\begin{exercice}[Titre={Un programme musclé},TitreSolution={Un programme musclé}]

%%%%%%%%Énoncé%%%%%%%%
Un sportif décide de suivre un programme de musculation.

Il souhaite acheter des disques en acier, de poids tous différents, qu'il pourra ensuite empiler afin de les soulever progressivement et de façon croissante.




\begin{definition}
On appelle \textbf{charge} la somme des poids à soulever au fur et à mesure des empilements de disques.
\end{definition}

Exemple : 

Si le sportif achète un disque de 5~kg, un disque de 10~kg et un disque de 15~kg pour son programme de musculation, il pourra alors soulever successivement et de façon croissante les charges de 5~kg ; 10~kg ; 15~kg ; 20~kg ; 25~kg et 30~kg (voir illustration ci-dessous).

\begin{minipage}{.4\linewidth}
\begin{center}
\textbf{Poids à disposition}\bigskip

$\left.\raisebox{-1.2cm}{\begin{tikzpicture}
\def\pc#1{\draw[thick, fill=gray!10,shift={#1}] (-0.5,0) rectangle (0.5,.5) node[midway] {5~kg};}
  \def\pd#1{\draw[thick, fill=gray!50,shift={#1}] (-1,0) rectangle (1,.5) node[midway] {10~kg};}
  \def\pq#1{\draw[thick, fill=gray!90,shift={#1}] (-1.5,0) rectangle (1.5,.5)  node[midway]  {15~kg};}
  \pd{(0,1)}\pc{(0,2)}\pq{(0,0)}
\end{tikzpicture}}\quad\right\}\rightarrow$
\end{center}
\end{minipage}
\hfill\begin{minipage}{.6\linewidth}
\begin{center}
\textbf{Charges croissantes}\bigskip

\begin{tikzpicture}  
\def\pc#1{\draw[thick, fill=gray!10,shift={#1}] (-0.5,0) rectangle (0.5,.5) node[midway] {5~kg};}
  \def\pd#1{\draw[thick, fill=gray!50,shift={#1}] (-1,0) rectangle (1,.5) node[midway] {10~kg};}
  \def\pq#1{\draw[thick, fill=gray!90,shift={#1}] (-1.5,0) rectangle (1.5,.5)  node[midway]  {15~kg};}
  \pc{(0,0)}\pd{(2,0)}\pc{(5,1.5)}\node at (5,.7) {ou};\pd{(5,1)}\pq{(5,0)}
 \node at(0,-.5){5~kg} ;\node at(2,-.5){10~kg} ;\node at(5,-.5){15~kg} ;\node at(0,-3){20~kg} ;\node at(3.5,-3){25~kg} ;\node at(7,-3){30~kg} ;
  \pc{(0,-2)}\pq{(0,-2.5)}\pq{(3.5,-2.5)}\pd{(3.5,-2)}\pq{(7,-2.5)}\pd{(7,-2)}\pc{(7,-1.5)}	
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

Notations :
\begin{definition}
\begin{enumerate}
\item[$\bullet$] $( 5 ; 10 ; 15 )$ est la \textbf{liste des poids} à disposition dans l'ordre croissant,
\item[$\bullet$] $[ 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ]$ est la \textbf{liste des charges croissantes} du programme de musculation.

 Remarque : Si une charge peut être obtenue de plusieurs façons (comme la charge de 15kg dans l'exemple donné), elle ne sera notée qu'une fois dans le programme de musculation.
\item[$\bullet$] $( 5 ; 10 ; 15 ) \rightarrow [ 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ]$ est \textbf{la correspondance entre la liste des poids et la liste des charges} du programme de musculation,
\item[$\bullet$] On appelle \textbf{pas} entre deux charges consécutives $C_1$ et $C_2$ la différence $C_2 - C_1$,
\item[$\bullet$] Si tous les pas d'une liste de charges sont égaux, le programme de musculation est dit \textbf{régulier} sinon il est dit \textbf{irrégulier}.
\end{enumerate}
\end{definition}
Ainsi avec les notations précédentes :\medskip

$( 5 ; 10 ; 15 ) \rightarrow [ 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ]$, le programme de musculation est régulier de pas égaux à 5.

