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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STG Mercatique}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique septembre 2008~\decofourright\\Métropole--La Réunion}} 

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un test vrai/faux.}

\medskip

\emph{Pour chacune des quatre propositions, relever le numéro de la proposition et dire si elle est vraie ou fausse. Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

\emph{Une réponse juste rapporte $1,5$ point ; une réponse fausse enlève $0,5$ point ; l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total des points est négatif la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.}

\medskip

Un groupe d'élèves décide de faire des gâteaux et de les vendre pour récolter de l'argent pour tir voyage scolaire.

Ils pensent confectionner des gâteaux au yaourt et des gâteaux au chocolat, et les vendre respectivement 6~\euro{} et 8~\euro{} pièce. Ils disposent en quantités nécessaires des yaourts, du chocolat, du beurre, de la levure et de l'huile, mais n'ont que 4,8~kg de farine, 5,4~kg de sucre et 150~{\oe}ufs.

\medskip

La préparation d'un gâteau au yaourt nécessite 240~g de farine, 240~g de sucre et 3~{\oe}ufs. 

La préparation d'un gâteau au chocolat nécessite 80~g de farine, 150~g de sucre et 6~{\oe}ufs.

\medskip

Les élèves notent $x$ le nombre de gâteaux au yaourt fabriqués, et $y$ le nombre de gâteaux au chocolat fabriqués. Ils supposent que tous les gâteaux fabriqués seront vendus. Ils souhaitent gagner le plus d'argent possible.

Ils réalisent un graphique permettant de traiter ce problème. Ce graphique est donné à la page suivante.

Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives (0~;~25), (10~;~20), $\left(\dfrac{120}{7}~;~\dfrac{60}{7}\right)$ 	et (20~;~0).

Les couples d'entiers $(x~;~y)$ respectant les contraintes sont les coordonnées des points à coordonnées entières situés à l'intérieur du pentagone OABCD ou sur ses côtés.

La droite d'équation $6x + 8y =  160$ est tracée en pointillés. Elle correspond aux cas où la recette est de 160~\euro.

\bigskip

\textbf{Proposition 1 :} La contrainte liée à la quantité de farine disponible peut se traduire par : $3x + y \leqslant 60$.

\textbf{Proposition 2 :} La droite (BC) est associée à la contrainte liée au nombre d'{\oe}ufs.

\textbf{Proposition 3 :} En fabriquant 19~gâteaux au yaourt et 4~gâteaux au chocolat, toutes les contraintes sont respectées.

\textbf{Proposition 4 :} En respectant toutes les contraintes, le maximum d'argent gagné lors de la vente sera de 220~\euro.

\begin{center}

\psset{unit=0.475cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(24,26)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange](0,0)(24,26)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(24,26)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(24,26)
\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](0,25){A} \uput[ur](10,20){B}\uput[ur](17.4,8.57){C} \uput[ur](20,0){D}
\psline[linestyle=dashed](-1,20.75)(24,2)
\psline(-1,25.5)(24,13)%(AB)
\psline(6.25,26)(23.125,-1)%(BC)
\psline(11.333,26)(20.333,-1)%(CD)
\uput[d](23,0){$x$} \uput[l](0,26){$y$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\emph{On rappelle que si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, et si $v$ ne s'annule pas sur I, alors la fonction $\dfrac{u}{v}$ est dérivable sur I et sa fonction dérivée est donnée par la formule : $\left(\dfrac{u}{v}\right)' =	\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$.}

\medskip

On se propose d'étudier la capacité pulmonaire moyenne de l'être humain de 10 à 90 ans.

On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle [10~;~90] par

\[ f(x) = \dfrac{110 \ln (x) - 220}{x}.\]

On admet que, pour un être humain d'âge $x$, en années, appartenant à l'intervalle [10 ~;~ 90], sa capacité pulmonaire moyenne, en litres, peut être modélisée par $f(x)$.

Une représentation graphique de la fonction $f$  est donnée ci-dessous.

