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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI2D STL}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{11 mai 2022}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D Épreuve d'enseignement de spécialité~\decofourright\\[10pt]Métropole -- La Réunion 11 mai 2022}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Physique-Chimie et Mathématiques}

\medskip

\textbf{EXERCICE 1 commun à tous les candidats \hfill 4 points\\[8pt]
(physique-chimie et mathématiques)}
\end{center}
\medskip

\textbf{Modèle de la vitesse de refroidissement d'un lait écrémé}

\medskip

Dans le domaine de l'agroalimentaire, la question du refroidissement des produits préparés peut être cruciale. On peut citer par exemple la problématique de la durée de refroidissement du lait produit dans une ferme : afin d'éviter la prolifération microbienne, il convient de minimiser cette durée de refroidissement.

Afin d'étudier l'évolution de la température d'une masse de liquide en contact avec l'atmosphère d'une pièce en fonction du temps, l'expérience suivante est réalisée. Une masse de lait écrémé $m = 150$ g est chauffée à une température de 63,4~\degres C. On laisse ensuite le lait se refroidir à l'air libre en relevant sa température toutes les minutes.

Pendant toute la durée de l'expérience, la température de l'air de la pièce reste constante et inférieure à celle du lait.

\medskip

\textbf{Résultats de l'expérience :} température de la masse de lait en fonction du temps $t$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$ (en min)& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline
température (en \degres C)&63,4 &61,7 &60,2 &58,6 &57,4 &56,2 &54,7 &53,6\\ \hline
$t$ (en min) &8 &9 &10 &11 &12 &13 &14 &15\\ \hline
température (en \degres C)&52,4 &51,2 &50,4 &49,4 &48,5 &47,4 &46,6 &45,9\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\smallskip

\textbf{Donnée :}

-- Pour la capacité thermique massique du lait, on prendra:  $C_{\text{lait}} = 4,0$ k].kg$^{-1}$. K$^{-1}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Citer les trois modes de transferts thermiques.
\item Préciser, en le justifiant, le sens du transfert thermique entre la masse de lait et l'air de la pièce.
\item Calculer, d'après les résultats expérimentaux, la valeur du transfert thermique Q entre la masse de lait et l'air de la pièce entre les dates $t = 1$ min et $t = 2$ min.

Sans calcul, préciser si la valeur du transfert thermique est plus petite ou plus grande que $Q$ entre les dates $t = 6$ min et $t = 7$ min.

La température du lait, exprimée en degré Celsius, en fonction du temps $t$, exprimé
en minute, est modélisée par la fonction $T$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par : 

\[T(t) = 37 \times \text{e}^{- \frac{20t}{459}} + 26,4.\]

\item Calculer $T(0)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} T(t)$.

Selon ce modèle, quelle est la température de l'air de la pièce ? Justifier.
\item Selon ce modèle, au bout de combien de temps la température du lait vaut-elle $40\degres C$ ? Donner le résultat en minute et seconde.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{EXERCICE 3 commun à tous les candidats \hfill 4 points}

\medskip

(mathématiques)\end{center}

\emph{Le candidat doit traiter quatre questions parmi les six numérotées de 1 à 6 que comporte l'exercice. Les questions sont indépendantes les unes des autres. Le candidat choisit les quatre questions auxquelles il répond et indique clairement leur numéro sur sa copie en début d'exercice. Seules ces questions sont évaluées. Chacune d'elles est notée sur un point.\\ Traiter une question supplémentaire ne rapporte aucun point.}

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer, en détaillant vos calculs, que:

\[\ln (\np{2025}) = 4 \ln (3) + 2 \ln(5).\]

\item Simplifier le nombre $A$ ci-dessous en détaillant les calculs:

\[A = 2 \ln \left(\text{e}^4\right) - 3 \ln \left(\dfrac{1}{\text{e}}\right).\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 2}

\medskip

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

On considère le nombre complexe suivant:

\[z = \frac{-1 + \text{i}}{3\text{i}}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $z$ sous forme algébrique. Détailler les calculs.
\item Mettre $z$ sous forme exponentielle. Détailler les calculs.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 3}

\medskip
On considère l'équation différentielle 

\[(E) : \quad 2 y' + y = 0,\]

où $y$ est une fonction de la variable $x$, définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle $(E)$.
\item Le plan est muni d'un repère.

Déterminer la solution $f$ de $(E)$, dont la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ dans ce repère passe par le point A$(\ln (9)~;~ 1)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 4}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = a + b\text{e}^{x}$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par$g(x) = x^2 - 4x - 1$.

On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$, tracées dans le repère orthogonal ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture*}(-4,-12)(3.2,16)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=5]{->}(0,0)(-4,-12)(3.2,16)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-4}{3}{x dup mul x 4 mul sub 1 sub}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{3}{3 2.71828 x exp 4 mul sub}
\uput[dl](0,-1){\small A}\uput[r](-2.25,15){\small \red $\mathcal{C}_g$}
\uput[u](-3.8,3){\small \blue $\mathcal{C}_f$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1pt]{-4}{3}{4 x mul 1 add neg}
\uput[d](-3.8,15){\small $T$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On admet que les deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ ont un unique point en commun, noté A d’abscisse 0.

Calculer $g(0)$, puis en déduire que $a + b= - 1$.
\item On admet que les deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ ont la même tangente $T$ au point A.
	\begin{enumerate}
		\item Donner, pour tout réel $x$, une expression de $g'(x)$ puis calculer $g'(0)$.
		\item En déduire la valeur de $b$, puis celle de $a$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 5}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur l’intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[g(x) = \dfrac12 x^2 - \ln (x).\]


\begin{enumerate}
\item On admet que $g$ est dérivable sur l’intervalle $]0~;~+ \infty[$ et on note $g'$ sa fonction dérivée. Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0~;~+ \infty[$, 

\[g'(x) = \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x}.\]

\item Montrer que la fonction $g$ admet un minimum, dont on précisera la valeur exacte, sur l’intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 6}

\medskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Rappel :}  pour $a$ et $b$ deux réels, on a les formules suivantes :\\
$\cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a\sin b$\\
$\cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a\sin b$\\
$\sin (a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$\\
$\sin (a - b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}


La tension $u$, exprimée en volt, aux bornes d’un dipôle en fonction du temps $t$, exprimé en seconde, est donnée par : $u(t) = \cos (50t) + \sqrt{3}\sin (50t)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre réel $t$, écrire $u(t)$ sous la forme $u(t) = U_{\text{max}} \cos (\omega t + \varphi)$ où :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$U_{\text{max}}$ représente la tension maximale (exprimée en volt) ;
\item[$\bullet~~$]$\omega$ représente la pulsation (exprimée en rad.s$^{-1}$) ;
\item[$\bullet~~$]$\varphi$ représente le déphasage (exprimé en rad).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}
\item En déduire la fréquence correspondante $f = \dfrac{\omega}{2\pi}$, exprimée en Hz. Arrondir le résultat à l’unité.
\end{enumerate}
\end{document}