$( 1 ; 3 ; 4 ) \rightarrow [ 1 ; 3 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8 ]$, les pas sont successivement égaux à 2 , 1 , 1 , 2 , 1 : le programme de musculation est donc irrégulier, avec un pas minimum de 1 et un pas maximum de 2.
\end{exercice}

\section*{Partie 1 : Premiers exemples}
Pour chacune des listes de poids ci-dessous, déterminer si le programme de musculation correspondant est régulier en précisant la valeur des pas constants, ou s'il est irrégulier en précisant la valeur du pas minimum et la valeur du pas maximum.

\begin{enumerate}
\item a. $( 10 ; 15 ; 20 )$	\hfil	b. $( 1 ; 2 ; 3 )$	\hfil	c. $( 2 ; 4 ; 6 )$	\hfil	d. $( 3 ; 5 ; 7 )$
\end{enumerate}
\section*{Partie 2 : Poids entiers consécutifs et poids entiers pairs}

 \begin{enumerate}\setcounter{enumi}1
 \item     La liste de poids $( 1 ; 2 ; 3 ; 4 )$ permet-elle un programme de musculation régulier ? Justifier.
 \item     Pour tout entier naturel non nul $n$, on note $( 1 ; 2 ; 3 ; \dots ; n )$ la liste des poids entiers compris entre 1 et $n$.
\begin{enumerate}
\item  Si le sportif n'utilise qu'un seul disque à la fois, quelle est la liste des charges correspondantes ?
\item  Montrer qu'en utilisant deux disques, il est possible de former toutes les charges entières comprises entre $( n + 1 )$ et $( 2n -1 )$.
\item  Montrer qu'en utilisant trois disques, il est possible de former toutes les charges entières comprises entre $2n$ et $( 3n - 3 )$.
\item  On note $S = 1 + 2 + \dots + n$  la somme de tous les poids.
\end{enumerate}
 Montrer que le programme de musculation associé à la liste des poids $( 1 ; 2 ; 3 ; \dots ; n )$ est formé de toutes les charges entières comprises entre 1 et $S$ (et donc régulier de pas constants égaux à 1).
 \item Soit la liste des poids pairs $( 2 ; 4 ; \dots ; 2n ) $: le programme de musculation est-il régulier ? Justifier. 
 \end{enumerate}
\section*{Partie 3 : Poids entiers impairs}

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}4
\item Pour chacune des listes de poids ci-dessous, déterminer si le programme est régulier ou s'il est irrégulier.

		a.  $( 1 ; 3 )$	\hfil	b.  $( 1 ; 3 ; 5 )$	\hfil	c.  $( 1 ; 3 ; 5 ; 7 )$
\item  Plus généralement, soit $n$ un entier impair supérieur ou égal à 3.

On note $( 1 ; 3 ; 5 ; \dots;n )$ la liste des poids impairs compris entre 1 et $n$, et on pose $T = 1 + 3 + 5 + \dots + n$.

Montrer que les charges 2 et $( T - 2 )$ ne font pas partie du programme de musculation.

(Remarque : il est possible de montrer que 2 et  $( T - 2 )$ sont les seules charges entières comprises entre 1 et $T$ ne faisant pas partie du programme musculation, mais il n'est pas demandé dans cette question de montrer que ce sont bien les seules).		
\end{enumerate}

\section*{Partie 4 : Programmes de musculation réguliers utilisant deux ou trois disques}
Le sportif décide d'acheter trois disques distincts au maximum pour son programme de musculation, donc soit deux poids $( a ; b )$ avec $a < b$, soit trois poids $( a ; b ; c )$ avec $a < b < c $;    $a, b, c$ étant des réels strictement positifs.

