\begin{exercice}[Titre={Partage convivial},TitreSolution={Partage convivial}]

\section*{Partie 1 : premier exemple}
Pour son anniversaire,  Roger a préparé un gâteau. Il a invité des amis, mais il ne sait pas si, au final, ils seront 4, 5 ou 6 convives autour de la table. Pourtant, il décide de couper  par avance son gâteau afin que chacun puisse en avoir autant que les autres, qu'ils soient 4, 5 ou 6 convives, et qu'il ne reste plus de gâteau. %Ce partage sera nommé \textit{partage convivial}.


\begin{definition}
Le gâteau est un \textbf{disque}. %en secteurs angulaires.

On appelle \textbf{part} un morceau du gâteau situé entre deux coupes successives, et les parts sont coupées \textbf{suivant des rayons}. La \textbf{taille} d'une part est une fraction de gâteau.

On appelle \textbf{portion} la quantité de gâteau que reçoit un convive. Une portion est constituée d'un certain nombre de parts.

On appelle \textbf{partage convivial}, un partage du gâteau en parts qui, une fois effectué,  permet de donner la même portion à chaque convive qu'ils soient $n-1$, $n$ ou $n+1$ ($n$ entier naturel $n\geqslant 2$).
\end{definition}

Dans cette partie, on a 4, 5 ou 6 convives donc $n=5$. 

Si 4 convives sont présents, chacun aura une portion représentant $\dfrac{1}{4}$ de gâteau, si 5 convives sont présents, chacun aura une portion représentant $\dfrac{1}{5}$ de gâteau et si 6 convives sont présents, chacun a une portion représentant $\dfrac{1}{6}$ de gâteau. 

\vspace{-6mm}
\noindent\begin{minipage}{.65\linewidth}
\begin{enumerate}
\item \textbf{1\iere~stratégie} : Roger décide de couper son gâteau en 60 parts de tailles~égales à $\dfrac{1}{60}$. Montrer que le partage est convivial, en \textbf{recopiant} et complétant le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Nombre de convives & 4 & 5 & 6 \\
\hline
Nombre de parts de gâteau dans chaque portion &  &  &  \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill\begin{minipage}{.35\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
    % Paramètres
    \def\n{60} % Nombre de secteurs
    \def\k{14}
    \def\radius{2} % Rayon du cercle

    % Cercle rempli en gris clair
    \draw[] (0,0) circle (\radius);

    % Lignes et contours
\foreach \i in {1,...,\n} {
       \draw[] (0,0) -- ({\i/\n*360}:\radius);
    }

\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\vspace{-6mm}

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}1
\item \textbf{2\ieme~stratégie} : Roger  propose de couper son gâteau en seulement 11 parts de tailles différentes (sauf ici pour 2 parts). Les rayons rouges, sur la figure suivante, représentent les découpes. On a laissé apparaître les parts de la première stratégie qui ne seront pas découpées ici. 

Voici les tailles des 11 parts :

$\dfrac{10}{60}$\hfil $\dfrac{9}{60}$\hfil  $\dfrac{8}{60}$\hfil $\dfrac{7}{60}$\hfil $\dfrac{6}{60}$\hfil $\dfrac{5}{60}$\hfil $\dfrac{5}{60}$\hfil $\dfrac{4}{60}$\hfil $\dfrac{3}{60}$\hfil $\dfrac{2}{60}$\hfil $\dfrac{1}{60}$.


\begin{minipage}{.7\linewidth}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Cas où le nombre de convives est 4} :

Roger donne au premier convive les parts de tailles $\dfrac{10}{60}$ et $\dfrac{5}{60}$ et au deuxième les parts de tailles  $\dfrac{9}{60}$ et $\dfrac{6}{60}$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que ces parts permettent à ces deux convives d'avoir la même portion de gâteau;
\item Répartir les autres parts aux deux autres convives afin qu'ils mangent la même portion de gâteau.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill\begin{minipage}{.3\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
    % Paramètres
    \def\n{60} % Nombre de secteurs
    \def\k{14}
    \def\radius{2} % Rayon du cercle

