\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{tabularx,multirow}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat STG},
pdftitle = {Mercatique Pondichéry avril 2008},
allbordercolors = white}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Mercatique}  
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{15 avril 2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique  Pondichéry~\decofourright\\15 avril 2008}}
\end{center}

\begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.
\end{center}

\vspace{0,35cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).

Pour chaque question trois réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.
 
On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte. Aucune justification n'est demandée.

\emph{Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse fausse retire $0,5$ point. Une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à zéro.}

\textbf{I.}  On considère l'arbre de probabilité suivant, dans lequel $\overline{\text{A}}$ et $\overline{\text{E}}$ sont les évènements contraires respectivement des évènements A et E.

\medskip

\begin{center}\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt]{\Tdot}
{
	\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{$0,15$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$E$}\taput{}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{E}$}\tbput{$0,3$}
 		}
	\pstree{\Tdot~[tnpos=b]{$\overline{A}$}\tbput{}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$E$}\taput{$0,25$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{E}$}\tbput{}
 		}
}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  La probabilité de l'évènement $A \cap E$ est

\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{3}{c X}}
\textbf{a.}&0,85&	\textbf{b.}& 0,105& \textbf{c.}&0,142\:5\\
\end{tabularx}

\item La probabilité de l'évènement $E$ est :

\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{3}{c X}}
\textbf{a.}&0,212\:5&\textbf{b.} &0,95&\textbf{c.}&0,317\:5\\ 
\end{tabularx}
\end{enumerate}
	
\textbf{II.} On place 300 euros  à intérêts composés au taux annuel de 4\,\%. À l'aide du tableau ci-dessous,
 répondre aux questions suivantes.
 
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 	&A			&B		&C\\ \hline
1	&Année $n$ 	&Taux 	& Capital\\ \hline
2	&0			&4		&300\\ \hline
3	&1			&		&312\\ \hline
4	&2			&		&324,48\\ \hline
5	&3			&		&\np{3374592}\\ \hline
6	&4			&		&\np{350,957568}\\ \hline
7	&5			&		&\np{364,995871}\\ \hline
8	&6			&		&\np{379,595706}\\ \hline
9	&7			&		&\np{394,779534}\\ \hline
10	&8			&		&\np{410,570715}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item  Dans la cellule C3, on a entré une formule que l'on a recopiée vers le bas. Cette formule est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{c X}}
\textbf{a.}&C2*(1+\$B\$2/100)&\textbf{b.}& C\$2*(1+B2/100)&\textbf{c.}&\$C\$2*(1+\$B\$2/100)\\ 
\end{tabularx}
\item Les intérêts, arrondis au centime d'euro, acquis au bout de $7$~ans s'élèvent à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{c X}}
\textbf{a.}& 94,78&\textbf{b.}& 379,60&\textbf{c.}& 394,78
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\textbf{II.} L'inéquation $\text{e}^{x -3} \leqslant 4$ a pour ensemble de solutions dans $\R$ :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{c X}}
\textbf{a.}&$S = ]-\infty~;~4 + \ln(3)] $&\textbf{b.}& $S =]-\infty~;~ 7]$&\textbf{c.}&$S = ]- \infty~;~	3 + \ln (4)]$\\
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Hélène est salariée de la même entreprise depuis maintenant quinze ans. Elle regarde l'évolution de son salaire qui dépend à la fois de la variation des cotisations, des changements d'échelons et des augmentations occasionnelles. Elle observe les résultats suivants sur les huit dernières années.