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}6
\item Montrer que les listes de deux poids distincts $( a ; b )$ permettant un programme de musculation régulier sont celles de la forme $( a ; 2a )$ (autrement dit celles telles que $b = 2a$). 
\item Déterminer les listes de trois poids distincts $( a ; b ; c )$ permettant un programme de musculation régulier.

(Le candidat pourra distinguer les cas où $c = a + b$, puis $c > a + b$ puis $c < a + b $)
\end{enumerate}

\newpage
%%%%%%Correction%%%%%%
\begin{Solution}


%\section*{Partie 1}
\begin{enumerate}
\item    \begin{enumerate}
\item   $( 10 ; 15 ; 20 ) \rightarrow [ 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ; 35 ; 45 ]$ donc irrégulier de pas minimum 5 et maximum 10.
\item  $( 1 ; 2 ; 3 ) \rightarrow [ 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ]$ donc régulier de pas 1.
\item $( 2 ; 4 ; 6 ) \rightarrow [ 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ]$ donc régulier de pas 2.
\item   $( 3 ; 5 ; 7 ) \rightarrow [ 3 ; 5 ; 7 ; 8 ; 10 ; 12 ; 15 ]$ donc irrégulier de pas minimum 1 et maximum 3.
\end{enumerate}
\item  $( 1 ; 2 ; 3 ; 4 ) \rightarrow [ 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ]$ donc régulier de pas 1.
\item \begin{enumerate}
\item En n'utilisant qu'un disque de la liste de poids $( 1 ; 2 ; 3 ; \dots ; n )$, les charges croissantes correspondantes sont les entiers de 1 à n (de façon triviale).
\item Partant du disque de poids $n$, il suffit d'ajouter successivement pour 2ème poids les poids $ 1 ; 2 ; 3 ; \dots ; (n-1 )$ pour pouvoir obtenir toutes les charges entières de $( n + 1 )$ à $n + ( n - 1 ) = 2n - 1$ 
\item Partant des deux disques de poids $n$ et $( n - 1 )$ utilisés précédemment, il suffit ensuite d'ajouter successivement pour 3ème poids les poids $1 ; 2 ; \dots ; ( n - 2 )$ pour obtenir toutes les charges entières de $2n$ à $( 2n-1 ) + ( n-2 ) = 3n - 3$.
\item On généralise le procédé :  aux plus grands poids utilisés dans l'étape précédentes $n$ ; $(n - 1)$ ; $(n - 2)$ etc. on ajoute un nouveau poids $1 ; 2 ; 3 ; \dots$ dans l'ordre croissant on obtient alors des sommes entières consécutives, jusqu'à la dernière étape où de proche en proche on a la somme de tous les poids $1 ; 2 ; 3 ; \dots ; n$ et donc jusqu'à obtenir $S$.

Le programme de musculation est donc bien formé de l'ensemble des entiers compris entre 1 et $S$.
\end{enumerate}
\item On passe de $( 1 ; 2 ; 3 ; \dots ; n )$ à $( 2 ; 4 ; 6 ; \dots ; 2n )$ en multipliant tous les poids par deux, ce qui a pour effet de multiplier toutes les sommes obtenues (les charges) et les différences (les pas) par 2 :
Le programme de musculation de $( 1 ; 2 ; 3 ; \dots ; n )$ étant régulier de pas 1, celui de $( 2 ; 4 ; 6 ; \dots ; 2n )$ est donc aussi régulier de pas égaux à 2.
\item \begin{enumerate}
\item $( 1 ; 3 ) \rightarrow [ 1 ; 3 ; 4 ]$ : irrégulier de pas minimum 1 et maximum 2
	b. Par ajout de 5 aux sommes du a. : $( 1 ; 3 ; 5 ) \rightarrow [ 1 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 9 ] $
	
		Programme irrégulier de pas minimum 1 et maximum 2.
	c. Par ajout de 7 aux sommes du b. : $( 1 ; 3 ; 5 ; 7 ) \rightarrow [ 1 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 15 ; 16 ]$
	
Programme irrégulier de pas minimum 1 et maximum 2.