    % Cercle rempli en gris clair
    \draw[] (0,0) circle (\radius);

    % Lignes et contours
\foreach \i in {1,...,\n} {
       \draw[gray!30] (0,0) -- ({\i/\n*360}:\radius);
    }
    % Lignes de partage
\foreach \i in {0,1,3,6,10,15,20,26,33,41,50} {
       \draw[red,thick] (0,0) -- ({\i/\n*360}:\radius);
    }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{enumerate}\setcounter{enumii}1
\item \textbf{Cas où le nombre de convives est 5} : faire une distribution des 11 parts pour chaque convive, afin qu'ils mangent la même portion de gâteau.
\item \textbf{Cas où le nombre de convives est 6} : faire une distribution des 11 parts pour chaque convive, afin qu'ils mangent la même portion de gâteau.
\item Le partage en ces 11 parts est-il convivial ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vfill
\begin{definition}
Pour tout entier naturel $n\geqslant 2$, notons {$u_n$} le \textbf{nombre minimal de parts d'un partage convivial} entre $n-1$, $n$ ou $n+1$ convives.
\end{definition}




Remarque : d'après la partie 1, on a  $u_5\leqslant 11$. En effet, on a trouvé un partage convivial du gâteau en 11 parts pour 4, 5 ou 6 convives mais on ne peut pas affirmer que $u_5=11$, c'est-à-dire que 11 soit le minimum de parts pour ce partage convivial.

%\vspace{-4mm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Partie 2 : cas $n=2$ et $n=3$}%\vspace{-4mm}
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}2
\item Le cas $n=2$.
\begin{enumerate}
\item Donner la signification de $u_2$.
\item Justifier que $u_2\geqslant 3$.
\item On suppose ici avoir trouvé un partage convivial en 3 parts. 
\begin{enumerate}
\item Quelle est alors la taille de chaque part lorsque les convives sont 3 ? 
\item Ce partage convient-il lorsque les convives ne sont que 2 ?
\end{enumerate}
On en conclut donc que $u_2\geqslant 4$.
\item Donner un partage convivial du gâteau en 4 parts (sous forme de figure ou fractions).
\item En déduire $u_2$. 
\end{enumerate}
\item 	Le cas $n=3$. Dans cette question, on va montrer que $u_3=6$.
\begin{enumerate}
\item Prouver que  $u_3\geqslant 5$.%$u_3\geqslant 4$ puis que
\item On suppose dans cette question qu'il existe un partage convivial en 5 parts entre 2, 3 ou 4 convives. 

\begin{enumerate}
\item Quand les convives sont 4, prouver qu'un convive a une part de plus que les autres (indépendamment de leurs tailles).
\item Quelle est la taille des parts des 3 autres convives ?
%\item Prouver que celui qui a 2 parts, celles-ci ont une taille inférieure à $\dfrac{1}{4}$.
\item Trouver alors une contradiction avec le cas où les convives ne sont que 3.
\item En déduire que $u_3\geqslant 6$.
\end{enumerate}

\item Donner un partage convivial en 6 parts dont les tailles sont exprimées en fractions de dénominateurs égaux à 12 et donner la répartition entre les convives dans chaque cas.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%\vspace{-4mm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Partie 3 : vers une généralisation}%\vspace{-4mm}

Dans cette partie, $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}4
\item Prouver que  $u_n\geqslant n+1$.
\item \begin{enumerate}
\item Supposons qu'il y ait $n$ convives et qu'un convive n'ait qu'une seule part. 