\medskip


\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.7cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&2000	&2001	&2002 	&2003	&2004	&2005	&2006	&2007\\  \hline
Rang de l'année $x_{i}$	&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7		&8\\ \hline
Salaire mensuel moyen 
$y_{i}$ (en \euro)		&\np{1650}&\np{1725}&\np{1740} &\np{1750} 	&\np{1825} 	&\np{1850} 	&\np{1950} 	&\np{1960}\\ \hline
\end{tabularx}\\
\begin{enumerate}
\item  Tracer le nuage de points associé à cette série statistique dans un repère d'unités graphiques : 

\medskip

$1$~cm pour une année sur l'axe des abscisses,

$2$~cm pour 100 \euro{} sur l'axe des ordonnées (graduer l'axe des ordonnées à partir de $\np{1600}$~\euro.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les coordonnées du point moyen G et le placer dans le repère précédent.
		\item  Avec la calculatrice, déterminer une équation de la droite ($\Delta$) d'ajustement de $y$ en $x$ de ce nuage de points par la méthode des moindres carrés : les coefficients de l'équation seront arrondis à l'unité.
		\item  Tracer la droite ($\Delta$) dans le repère de la question 1.
	\end{enumerate}
\item On considère que cette droite permet un ajustement de la série statistique valable jusqu'en 2015.
	\begin{enumerate}
		\item  Estimer, à l'aide du graphique, le salaire moyen mensuel d'Hélène en 2010 \emph{en laissant apparents sur le graphique les traits de rappel} (arrondir à la dizaine d'euros).
		\item  Son salaire atteindra-t-il \np{2400}~\euro{} avant 2015 ? Justifier la réponse.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Sur la figure 1 donnée en \textbf{annexe} (à rendre avec la copie), on a tracé les droites :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{X X}
$d_{1}$ d'équation $y = 5$ ~;& 	$d_{2}$ d'équation $y = - \dfrac{3x}{7} + \dfrac{250}{21}$~;\\
$d_{3}$ d'équation $y =  -x + 17$~ ;& $d_{4}$  d'équation $x =4$.
\\
\end{tabularx}
\end{center}

Déterminer graphiquement, en hachurant la partie du plan qui ne convient pas, l'ensemble des points $M$ du plan dont les coordonnées $(x~;~y)$ vérifient le système suivant :
\[ \left\{\begin{array}{l c l}
x & \geqslant	&4\\ 
y & \geqslant 	&5\\
y & \leqslant 	& - x + 17\\
y & \leqslant 	& \dfrac{-3x}{7} + \dfrac{250}{21}\\
\end{array}\right.\]

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Les propriétaires d'un magasin situé en bord de mer souhaitent acheter des planches à voile pour les proposer à la location. Ils doivent acheter deux types de planche à voile :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  des planches, au coût unitaire de 900~\euro, destinées aux débutants ;
\item  des planches, au coût unitaire de 2\:100~\euro, destinées aux utilisateurs confirmés.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Les contraintes sont les suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  Ils doivent avoir au moins 4 planches pour débutants et 5~planches pour utilisateurs confirmés.
\item[$\bullet~$] Pour des raisons de difficulté de stockage, ils ne peuvent acheter au maximum que 17~planches.
\item[$\bullet~$] Le budget maximum pour l'achat de l'ensemble des planches est de \np{25000}~\euro.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note $x$ le nombre de planches pour débutants et $y$ le nombre de planches pour utilisateurs confirmés achetées par les propriétaires.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que les contraintes d'achat sont caractérisées par le système de la partie A avec $x$ et $y$ entiers.
\item  Le magasin peut-il acheter 6 planches pour débutants et 10 planches pour utilisateurs confirmés ?

Justifier la réponse
\item  Les planches pour débutants seront louées 15~\euro{} l'heure ; les planches pour utilisateurs confirmés seront louées 20~\euro{} l'heure.

On suppose que toutes les planches seront louées.
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer, en fonction de $x$ et $y$ le chiffre d'affaire horaire $R$ du magasin.
		\item Les propriétaires souhaitent déterminer le couple $(x~;~y)$ qui fournira le chiffre d'affaire horaire maximum. 
		