\end{enumerate}
\item Partant des poids $( 1 ; 3 ; 5 ; \dots)$ les charges minimales sont 1 puis 3 (puis 4 etc.) donc 2 ne figure pas dans les charges d'entraînement.

$T$ s'obtient par l'ajout de tous les poids impairs $1 + 3 + 5 + \dots + n$, donc pour obtenir la somme $( T - 2 )$ il faudrait pouvoir retirer de la somme $T$ un ou plusieurs entiers impairs dont la somme vaut 2 : ce qui est impossible d'après le point précédent donc $( T - 2 )$ ne figure pas non plus dans les charges d'entraînement.
\item $0 < a < b$ donc $( a ; b ) \rightarrow [ a ; b ; a + b ]$, régulier si et seulement si les pas sont égaux donc si et seulement si  $b - a = ( a + b ) - b$  soit $b = 2a$ d'où $( a ; 2a )$  ( donnant $[ a ; 2a ; 3a ]$, programme régulier de pas égaux à $a$).
\item Par disjonction de cas :
\begin{enumerate}
\item[$\triangleright$]   Si $c = a + b$, on a $( a ; b ; a + b ) \rightarrow [ a ; b ; a + b ; 2a + b ; a + 2b ; 2a + 2b ]$

On doit avoir $b - a = ( a + b ) - b$ donc $b = 2a$ d'où $c = a + b = 3a$.

Et alors $( a ; 2a ; 3a ) \rightarrow [ a ; 2a ; 3a ; 4a ; 5a ; 6a ]$, programme de musculation régulier de pas égaux à $a$.
\item[$\triangleright$]     Si c > a + b on a : $( a ; b ; c ) \rightarrow [ a ; b ; a + b ; c ; c + a ; c + b ; c + a + b ]$
Par différence, les pas sont égaux si et seulement si : 
pas$ = b - a = ( a + b ) - b = c - ( a + b ) = ( c + b ) - ( c + a ) = ( c + a + b ) - ( c + b )$
Ce qui donne	pas$= b - a = a = c - ( a + b ) = b - a = a$. 			Et donc 	pas$= b - a = a = c - ( a + b )$  			Ce qui équivaut à  $b = 2a  et à  c = (a + b) + a = 4a$

			D'où l'ensemble $( a ; b ; c ) = ( a ; 2a ; 4a ) \rightarrow [ a ; 2a ; 3a ; 4a ; 5a ; 6a ; 7a ]$, programme de musculation régulier de pas égaux à a.
\item[$\triangleright$]  Si $c < a + b$ soit $( a ; b ; c )$ on obtient par sommes l'entrainement croissant :
$[ a ; b ; c ; a + b ; a + c ; b + c ; a + b + c ]$

Par différences, le pas sera constant si et seulement si : 
pas$= b - a = c - b = ( a + b ) - c = ( a + c ) - ( a + b ) = ( b + c ) - ( a + c ) = ( a + b + c ) - ( b + c )$
Donc  pas$= b - a = c - b = ( a + b ) - c = c - b = b - a = a$
Donc pas$= b - a = c - b = ( a + b ) - c = a$.

			Ce qui implique $b = 2a$  d'où pas$= a = c - 2a = 3a - c$. 
			D'où $c = 3a$ mais dans ce cas : $a = 3a - c = 0$ donc $a = 0$ : non
			
Donc pas de programme de musculation régulier si $c < a + b$
\end{enumerate}
Conclusion : les listes de poids $( a ; b ; c )$ donnant des programmes de musculation réguliers sont les $( a ; 2a ; 3a )$ et $( a ; 2a ; 4a )$, $a$ réel strictement positif.
\end{enumerate}


\end{Solution}