Cette part peut-elle convenir lorsqu'il y a $n+1$ convives  ?
\item En déduire que $u_n\geqslant 2n$.
\end{enumerate}%En considérant le nombre de part des convives lorsqu'ils sont $n$, montrer que $u_n\geqslant 2n$, pour tout $n\geqslant 2$.
\item En considérant les polygones réguliers à $n-1$, $n$ et $n+1$ côtés, prouver que $u_n\leqslant 3n-2$.
\item En déduire un encadrement de $u_n$.
\end{enumerate}
\vspace{-4mm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\section*{Partie 4 : retour au premier exemple}\vspace{-4mm}
%
%On suppose que $n=5$.
%
%
%\begin{enumerate}\setcounter{enumi}8
%\item À l'aide des parties 1 et 3 donner un encadrement le plus étroit possible de $u_5$
%\item On suppose avoir trouvé un partage convivial en 10 parts.
%\begin{enumerate}
%\item En considérant 5 ou 6 convives montrer que la taille des parts est de la forme $\dfrac{k}{30}$ où $k$ est un entier naturel.
%\item Ce partage peut-il convenir quand les convives sont $4$ ?
%\end{enumerate}%En considérant le nombre de part des convives lorsqu'ils sont $n$, montrer que $u_n\geqslant 2n$, pour tout $n\geqslant 2$.
%\item En déduire la valeur de $u_5$.
%\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{Solution}
\section*{Partie 1 : un exemple particulier}

\begin{enumerate}
\item 

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Nombre de convives & 4 & 5 & 6 \\
\hline
Nombre de parts de gâteau dans chaque portion & 15 & 12 & 10 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item 
\begin{enumerate}
\item À la troisième personne : $\dfrac{8}{60}$ et  $\dfrac{7}{60}$ car $\dfrac{8}{60}+\dfrac{7}{60}=\dfrac{15}{60}$ et à la dernière personne   $\dfrac{5}{60}$, $\dfrac{4}{60}$, $\dfrac{3}{60}$, $\dfrac{2}{60}$ et $\dfrac{1}{60}$ de somme $\dfrac{15}{60}$.
\item On s'arrange à créer des  sommes de $\dfrac{12}{60}$ :
\vspace{-4mm}
\begin{multicols}{2}\setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{itemize}
\item à la première personne : $\cfrac{10}{60}$ et $\cfrac{2}{60}$;
\item à la deuxième personne : $\cfrac{9}{60}$ et  $\cfrac{3}{60}$;
\item à la troisième personne : $\cfrac{8}{60}$ et  $\cfrac{4}{60}$;
\item à la quatrième personne : $\cfrac{7}{60}$ et  $\cfrac{5}{60}$;
\item à la cinquième personne :  $\cfrac{6}{60}$, $\cfrac{5}{60}$ et $\cfrac{1}{60}$.
\end{itemize}
\end{multicols}
\item On s'arrange à créer des  sommes de $\cfrac{10}{60}$ :
\vspace{-4mm}
\begin{multicols}{2}\setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{itemize}
\item à la première personne : $\cfrac{10}{60}$;
\item à la deuxième personne : $\cfrac{9}{60}$ et  $\cfrac{1}{60}$;
\item à la troisième personne : $\cfrac{8}{60}$ et  $\cfrac{2}{60}$;
\item à la quatrième personne : $\cfrac{7}{60}$ et  $\cfrac{3}{60}$;
\item à la cinquième personne :  $\cfrac{6}{60}$ et $\cfrac{4}{60}$;
\item à la sixième personne :  $\cfrac{5}{60}$ et $\cfrac{5}{60}$;
\end{itemize}
\end{multicols}
\item D'après ce qui précède, on a trouvé un partage en parts qui permet de donner la même portion à chaque convive qu'ils soient 4, 5 ou 6 donc le partage en 11 parts est convivial.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Partie 2 : cas $n=2$ et $n=3$}

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}2
\item 
\begin{enumerate}
\item $u_2$ est le nombre minimal de parts d'une découpe d'un gâteau telle que l'on puisse se partager équitablement le gâteau que l'on soit en 1, 2 ou 3 personnes.
\item Il y aura au maximum 3 convives, donc $u_2\geqslant 3$.
\item 
\begin{enumerate}
\item La taille de chaque part est alors de $\dfrac{1}{3}$.
\item Si l'on coupe seulement en 3 parts, elles seront de même taille pour 3 convives, mais alors il sera impossible de donner autant à chaque personne quand il ne seront que 2. Donc $u_2\geqslant 4$. 
\end{enumerate}
\item \begin{minipage}{.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
    % Paramètres
  
