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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{11 mai 2022}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biotechnologies~\decofourright\\[10pt]Métropole  -- 11 mai 2022}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\begin{center}
\textbf{\large EXERCICE 1 commun à tous les candidats (4 points)\\[7pt](physique et mathématiques)}
\end{center}

\medskip

Lorsqu'un objet est lâché dans un fluide (air, eau, etc.), il subit, outre son poids et la poussée d'Archimède, des forces de frottement fluide. La modélisation de ces forces de frottement fluide conduit à considérer que:

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] lorsque la vitesse de l'objet $v$ est \og faible \fg, l'intensité des forces de frottement fluide est proportionnelle à $v$ ;
\item[$\bullet~~$] lorsque la vitesse de l'objet $v$ est \og élevée \fg, l'intensité des forces de frottement fluide est proportionnelle à $v^2$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Dans cet exercice, on se propose d'étudier expérimentalement le modèle des forces de frottement fluide dans le cas des faibles vitesses.

\medskip

\textbf{Étude expérimentale}

\medskip

\begin{minipage}{0.7\linewidth}On filme, à l'aide d'une webcam réglée à 50 images par seconde, la chute d'une bille d'acier dans l'huile d'olive contenue dans une éprouvette graduée. La bille est lâchée sans vitesse initiale par un électroaimant dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
\medskip

La vidéo est ensuite analysée image par image à l'aide d'un
logiciel approprié qui permet de repérer la position instantanée
du centre G de la bille suivant un axe (O$y$) vertical orienté vers  le bas.

\medskip

La vitesse instantanée à un instant $t_i$ est alors approchée par la vitesse moyenne entre les instants $t_i$ et $t_{i+1}$. L'évolution, au cours du temps, de la valeur expérimentale de la vitesse $v$ de la bille est représentée sur le \textbf{document réponse DR1 page \pageref{graph1}, à rendre avec la copie.}
\end{minipage}\hfill 
\begin{minipage}{0.27\linewidth}
\scalebox{0.7}{
\psset{unit=1cm}
\def\xmin {0}   \def\xmax {5}
\def\ymin {0}   \def\ymax {10}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,1)(3,7.5)                               
\psline[linewidth=2pt](1.75,8.25)(2,8)(2,1)(1.5,0.75)(3.5,0.75)(3,1)(3,8)(3.25,8.25)
\psdots[dotstyle=o,dotscale=2.5,linewidth=1.5pt](2.5,7.5)(2.5,6.9)(2.5,6.2)(2.5,5.5)(2.5,4.7)(2.5,3.8)(2.5,2.8)(2.5,1.7)
\psline[linewidth=2pt]{->}(4,8)(4,0.5)
\psline[linestyle = dashed](3,7.5)(4,7.5) 
\uput[r](4,7.5){\bf O} \uput[r](4,0.5){$\boldsymbol{y}$}
\uput[u](2.5,8.9){\bf Chronophotographie} \uput[d](2.5,9.1){\bf de la chute de la bille} 
\end{pspicture}
}%%% fin du scalebox
%\end{center}
\end{minipage}

\medskip

\emph{Données} :

\begin{itemize}
\item Intensité de la pesanteur: B = 9,8 m·s$^{-2}$
\item Masse de la bille: m = 4,1 g
\item Rayon de la bille: R = 5,0 mm
\item Masse volumique de l'huile à 20\degres{}C : $\rho_{\text{huile}} = 920$ kg· m$^{-3}$ 
\item Viscosité de l'huile à 20\degres{}C: $\eta = 0,39$ Pa·s
\item Volume d'une sphère : $V= \dfrac43 \pi \times R^3$
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement, en ajoutant les traits de construction utiles sur le document réponse DR1 page \pageref{graph1}, à rendre avec la copie:

\begin{itemize}
\item la valeur de la vitesse limite $v_{\text{lim}}$  atteinte par la bille;
\item le temps caractéristique $\tau$ d'évolution de la vitesse.
\end{itemize}

