\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx,multirow}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\textwidth}{14cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat STG},
pdftitle = {Mercatique Polynésie juin 2008},
allbordercolors = white}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Mercatique}  
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique  Polynésie~\decofourright\\ juin 2008}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.

Le formulaire officiel est autorisé.

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).

Pour répondre, on demande de noter le numéro de la question et d'indiquer la réponse exacte (A, B ou C).

\medskip

Pour chaque question une seule des trois réponses est correcte.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Une réponse juste rapporte $1$ point ; une réponse fausse enlève $0,25$ point et l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.
\item[$\bullet~$] Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\textbf{Question 1 :} Un article subit une diminution de 20\:\%. Pour qu'il retrouve son prix initial, il faut :

\medskip

{\small\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
Réponse A : L'augmenter de 20\:\%& Réponse B : Diviser par $0,8$& Réponse C : Ajouter 0,8\\
\end{tabularx}}

\medskip

\textbf{Question 2 :} Le prix d'un article a d'abord été doublé puis ensuite triplé. Le taux d'évolution global est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
Réponse A : 600\:\%&	Réponse B : 500\:\%&	Réponse C : 400\:\%
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 3 :}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\textwidth}{|m{2.5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année								&2005  		&	2006\\ \hline
Chiffre d'affaires (milliers d'euro)&\np{25000}	&\np{42000}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
Le taux annuel d'évolution du chiffre d'affaires (arrondi au dixième) entre 2005 et 2006 est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
Réponse A : 0,30&	Réponse B : 1,68& 	Réponse C : 0,68\\ 
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 4 :} Le nombre d'internautes en Europe était en 2001 de $143,3$~millions d'individus.

En prenant ce nombre pour base 100, on obtient pour 2002 un indice égal à $133,2$. Le nombre d'internautes en Europe, en millions, en 2002 est d'environ :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
Réponse A : $176,5$&	Réponse B : $190,9$& 	Réponse C : $107,6$\\
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Monsieur François va ouvrir un marché \og puces et brocante \fg{} sur son terrain. Il  y a délimité 120~emplacements. L'installation des exposants commencera à 6~h, le dernier exposant devra avoir fini de s'installer à 8~h. Il prévoit que chaque exposant arrivant :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item avec une voiture, paiera 10 euros de redevance et disposera de deux emplacements pour installer son stand,
\item  avec un fourgon, paiera 16 euros de redevance et disposera de trois emplacements.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Il faut en moyenne 1~min à une voiture pour se garer et 4 min à un fourgon.

Pour des raisons de. sécurité, chaque exposant ne peut commencer à se garer que lorsque le précédent a fini de se garer.
 
\medskip
 
Monsieur François souhaite déterminer le nombre de voitures et le nombre de fourgons nécessaires pour que sa recette soit maximale.

\medskip

\textbf{Partie A :} On note $x$ le nombre de voitures et $y$ le nombre de fourgons.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Écrire un système d'inéquations correspondant aux contraintes du problème.
\item  En utilisant la feuille de papier millimétré fournie, déterminer graphiquement l'ensemble des points $M$ du plan dont les coordonnées vérifient le système (S) suivant avec comme unité
graphique 1~cm pour 5~unités sur les deux axes. On hachurera la partie du plan qui ne convient pas.
 
\[(\text{S}) \left\{\begin{array}{l c l}
x&\geqslant & 0\\
y&\geqslant & 0\\
y&\leqslant& - \dfrac{2}{3}x + 40\\
y&\leqslant& - \dfrac{1}{4}x + 30\\
\end{array}\right.\]

\item Après avoir justifié le lien entre les questions 1 et 2, préciser si Monsieur François peut
accueillir :
	\begin{enumerate}
		\item 50 voitures et 20 fourgons ? 
		\item 30 voitures et 15 fourgons ? 
		\item 24 voitures et 24 fourgons ?
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
 \medskip
 
\textbf{Partie B :} On note $R$ la recette de la journée

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Exprimer $R$ en fonction de $x$ et $y$.

\item  Montrer que la droite D d'équation $y = - \dfrac{5}{8}x	+ 10$ correspond à une recette de 160~euros.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter la droite D dans le repère précédent.
		\item Trouver le couple d'entiers $(x~ ;~y)$ qui permet d'obtenir la recette maximale.
		\item Calculer alors cette recette maximale et répondre au problème posé.
	 \end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

Ulysse, Victor et Walter sont nés tous les trois le 1\up{er} janvier 2008.

À leur naissance, leurs pères respectifs ont décidé de leur mettre de l'argent de côté.

Le père d'Ulysse dépose 100~euros le 1\up{er} janvier 2008 dans son coffre-fort et y ajoutera 200 euros tous les ans ;
 
Le père de Victor place \np{2000} euros le 1\up{er} janvier 2008 à intérêts composés au taux annuel de 3\:\%.
 
