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%%% Tapuscrit  François Hache sur une base d'Olivier Reboux 
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STI2D et STL}
\lfoot{\small{Métropole -- La Réunion}}
\rfoot{\small{14 juin 2017}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCL~\decofourright\\[5pt]Métropole - La Réunion -- 14 juin 2017}}
\end{center}

\section*{Exercice 1 \hfill 6 points}

%\begin{Enonce}
La climatisation d'un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système  fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.

On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd
  naturellement $0,1$ gramme de gaz chaque jour.

Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz
  dans le réservoir est initialement de $660$ grammes.

\subsection*{Partie A}

Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse  de gaz est inférieure à $440$ grammes.

Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à  l'automobiliste de recharger ce réservoir ?

\subsection*{Partie B}

  Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à  l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule  présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la  perte naturelle de $0,1$ gramme, le système perd $1\,\%$  de sa masse chaque jour.

  Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.

  Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le  réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.

  On a donc, $u_0 = 660$ et on admet que pour tout entier naturel $n$,
  on a :
  \[
    u_{n+1} = 0,99u_n -0,1.
  \]

  \begin{enumerate}
  \item Calculer $u_1$ et $u_2$.
  \item Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non
    nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant
    dans le système.

\begin{center}
\begin{tabular}{| l |}
\hline
  \\
\textbf{Variables}        \\
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm}  \\
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre  réel\\
\textbf{Entrée}         \\
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
\textbf{Initialisation}\\
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
\textbf{Traitement} \\
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à \ldots\\
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm}  $u$ prend la valeur \ldots \hspace*{0.5cm}  \\
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
\textbf{Sortie} \\
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
  \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

    \begin{enumerate}

    \item Recopier et compléter la partie relative au \textbf{traitement} de      cet algorithme.
    \item Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de $20$ jours ?
      Arrondir au gramme près.
    \end{enumerate}

  \item Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier    naturel par $v_n = u_n +10$.

    \begin{enumerate}
    \item Calculer $v_0$.
    \item On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison      $0,99$.

      Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a :   $u_n = 670 \times 0,99^n -10$.
    \item À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à  la \textbf{question 2.b.}

    \end{enumerate}
    
  \item On rappelle que le constructeur préconise de recharger le  réservoir au plus tard lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$~g.

    Le coût d'une recharge est de $80$ euros. Le garagiste propose de  réparer le système pour $400$ euros.
  
    Pourquoi est-il plus économique pour cet automobiliste de réparer   le système ? Justifier la réponse.
  \end{enumerate}
%\end{Enonce}


\section*{Exercice 2 \hfill 5 points}

%\begin{Enonce}
  \def\intervalleA{\left[0\,;\,+\infty\right[}

La fonte GS (graphite sphéroïdal) possède des caractéristiques mécaniques élevées et proches de celles des aciers. Une entreprise fabrique des pièces de fonte GS qui sont utilisées dans l'industrie automobile.

Ces pièces sont coulées dans des moules de sable et ont une température de $\np{1400}$\,\degres{}C à la sortie du four. Elles sont entreposées dans un local dont la température ambiante est maintenue à une température de $30$\,\degres{}C. Ces pièces peuvent être démoulées dès lors que leur température est inférieure à $650$\,\degres{}C.

La température en degrés Celsius d'une pièce de fonte est une fonction du temps $t$, exprimé en heures, depuis sa sortie du four. On admet que cette fonction $f$, définie et dérivable sur l'intervalle
$\intervalleA$, est une solution sur cet intervalle de l'équation différentielle :

\[  y'+0,065y = 1,95.\]

\begin{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item Résoudre sur $\intervalleA$ l'équation différentielle $y'+0,065y = 1,95.$
  \item Donner $f(0)$ et vérifier que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $\intervalleA$ par 
  
  \[f(t) = \np{1370}\e^{-0,065t}+30.\]
  
  \end{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item Étudier mathématiquement le sens de variation de la fonction  $f$ sur l'intervalle $\intervalleA$.
  \item Pourquoi ce résultat était-il prévisible ?
  \end{enumerate}
\item La pièce de fonte peut-elle être démoulée après avoir été entreposée $5$ heures dans le local ?
\item
  \begin{enumerate}
  \item Déterminer au bout de combien de temps au minimum la pièce  pourra être démoulée. Arrondir le résultat à la minute près.
  \item Pour éviter la fragilisation de la fonte, il est préférable de  ne pas démouler la pièce avant que sa température ait atteint $325$\,\degres{}C.

    Dans ce cas faudra-t-il attendre exactement deux fois plus de
    temps que pour un démoulage à $650$\,\degres{}C? 
    Justifier la réponse.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
%\end{Enonce}

\section*{Exercice 3 \hfill 4 points}

 
Un chef cuisinier décide d'ajouter un \og menu terroir\fg{} à la carte de son restaurent. S'appuyant sur sa longue expérience, le restaurateur pense qu'environ $30$\,\% des clients choisiront ce menu. Ceci le conduit à faire l'hypothèse que la probabilité qu'un client pris au hasard commande le \og menu terroir\fg{} est de $p = 0,3$.