\newpage

\textbf{Étude théorique du mouvement de la bille}

\medskip

On étudie le mouvement du système \og bille \fg, plongée dans l'huile, dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Lors de sa chute, la bille est soumise à plusieurs actions mécaniques :

\begin{itemize}
\item son poids $\vect{P}$ ;
\item la poussée d'Archimède, notée $\vect{\Pi}$, de sens contraire à celui du poids et d'expression 

$\vect{\Pi} = - \rho_{\text{huile}} . V_{\text{im}} . \vect{g}$ où $\rho_{\text{huile}}$ est la masse volumique de l'huile en kg.m$^{-3}$, $V_{\text{im}}$ le volume immergé de l'objet en m$^3$ et $g$ l'intensité de la pesanteur en m.s$^{-1}$.

\item la force de frottement $\vect{f}$ de l'huile sur la bille, que l'on suppose ici proportionnelle à la vitesse de chute de la bille avec $\vect{f} = - 6\pi \eta R. \vect{v}$ où $\eta$ est la viscosité de l'huile en Pa·s, $R$ le rayon de la bille en m et $v$ la vitesse de la bille en m.s$^{-1}$.
\end{itemize}

\item Écrire l'expression vectorielle de la seconde loi de Newton appliquée au système \og bille \fg.

\item Par projection de l'expression vectorielle de la seconde loi de Newton sur l'axe (O$y$), établir l'équation différentielle vérifiée par la vitesse $v$ de la bille. Écrire cette équation différentielle sous la forme $\dfrac{\text{d}v}{\text{d}t}  = A \times  v + B$ et exprimer les coefficients $A$ et $B$ en fonction de $m$, $g$, $\rho_{\text{huile}}$, $\eta$ et $R$.

\item À l'aide des données, poser explicitement les calculs qui permettraient de déterminer la valeur numérique du coefficient $A$ en $s^{-1}$ et celle du coefficient $B$ en m·s$^{-2}$. 

Les applications numériques ne sont pas à réaliser.
\end{enumerate}

Pour établir l'expression de la vitesse de la bille, les données physiques de l'expérience conduisent à résoudre l'équation différentielle $(E) : y' = - 9y + 8,6$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer la fonction solution de l'équation différentielle $(E)$ s'annulant en $0$.

\item Montrer que la limite de $0,96 \left(1 - \e^{-9t}\right)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$ est égale à $0,96$.
\end{enumerate}

Dans le contexte de l'expérience, on prendra, pour exprimer la vitesse de la bille en fonction du temps $t$, la fonction $v$ définie sur [0~;~0,8] par $v(t) = 0,96 \left(1 - \e^{-9t}\right)$. La vitesse de la bille est exprimée en m.s$^{-1}$ et le temps $t$ est exprimé en secondes.

\begin{enumerate}[resume]
\item Expliquer en quoi la comparaison de la valeur obtenue à la question 6 aux résultats de l'étude expérimentale fournit un argument en faveur du choix du modèle des forces de frottement fluide effectué en début d'exercice.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} \textbf{\large{}EXERCICE 3 commun à tous les candidats (4 points)\\[7pt]
 (mathématiques)}
\end{center}

 \medskip
 
Le candidat doit traiter quatre questions parmi les six que comporte l'exercice.

Les questions sont indépendantes.

Le candidat choisit les quatre questions auxquelles il répond et indique clairement leur numéro sur sa copie en début d'exercice. 

Seules ces questions sont évaluées. 

Chacune d'elles est notée sur un point.

Traiter une question supplémentaire ne rapporte aucun point.

\bigskip

\textbf{Question 1}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ par

\[f(x) = (8x - 2)\e^{-x}\]

On note $f'$ sa fonction dérivée. Déterminer $f'(x)$ pour tout $x \in  \R$.