		À l'aide d'un tableur, ils obtiennent la feuille de calcul donnée en annexe. Parmi les formules. suivantes, indiquer celle qui est à saisir dans la cellule B2 afin de compléter le tableau par recopie :
		
Formule 1 :  15*\$A\$2+20*\$B\$1
		 
Formule 2 : 15*A\$2+20*B\$1 

Formule 3 : 15*\$A2+20*\$B1
		\item Donner, parmi les couples $(x ~;~y)$ qui vérifient les contraintes, celui qui correspond au chiffre d'affaire maximum. Quel est ce chiffre d'affaire maximum ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~15] par
 
 \[ f(x) =  2\ln (x + 1) + 1.\]
 
\begin{enumerate}
\item  On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle [0~;~15].
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et étudier son signe sur l'intervalle [0~;~15].
		\item Établir le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle [0~;~15].
 	\end{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous (arrondir au dixième) :

\medskip
	
{\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{16}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8	&9	&10	&11	&12	&13	&14	&15\\ \hline
$f(x)$	&	&	&3,2&	&4,2&4,6&4,9&5,2&	&	&5,8&	&6,1&6,3&	&\\ \hline
\end{tabularx}}
\item  Tracer la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal (unité : $1$~cm).
\item  Soit $(D)$ la droite d'équation $y = 0, 8x$. Tracer la droite $(D)$ dans le repère précédent.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une entreprise fabrique des pièces pour avions. On note $x$ le nombre de pièces fabriquées par mois ($0 \leqslant  x \leqslant 15$). Chaque mois, les coûts de production, exprimés en milliers d'euros, sont donnés par : $f(x) = 2\ln (x + 1) +1$.

Le prix de vente d'une pièce est $0,8$~millier d'euros.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Si l'entreprise vend $x$ pièces, déterminer la recette exprimée en milliers d'euros. 
\item  Vérifier que le bénéfice mensuel est : $B(x) = 0,8x - 1 - 2\ln (x + 1)$.
\item  Calculer une valeur approchée de $B(3)$ et $B(14)$, puis préciser pour chacun de ces cas si l'entreprise est bénéficiaire.
\item  En justifiant graphiquement la réponse, donner le nombre minimal de pièces qu'il faut fabriquer et vendre pour que l'entreprise soit bénéficiaire.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{ANNEXE}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}
\textbf{EXERCICE 3}

\begin{flushleft}\textbf{Figure 1} \end{flushleft}

\bigskip

\psset{unit=0.3529cm}\begin{pspicture}(-5,-2)(29,19)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(29,19)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1.9,-1.9)(29,19)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-1.9,-1.9)(29,19)
\psline[linewidth=1.25pt](4,-2)(4,19)
\psline[linewidth=1.25pt](-5,5)(29,5)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2}{29}{250 21 div 3 x mul 7 div sub}
\psline[linewidth=1.25pt](-2,19)(19,-2)
\uput[d](-3,5){$d_{1}$} \uput[d](-3,13){$d_{2}$} \uput[d](-3,20){$d_{3}$} \uput[r](4,18){$d_{4}$} 
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}

\vspace{1.5cm}

\begin{flushleft}\textbf{Question 3. b. Feuille de calcul} \end{flushleft}\\

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 &A							&B	&C	&D	&E	&F	&G	&H\\ \hline
1&\backslashbox{$x$}{$y$}	&5	&6	&7	&8	&9	&10	&11\\ \hline
2&4							&160&180&200&220&240&260&280\\ \hline
3&5							&175&195&215&235&255&275&295\\ \hline
4&6							&190&210&230&250&270&290&310\\ \hline
5&7							&205&225&245&265&285&305&325\\ \hline
6&8							&220&240&260&280&300&320&340\\ \hline
7&9							&235&255&275&295&315&335&355\\ \hline
8&10						&250&270&290&310&330&350&370\\ \hline
9&11						&265&285&305&325&345&365&385\\ \hline
10&12						&280&300&320&340&360&380&400\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}