisse annuelle sera de 15\:\%. Il pose $v_{0} = \np{22000}$ et note $\left(v_{n}\right)$ la suite donnant la valeur estimée, selon ce modèle, de la machine au bout de $n$ années de fonctionnement à partir de 2005.

Ainsi, $v_{1}$ est la valeur estimée de la machine en 2006.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique ; déterminer sa raison.
		\item  Montrer que, pour tout entier naturel $n,~ v_{n} = \np{22000} \times (0,85)^n$.
 	\end{enumerate}
\item	Le tableau suivant est un extrait d'une feuille de calculs. II donne la valeur estimée $v_{n}$ de la machine
pour les années 2005 à 2011. Le format de la colonne D est un format numérique à zéro décimale.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor[gray]{0.8}}c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rowcolor[gray]{0.8}&A&B&C&D\\ \hline
1&Année&	Valeur réelle de la machine&Rang de l'année à partir de 2005&Valeur estimée de la machine\\ \hline
2&2000&\np{50000}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}\\ \hline3&2001&\np{42000}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}\\ \hline
4&2002&\np{36000}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}\\ \hline
5&2003&\np{32000}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}\\ \hline
6&2004&\np{26500}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}\\ \hline
7&2005&\np{22000}&0&\np{22000}\\ \hline
8&2006&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&	1&	\np{18700}\\ \hline
9&2007&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&	2&	\np{15895}\\ \hline
10&2008&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&	3&	\np{13511}\\ \hline
11&2009&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&	4&	\np{11 484}\\ \hline
12&2010&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&5&\np{9762}\\ \hline
13&2011&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&6&\np{8297}\\ \hline	
\end{tabularx}

\end{center}

Donner une formule qui, entrée dans la cellule D8, permet, par recopie vers le bas, d'obtenir la plage de cellules D8:D13.
\item 	\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

Selon ce modèle, à partir de quelle année la machine aura-t-elle une valeur inférieure à \np{5000}~\euro{}?
\end{enumerate}
	
\newpage
	
\begin{center}

\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.0003cm}
\begin{pspicture}(0,-10000)(12,60000)
\multido{\n=0+0.4}{31}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,60000)}
\multido{\n=0+1000}{61}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(12,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=10000]{->}(0,0)(12,60000)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=10000](0,0)(12,60000)
\uput[d](6,-10000){Rang de l'année}
\rput{90}(-1.5,30000){Valeur estimée de la machine}
\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45,dotscale=1.5](0,50000)(1,42000)(2,36000)(3,32000)(4,26500)(5,22000)
\end{pspicture}	
\end{center}
\end{document}