Le père de Walter met 1~euro dans une tirelire le 1\up{er} janvier 2008 puis y mettra 2~euros en 2009, 4~euros en 2010, 8~euros en 2011, 16~euros en 2012 \ldots Il déposera donc dans la tirelire chaque année, le double de la somme versée l'année précédente.
 
\medskip
 
On note $U_{n},~V_{n},~W_{n}$ 	les capitaux acquis par Ulysse, Victor et Walter à l'année $2008 + n$.

\medskip

\textbf{Partie A : } On s'intéresse aux suites $\left(U_{n}\right)$ et $\left(V_{n}\right)$.

\medskip

On utilise un tableur. Voici un tableau représentant l'écran, les résultats ayant été demandés à 0,1 près.
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
 &A&B&C\\ \hline
 1&$n$&$U_{n}$&$V_{n}$\\ \hline
2&	0&	100	&\np{2000}\\ \hline
3&	1&	300	&\np{2060}\\ \hline
4& 	2&	500	&\np{2121,80}\\ \hline
5&	3&	700	&\np{2185,50}\\ \hline
6&	4&	900	&\np{2251}\\ \hline
7&	5&	1100&\np{2318,50}\\ \hline
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\item  Quelle formule faut-il entrer en B3 pour obtenir par recopie vers le bas, les valeurs des termes de la suite $\left(U_{n}\right)$ ? Quelle formule faut-il entrer en C3 pour obtenir, par recopie vers le
bas, les valeurs des termes de la suite la suite $\left(V_{n}\right)$ ? 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $\left(U_{n}\right)$ est une suite arithmétique dont on précisera le terme initial et la raison.
		\item Justifier que $\left(V_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le terme initial et la raison.
	\end{enumerate}

\item  À 5 ans Victor dit à Ulysse \og Je suis deux fois plus riche que toi \fg. Et à 10~ans, est-ce encore vrai ? Justifier votre réponse. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer $U_{n}$ et $V_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item  A 18~ans, Ulysse et Victor veulent s'acheter chacun une moto qui coûte \np{3500}~euros. Qui pourra le faire ? Justifier.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :} On s'intéresse à la suite $\left(W_{n}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer les termes $W_{1},\:W_{2},\:W_{3}$ et $W_{4}$.
\item  Exprimer $W_{n}$ fonction de  $n$.
\item  Walter affirme qu'à 18 ans, il pourra acheter 149 motos à \np{3500}~euros. Vrai ou Faux ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

Une entreprise de maroquinerie fabrique des sacs.

On désigne par $x$ le nombre de centaines de sacs fabriqués par jour dans l'entreprise.

Le coût de fabrication de $x$ centaines de sacs, exprimé en centaines d'euros, est donné par :

\[C(x) = 2x + \text{e}^{0,5x}.\]

Chaque sac est vendu 10 euros, on note $R(x)$ la recette, exprimée en centaines d'euros, correspondant à la vente de $x$ centaines de sacs.

\[R(x) = 10x.\]

\textbf{Partie 1 -Lecture graphique}

\medskip

Voici les représentations graphiques des fonctions $C$ et $R$ :
 
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(15,130)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(15,130)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10](0,0)(15,130)
\multido{\n=0+0.5}{31}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,130)}
\multido{\n=0+5}{027}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.4pt](0,\n)(15,\n)}
\psplot{0}{13}{10 x mul} 
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{0}{9.43}{2.71828 0.5 x mul exp x 2 mul add}
\uput[u](14.7,0){$x$}
\uput[l](0,127.5){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Parmi ces deux représentations graphiques, quelle est celle de la fonction $R$ ? 
\item  À l'aide du graphique, recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&	&	&8\\ \hline
$C(x)$	&10	&	&\\ \hline
$R(x)$ 	& 	& 40& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Arrondi à la centaine de sacs, combien de centaines de sacs faut-il fabriquer pour que l'entreprise soit certaine d'être bénéficiaire ? 
\end{enumerate}

\textbf{Partie 2 :}

\medskip

On note $B(x)$ le bénéfice journalier, exprimé en centaines d'euros réalisé par l'entreprise.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que $B(x) = 8x - \text{e}^{0,5x}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $B'(x)$. La notation $B'$  désigne la fonction dérivée de la fonction $B$.
		\item Montrer que dans [0~;~15], résoudre $B'(x) \leqslant  0$ revient à résoudre l'inéquation 
		
$\text{e}^{0,5x} \geqslant  16$.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $B$ sur [0~;~15].
		\item En déduire la valeur exacte de $x$ pour laquelle $B$ admet un maximum. On donnera une valeur arrondie de cette valeur exacte à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\item En déduire la valeur maximale du bénéfice arrondi à l'euro.
\end{enumerate}
\end{document}