    \def\radius{1} % Rayon du cercle

    % Cercle rempli en gris clair
    \draw[] (0,0) circle (\radius);

 
    % Lignes de partage
\foreach \i in {0,3,5,7} {
       \draw[red,thick] (0,0) -- ({\i/6*360}:\radius);
    }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\hfill\begin{minipage}{.5\linewidth}
On coupe en part de $\dfrac{2}{6}$, $\dfrac{2}{6}$, $\dfrac{1}{6}$ et $\dfrac{1}{6}$.
\end{minipage}
\item $u_2=4$ d'après ce qui précède.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item On  partage équitablement le gâteau que l'on soit en 2, 3 ou 4 personnes, donc 4 personnes au maximum donc $u_3\geqslant 4$. Mais si le gâteau était coupé en quatre parts, pour 4 personnes, ces parts auraient  des tailles identiques, et il ne serait pas possible de les répartir en 3 pour trois personnes. Donc $u_3\geqslant 5$.
\item 
\begin{enumerate}
\item S'il y a 5 parts et 4 convives, un convive a au moins 2 parts (principe des tiroirs) et donc les autres ont chacun 1 part. 
\item Les convives ont la même portion  de gâteau, soit $\dfrac{1}{4}$.
\item Il y a trois parts de taille $\dfrac{1}{4}$ et 2 parts de taille inférieure (dont la somme fait $\dfrac{1}{4}$. On ne peut donc pas répartir ces dernières sur les trois autres parts.
\item D'après de qui précède $u_3\geqslant 6$.
\end{enumerate}
\item On peut donner comme solution $\dfrac{3}{12}$\hfil $\dfrac{3}{12}$\hfil  $\dfrac{2}{12}$\hfil $\dfrac{2}{12}$\hfil $\dfrac{1}{12}$\hfil $\dfrac{1}{12}$.

\begin{minipage}{.5\linewidth}
\begin{itemize}
\item en 2 : $\dfrac{3}{12}$,  $\dfrac{2}{12}$ et  $\dfrac{1}{12}$; $\dfrac{3}{12}$,  $\dfrac{2}{12}$ et  $\dfrac{1}{12}$.
\item en 3 : $\dfrac{3}{12}$ et  $\dfrac{1}{12}$; $\dfrac{3}{12}$ et  $\dfrac{1}{12}$;  $\dfrac{2}{12}$ et  $\dfrac{2}{12}$.
\item en 4 : $\dfrac{3}{12}$; $\dfrac{3}{12}$; $\dfrac{2}{12}$ et  $\dfrac{1}{12}$; $\dfrac{2}{12}$ et  $\dfrac{1}{12}$.
\end{itemize}
\end{minipage}
\hfill\begin{minipage}{.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
    % Paramètres
 
    \def\radius{1} % Rayon du cercle

    % Cercle rempli en gris clair
    \draw[] (0,0) circle (\radius);

 
    % Lignes de partage
\foreach \i in {0,3,6,7,9,11} {
       \draw[red,thick] (0,0) -- ({\i/12*360}:\radius);
    }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù
\section*{Partie 3 : vers une généralisation}
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}4
\item Pour $u_n$, il y a au maximum $n+1$ convives, donc $u_{n}\geqslant n+1$.
\item Si l'un des convives n'a qu'une part, lorsque ceux-ci sont $n$, sa part mesure $\dfrac{1}{n}$. Elle est donc trop grosse pour un nombre de convives à $n+1$. Tous les convives ont donc au moins $2$ parts quand ils sont $n$. Donc $u_n\geqslant 2n$.
\item Pour $n-1$ convives, on coupe le gâteau en $n-1$ parts égales, de même pour $n$ et $n+1$, mais en partant à chaque fois du même rayon de découpe. Ce qui donne au maximum $n-1+n+n+1-2=3n-2$ parts.

