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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\newcommand{\e}{\,\text{e\,}}	%%%le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}	%%%le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}	%%%le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI2D STL}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2021}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D Épreuve d'enseignement de spécialité~\decofourright\\[10pt]Métropole--La Réunion juin  2021 J2}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Physique-Chimie et Mathématiques}

\end{center}

\medskip

\textbf{EXERCICE 3 commun à tous les candidats \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Le candidat doit traiter quatre questions parmi les six que comporte l'exercice.\\
 Les questions sont indépendantes. Chacune d'elles est notée sur un point.\\
Le candidat choisit les quatre questions auxquelles il répond et indique clairement leur numéro sur sa copie en début d'exercice.}

\bigskip

\textbf{Question 1}

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{On a tracé dans le repère orthonormé
ci-contre la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par :

\[f(x) = \ln (x).\]

On note A le point de $\mathcal{C}_f$ de
coordonnées (e~;~1).

On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A.

La tangente $T$ passe-t-elle par l'origine du repère ? Justifier.}\hfill
\parbox{0.52\linewidth}{
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-2.2)(6.2,2.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.1pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.5,-2.2)(6.2,2.2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.1}{6.2}{x ln}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt](0,1)(2.71828,1)(2.71828,0)
\psdots(2.71828,1)\uput[ul](2.71828,1){A}
\uput[u](5.3,1.5){\red$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}}

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0,5~;~10] par :

\[f(x) = x^2 - x - 2- 3 \ln (x).\]

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f '(x) = \dfrac{(x + 1)(2x - 3)}{x}$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0,5~;~10].
\item Montrer que $f$ admet un minimum sur l'intervalle [0,5~;~10] et préciser la valeur exacte de ce minimum.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $\e^{\np{- 0.0434} x} = 0,01$. 

On donnera la valeur exacte de la solution.
\item Un signal de puissance initiale $P(0) = 6,75$~mW parcourt une fibre optique. 

La puissance du signal, exprimée en mW, lorsque celui-ci a parcouru une distance de $x$ kilomètres depuis l'entrée est donnée par $P(x) = 6,75\e^{\np{- 0.0434} x}$.

Quelle est la distance parcourue par le signal lorsque celui-ci aura perdu 99\,\% de sa puissance ? 

On arrondira le résultat obtenu au kilomètre.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. On considère
les points A et B d'affixes respectives : 

\[z_{\text{A}} = 3\e^{- \text{i}\frac{\pi}{3}} \quad \text{et}\quad z_{\text{B}}= - 1 + \text{i}\sqrt{3}.\]

Les points O, A et B sont-ils alignés ?

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip

\parbox{0.48\linewidth}{On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle
[1~;~2] par:
\[f(x) = x + \e^x - \dfrac{1}{x}.\]

On a tracé dans le repère orthonormé ci-contre la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$.

On considère les points A(1~;~0) ; B(2~;~0) ; C(1~;~2); D(2~;~8) ; E(1~;~3) et F(2~;~9).

On admet que la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus du segment [CD] et en dessous du segment [EF].

\begin{enumerate}
\item À l'aide du graphique, donner un encadrement d'amplitude 1 de l'intégrale : 

\[\displaystyle\int_1^2 f(x)\: \text{d}x.\]

\item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_1^2 f(x)\: \text{d}x$.
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{yunit=1.5cm,xunit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.4)(3,9.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.1pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(3,9.2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2}{2.71828 x exp x add 1 x div sub}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt](1,3)(2,9)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt](1,2)(2,8)
\uput[ur](1,0){A}\uput[ur](2,0){B}\uput[dr](1,2){C}
\uput[ur](2,8){D}\uput[ul](1,3){E}\uput[l](2,9){F}
\uput[l](1,2.75){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
}


\medskip

\textbf{Question 6}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Rappel :}  Pour $a$ et $b$ deux réels, on a les formules suivantes :\\
$\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$\\
$\cos(a - b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$\\
$\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$\\
$\sin(a - b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

La tension $u$ aux bornes d'un générateur, exprimée en volt, dépendant du temps $t$, exprimé en seconde, est donnée à l'instant $t$ par : 

\[u(t) = 120 \cos(70t) - 120 \sin(70t).\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, \, $u(t) = 120\sqrt{2} \cos \left(70t + \dfrac{\pi}{4}\right)$.

\item En déduire la fréquence $f = \dfrac{\omega}{2\pi}$, exprimée en Hz, délivrée par le générateur, où $\omega$ désigne la pulsation. 

On arrondira le résultat à l'unité.
\end{enumerate}
\end{document}