  \subsection*{Partie A}

Afin de tester la validité de son hypothèse, le restaurateur choisit au hasard $100$ clients et observe que $26$ d'entre eux ont commandé un \og menu terroir\fg.

Après discussion avec son comptable, le restaurateur décide d'accepter l'hypothèse que $p=0,3$.

À l'aide d'un intervalle de fluctuation à $95\,\%$, justifier cette décision.

  \subsection*{Partie B}

Une agence de voyage a réservé toutes les tables du restaurant pour la semaine à venir. Le restaurateur sait ainsi que $\np{1000}$ clients viendront déjeuner chacun une fois durant la semaine.

Le nombre de \og  menu terroir\fg{} qui seront alors commandés est une variable aléatoire $X$.

On considère que la probabilité qu'un des clients commande un \og menu terroir\fg{} est $p = 0,3$.

\begin{enumerate}
\item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
  \begin{enumerate}
  \item Donner ses paramètres.
  \item Déterminer la probabilité que le nombre de \og menus terroir\fg{} commandés soit inférieur ou égal à $315$.
  \end{enumerate}
\item On décide d'approcher la loi binomiale précédente par la loi  normale d'espérance $\mu = 300$ et d'écart-type $\sigma = 14,49$.

Justifier les valeurs de $\mu$ et $\sigma$.

\end{enumerate}

  \emph{Dans la suite de l'exercice, on utilisera cette approximation par la loi normale. Les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}  
\item
  \begin{enumerate}
  \item Estimer $P(285 \leqslant X \leqslant 315)$.
  \item Estimer $P(X \geqslant 350)$ et interpréter le résultat obtenu.
  \end{enumerate}

\end{enumerate}

\section*{Exercice 4 \hfill 5 points}

  \def\intervalleA{\left[0~;~2\right]}

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. \emph{Une réponse non justifiée ne rapporte aucun  point.}

\begin{enumerate}
\item
\textbf{Proposition 1}~-- 
    Le nombre complexe $z$ de module $4 \sqrt{3}$ et dont un argument est $\dfrac{2\pi}{3}$ a pour forme algébrique $-2 \sqrt{3}+6\i$.

 \item Le plan est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. Les   points A, B et C ont pour affixes respectives : $z_{\text A} = 2\e^{\i     \frac{\pi}{2}}$, $z_{\text B} = -1 + \i \sqrt{3}$ et $z_{\text C} = z_{\text A} \times z_{\text B}$.
   
\textbf{Proposition 2}~-- 
     Le point C appartient au cercle de centre O et de rayon $4$.

 \item On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé \Oij{} la   courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ définie sur   $\intervalleA$ par $f(x) = - \dfrac{1}{2}x + 1$.

\begin{center}
\psset{unit=4cm}
\def\xmin {-0.1}   \def\xmax {2.1}
\def\ymin {-0.22}   \def\ymax {1.2}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psframe[fillstyle=hlines](0,0)(0.56,0.72)
\psgrid[subgriddiv=5, gridlabels=0,gridcolor=lightgray] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none]%
                               (0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
%\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vect\imath$,d][$\vect\jmath$,l]
%\uput[dr](1,0){$I$} \uput[l](0,1){$J$}
\def\f{x neg 2 div 1 add}
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=red]{0}{2}{\f} \uput[60](1.1,0.45){\red $\mathcal{C}$}
\multido{\n=-0.2+0.2}{12}{
\uput*[d](\n,0){\scriptsize \np{\n}}
}
\multido{\n=-0.2+0.2}{7}{
\uput*[l](0,\n){\scriptsize \np{\n}}
}
\uput{15pt}[dl](0,0){O}
\uput{15pt}[d](0.56,0){H}
\uput[ur](0.56,0.72){M}
\uput[l](0,0.72){K}
\end{pspicture}
\end{center}

   On considère le point M de coordonnées  $\left (x~;-\dfrac{1}{2}x+1\right )$ sur la courbe $\mathcal{C}$, ainsi que
   les points H\:$(x~;0)$ et K\:$\left (0~;~-\dfrac{1}{2}x + 1\right )$.

\textbf{Proposition 3}~-- 
     L'aire, en unités d'aire, du rectangle OHMK est maximale     lorsque M a pour abscisse $1$.

 \item On veut modéliser le temps  d'attente d'un client, en minutes, à  la caisse d'un supermarché par une variable aléatoire $T$ qui suit  une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

   Des études statistiques montrent que la probabilité qu'un client  attende plus de $7$ minutes à cette caisse est de $0,417$.

   On rappelle que, pour tout réel $t$ positif, $P(T > t) = \e^{-  \lambda t}$.
   
\textbf{Proposition 4}~-- 
     Le temps d'attente moyen à cette caisse de supermarché est $9$ minutes.

\end{enumerate}

\end{document}