Voici des exemples pour $n=4$, $n=5$ et $n=6$ : 


\begin{center}
\begin{tikzpicture}
    % Paramètres
   \def\radius{2} % Rayon du cercle

    % Cercle rempli en gris clair
    \draw[] (0,0) circle (\radius);

    % Lignes et contours
%\foreach \i in {1,...,\n} {
%       \draw[gray!30] (0,0) -- ({\i/\n*360}:\radius);
%    }
    % Lignes de partage
\foreach \i in {0,1,...,2} {
       \draw[dotted,thick] (0,0) -- ({\i/3*360}:\radius);}% node[midway, above,black] {\tiny \i};}
\foreach \i in {0,1,...,3} {
       \draw[dashed,thick] (0,0) -- ({\i/4*360}:\radius);}% node[midway, above left,black]  {\tiny \i};}
\foreach \i in {0,1,...,4} {
       \draw[thick] (0,0) -- ({\i/5*360}:\radius);}% node[midway, above right,black] {\tiny \i};    }
\end{tikzpicture}
\hfil
\begin{tikzpicture}
    % Paramètres
   \def\radius{2} % Rayon du cercle

    % Cercle rempli en gris clair
    \draw[] (0,0) circle (\radius);

    % Lignes et contours
%\foreach \i in {1,...,\n} {
%       \draw[gray!30] (0,0) -- ({\i/\n*360}:\radius);
%    }
    % Lignes de partage
\foreach \i in {0,1,...,3} {
       \draw[dotted,thick] (0,0) -- ({\i/4*360}:\radius);}% node[midway, above,black] {\tiny \i};}
\foreach \i in {0,1,...,4} {
       \draw[dashed,thick] (0,0) -- ({\i/5*360}:\radius);}% node[midway, above left,black]  {\tiny \i};}
\foreach \i in {0,1,...,5} {
       \draw[thick] (0,0) -- ({\i/6*360}:\radius);}% node[midway, above right,black] {\tiny \i};    }
\end{tikzpicture}
\hfil
\begin{tikzpicture}
    % Paramètres
   \def\radius{2} % Rayon du cercle

    % Cercle rempli en gris clair
    \draw[] (0,0) circle (\radius);

    % Lignes et contours
%\foreach \i in {1,...,\n} {
%       \draw[gray!30] (0,0) -- ({\i/\n*360}:\radius);
%    }
    % Lignes de partage
\foreach \i in {0,1,...,6} {
       \draw[dotted,thick] (0,0) -- ({\i/7*360}:\radius);}% node[midway, above,black] {\tiny \i};}
\foreach \i in {0,1,...,4} {
       \draw[dashed,thick] (0,0) -- ({\i/5*360}:\radius);}% node[midway, above left,black]  {\tiny \i};}
\foreach \i in {0,1,...,5} {
       \draw[thick] (0,0) -- ({\i/6*360}:\radius) ;}%node[midway, above right,black] {\tiny \i};    }
\end{tikzpicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\section*{Partie 4 : retour au premier exemple}
%
%On suppose que $n=5$.
%
%
%\begin{enumerate}\setcounter{enumi}7
%\item À l'aide des parties 1 et 3 on trouve comme encadrement  $10 \leqslant u_5\leqslant 11$
%\item On suppose avoir trouvé un partage convivial en 10 parts.
%\begin{enumerate}
%\item %En considérant 5 ou 6 convives montrer que la taille des parts est de la forme $\dfrac{k}{30}$ où $k$ est un entier naturel.
%Dans le cas de 5 convives, comme une personne ne peut pas avoir une seule part (voir raisonnement de la question 6), et non plus trois parts (sinon il faudrait qu'une personne n'en ait qu'une), les 5 convives ont tous 2 parts, dont la somme fait une portion de $\dfrac{1}{5}$
%\item Ce partage peut-il convenir quand les convives sont $4$ ?
%\end{enumerate}%En considérant le nombre de part des convives lorsqu'ils sont $n$, montrer que $u_n\geqslant 2n$, pour tout $n\geqslant 2$.
%\item En déduire la valeur de $u_5$.
%\end{enumerate}
\item $2n\leqslant u_n\leqslant 3n-2$
\end{enumerate}

\end{Solution}