\medskip

\psset{xunit=0.12cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(100,6)
\multido{\n=0+10}{11}{\psline[linewidth=0.6pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,6)}
\multido{\n=0+2}{50}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,6)}
\multido{\n=0+1}{7}{\psline[linewidth=0.6pt,linecolor=orange](0,\n)(100,\n)}
\multido{\n=0+0.2}{30}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(100,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10]{->}(0,0)(100,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10](0,0)(100,6)
\uput[u](100,0){$x$} \uput[r](0,6){$y$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=1500,linewidth=1.25pt]{10}{90}{x ln 110 mul 220 sub x div}
\end{pspicture}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item  Répondre avec la précision permise par la représentation graphique.
	\begin{enumerate}
		\item  À quel âge la capacité pulmonaire moyenne est-elle maximale ?
		
Quelle est cette capacité maximale ?
		\item  À quels âges la capacité pulmonaire moyenne est-elle supérieure ou égale à 5~litres ?
	\end{enumerate}
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [10~;~90], 
		
$f'(x) = \dfrac{110(3 - \ln (x))}{x^2}$.
		\item  Résoudre sur l'intervalle [10~;~90] l'équation $3 - \ln(x) = 0$.
		
Donner une valeur arrondie de la solution au dixième.
		\item  On considère sur l'intervalle [10~;~90] l'inéquation $3 - \ln (x) > 0$.
		
Montrer que l'ensemble des solutions de cette inéquation est $\left[10~;~\text{e}^3\right[$.

En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$ sur l'intervalle [10~;~90].
		\item  Indiquer comment retrouver les résultats de la question \textbf{1.}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
		
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip

Les rations journalières conseillées sur des sacs de croquettes pour chien des marques Topdog et Friskas sont données ci-dessous.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.1cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Poids du chien $x_{i}$ (kg)					&5		&	10&15	&30	&40	&60\\ \hline
Ration journalière conseillée $y_{i}$ (g)	&50 	&90	&120	&200&250&340\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Les parties I et II sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer s'il y a proportionnalité entre le poids du chien et la ration journalière conseillée.

Justifier.
\item 	Le chien de Julie pèse 26~kg. Julie souhaite calculer la ration journalière conseillée.

Une représentation graphique du nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est donnée ci-dessous.
\end{enumerate}

\medskip
	
\psset{xunit=0.171cm,yunit=0.0333cm}
\begin{pspicture}(0,-20)(70,360)
\multido{\n=0+5}{15}{\psline[linewidth=0.6pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,360)}
\multido{\n=0+1}{70}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,360)}
\multido{\n=0+20}{19}{\psline[linewidth=0.6pt,linecolor=orange](0,\n)(70,\n)}
\multido{\n=0+10}{37}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(70,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=20]{->}(0,0)(70,360)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=20](0,0)(70,360)
\psdots[dotstyle=triangle*](5,50)(10,90)(15,120)(30,200)(40,250)(60,340)
\uput[u](70,0){$x$} \uput[r](0,360){$y$}
\psline(0,38)(62,360)

\end{pspicture}

\bigskip

Julie a obtenu par la méthode des moindres carrés la droite d'ajustement de $y$ en $x$, et l'a tracée. Déterminer la ration journalière conseillée pour le chien de Julie.

\medskip

\textbf{Partie II}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{2}{X|}}\hline
\multicolumn{3}{|c|}{Formulaire}\\ \hline
Suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ de raison $r$&	Premier terme $u_{1},~ u_{n+1}  = u_{n} + r$&$u_{1}+u_{2} +\cdots  +u_{n} = nu_{1}+ \dfrac{n(n-1)r}{2}$\\ \hline 
Suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ de raison $q$&Premier terme $u_{1},~u_{n+1} = qu_{n}$&$u_{1}+u_{2} +\cdots  +u_{n}  = u_{1}\dfrac{q^n - 1}{q - 1}$.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Le chien d'Arthur pèse 30~kg et mange des croquettes Topdog.