\bigskip

\textbf{Question 2}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = (8x - 2)\e^{-x}\]

Résoudre $f(x) = 0$.

\bigskip

\textbf{Question 3}

\medskip

On considère une fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~13].

On note $g'$ sa fonction dérivée.

On donne ci-dessous la courbe représentative de la \textbf{fonction dérivée}\boldmath{} $g'$ \unboldmath sur l'intervalle [0~;~13].

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(13,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none]{->}(0,0)(-1,-2)(13,8)%Dx=20,Dy=20
\uput[d](1,0){\footnotesize 1} \uput[d](4,0){\footnotesize 4} \uput[d](13,0){\footnotesize 
13} \uput[l](0,1){\footnotesize 1}\uput[dl](0,0){\footnotesize 0}
\uput[u](13,0){$x$}\uput[l](0,8){$y$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{13}{2.71828 2 x 0.5 mul sub exp 1 sub}
\end{pspicture}
\end{center}
Julien affirme que la fonction $g$ est décroissante sur l'intervalle [0~;~13].

Julien a-t-il raison ? Justifier.

\bigskip

\textbf{Question 4}

\medskip

Montrer que $\dfrac{\ln \left(\sqrt{8}\right)}{\ln \left(\sqrt{2}\right)}= 3$.

\newpage

\textbf{Question 5}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par $f(x) = \e^{6x} - 1$. 

Déterminer la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$.

\bigskip

\textbf{Question 6}

\medskip

ABCD est un carré de côté 4 et ABF est un triangle rectangle en B avec BF $= 3$ comme indiqué sur la figure ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.2,4.1)
%\psgrid
\psframe(0.2,0.2)(3.4,3.4)%CBAD
\psline(3.4,0.2)(5.8,0.2)(3.4,3.4)%BFA
\psline(0.2,3.4)(3.4,0.2)
\psline(0.1,1.8)(0.3,1.8)\psline(3.3,1.8)(3.5,1.8)
\psline(1.8,3.5)(1.8,3.3)\psline(1.8,0.3)(1.8,0.1)
\uput[d](4.6,0.2){3}
\uput[l](0.2,1.8){4}
\uput[u](3.4,3.4){A} \uput[d](3.4,0.2){B} \uput[d](0.2,0.2){C} \uput[u](0.2,3.4){D} \uput[d](5.8,0.2){F}
\psframe(3.4,0.2)(3.65,0.45)
\psarc(3.4,0.2){0.5}{90}{135}\rput(3.1,0.9){$45\degres$}
\psdots(3.4,3.4)
\end{pspicture}
\end{center}

Donner la valeur du produit scalaire $\vect{\text{BF}}  \cdot \vect{\text{BD}}$.

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXES}

\bigskip

\textbf{Document réponse DR1 à rendre avec la copie}
\label{graph1}

\vspace{1.25cm}

\psset{xunit=10cm,yunit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.11,-0.15)(0.9,1.3)
\multido{\n=0.00+0.02}{46}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,1.2)}
\multido{\n=0.00+0.04}{31}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(0.9,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.2]{->}(0,0)(0,0)(0.9,1.3)
\psdots[dotstyle=+](0.04,0.29)(0.08,0.51)(0.12,0.63)(0.16,0.75)(0.2,0.82)
(0.24,0.87)(0.28,0.89)(0.32,0.9)(0.36,0.91)(0.4,0.93)
(0.44,0.93)(0.48,0.95)(0.52,0.95)(0.56,0.95)(0.60,0.96)
(0.64,0.96)(0.68,0.95)(0.72,0.97)(0.76,0.96)(0.8,0.96)
\rput(0.45,1.3){\textbf{Évolution de la vitesse de la bille au cours du temps}}
\rput(0.45,-0.2){\textbf{temps (s)}}
\rput{90}(-0.15,0.6){\textbf{vitesse (m.s$^{-1}$)}}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}