\documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{multicol,diagbox} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-all,pst-func} \usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,#1\vphantom{b}\,}} %\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} %\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\alph{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS}, pdftitle = {Métropole 2021}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\e}{\,\text{e\,}} %%%le e de l'exponentielle \renewcommand{\d}{\,\text d} %%%le d de l'intégration \renewcommand{\i}{\,\text{i}\,} %%%le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat STI2D STL} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{septembre 2021}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D \& STL/SPCL~\decofourright\\[10pt]septembre 2021}} \end{center} \vspace{0,25cm} Dans l'épreuve Physique-Mathématiques un sujet de mathématiques et trois de Physique (4 points sur 20 ...) \medskip \begin{center}\textbf{\large Exercice 3 commun à tous les candidats \hfill 4 points}\end{center} \bigskip \textbf{Le candidat doit traiter quatre questions parmi les six que comporte l'exercice.\\ Les questions sont indépendantes. Chacune d'elles est notée sur un point.\\[3pt] Le candidat choisit les quatre questions auxquelles il répond et indique clairement leur numéro sur sa copie en début d'exercice.} \medskip \emph{Pour chaque question, préciser si l'affirmation est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.} \bigskip \textbf{Question 1} Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x^2 \e^x$. \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline Affirmation 1 :\\ \og La fonction $f$ est croissante sur $\R$ .\fg\\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{Question 2} On considère la fonction $h$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $h(x) = \ln (2x + 1)$. On désigne par $\mathcal{C}_h$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'origine O et d'unité graphique $1$~cm. On note $M(x~;~y)$ un point de la courbe $\mathcal{C}_h$. On suppose que l'ordonnée $y$ du point $M$ est supérieure à $15$~cm. \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline Affirmation 2 :\\ \og L'abscisse $x$ du point $M$ se situe à plus de $16$~km du point O. \fg\\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{Question 3} Le thorium 231 est un élément radioactif qui se désintègre selon la loi: $N(t) = N(0)\e^{- 0,027 t}$ où $N(0)$ est le nombre de noyaux au début de l'observation et $N(t)$ le nombre de noyaux à l'instant $t$ exprimé en heure. La demi-vie d'un élément radioactif est le temps au bout duquel la moitié de ses noyaux se sont désintégrés. \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline Affirmation 3 :\\ \og La demi-vie du thorium 231 est d'environ 11 heures. \fg\\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{Question 4} Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(t) = \cos(t) + 2 \sin(t)$. On considère l'équation différentielle $(E)\, : y'' + y = 0$. \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline Affirmation 4 :\\ \og La fonction $f$ est solution sur $\R$ de l'équation différentielle $(E)$ et vérifie les conditions initiales $y(0) = 1$ et $y'(0) = 2$. \fg\\ \hline \end{tabularx} \newpage \textbf{Question 5 :} On considère le nombre complexe $z = \dfrac{2 - \text{i}}{1 - 3\text{i}}$. \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline Affirmation 5 :\\ \og Le nombre complexe $z^4$ est un nombre réel négatif. \fg\\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{Question 6 :} Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. On considère les points A, B et C d'affixes respectives: \[z_{\text{A}} = - 1 + \text{i},\quad z_{\text{B}} = 4 + 2\text{i}\quad \text{et}\quad z_{\text{C}} = - 4\text{i}.\] \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline Affirmation 6 :\\ \og Le triangle ABC est rectangle et isocèle. \fg\\ \hline \end{tabularx} \end{document}