Arthur décide de changer pour la marque Friskas. Mais la transition doit être progressive.
 
Arthur suit les recommandations des deux marques et donne à son chien une ration journalière de 200~g.
  
\medskip
  
Arthur choisit de donner le premier jour 20~g de croquettes Friskas, et le reste de la ration, soit 180~g, en croquettes Topdog ; puis il étudie deux programmes d'alimentation :

\begin{itemize}
\item premier programme : augmenter la part de croquettes Friskas de 15~g par jour.
\item  second programme : augmenter chaque jour de 20\,\% la part de croquettes Friskas présente dans la ration.
\end{itemize}

Dans les deux cas, la ration quotidienne reste au total à 200~g.

\medskip

Arthur utilise un tableur pour étudier les deux programmes d'alimentation de son chien. La feuille de calcul est donnée à la page suivante. Le format d'affichage est un format numérique à 0 décimale.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Premier programme 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une formule qui, entrée dans la cellule B3, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage de cellules B3:B14.
		\item Donner une formule qui, entrée dans la cellule C2, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage de cellules C2:C14.
		\item Calculer la quantité totale de croquettes Topdog que doit prévoir Arthur dans ce premier programme d'alimentation durant la période de transition.
	\end{enumerate}
\item Second programme

	\begin{enumerate}
		\item Une formule entrée dans la cellule D3 a permis d'obtenir la plage de cellules D3:D16 par recopie vers le bas. Cette formule permet de limiter la ration de croquettes Friskas à 200~g.
		
Recopier la seule des trois formules ci-dessous qui peut convenir.

\begin{center}
	=D2 * 1,20 \quad  SI(D2 * 1,20 > 200; 200; D2 * 1,20)\quad 		= \$D\$2*1,2Â2
\end{center}
		\item Soit $u$ la suite géométrique de premier terme $u_{1} = 20$ et de raison $1,2$.
		
Calculer la somme des treize premiers termes $u_{1} + u_{2} + \cdots + u_{13}$.
		\item Montrer que la quantité totale de croquettes Topdog utilisées pendant la période de transition dans le second programme est à l'unité près égale à \np{1630}~g.
	\end{enumerate}
\item	\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Avant la période de transition, il reste à Arthur un sac de 2~kg de croquettes Topdog. Il souhaite en utiliser le plus possible durant la période de transition entre les deux marques de croquettes. Lequel des deux programmes d'alimentation Arthur choisira-t-il ? Justifier.
\end{enumerate}

\newpage

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}
{\linewidth}{|c|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C&D&E\\ \hline
1&Jour						&	 	Premier programme  Quantité de	croquettes Friskas (g)&Premier programme Quantité de croquettes Topdog (g)&Second programme  Quantité de croquettes Friskas (g)&	Second programme
Quantité de croquettes Topdog (g)\\ \hline
2&	1&	20	&180		&20	&	180\\ \hline
3&	2&	35	&165		&24	&	176\\ \hline
4&	3&	50	& \ldots	&29	&\ldots\\ \hline
5&	4&	65	& \ldots	&35	&\ldots\\ \hline
6&	5&	80	& \ldots	&41	&\ldots\\ \hline
7&	6&	95	& \ldots	&50	&\ldots\\ \hline
8&	7&	110	& \ldots	&60	&\ldots\\ \hline
9&	8&	125	& \ldots	&72	&\ldots\\ \hline
10&	9&	140	& \ldots	&86	&\ldots\\ \hline
11&	10&	155	& \ldots	&103&\ldots\\ \hline
12&	11&	170	&\ldots		&124&\ldots\\ \hline
13&	12&	185	& \ldots	&149&\ldots\\ \hline
14&	13&	200	&0			&178&22\\ \hline
15&	14&		&			&200&0\\ \hline
16&	15&		&			&200&0\\ \hline
\end{tabularx}
\end{document}