\begin{exercice}[Titre={Fractales},TitreSolution={Fractales}]
Cet exercice a pour but de réaliser une figure géométrique obtenue en répétant une même construction géométrique simple. La figure obtenue est appelée une fractale.\\


\begin{definition}
	\textbf{\underline{Définition de l'étape de découpage}}\\
	
	Soit  $a$ un réel positif vérifiant $0<a<\dfrac{1}{2}$.\\
	Pour \textbf{chacun} des segments horizontaux ou verticaux de la figure, on crée 4 nouveaux segments plus petits en procédant de la manière suivante : 
	
	\begin{itemize}[label=\textbullet]
		\item on considère un segment $[A B]$ de longueur $\ell$,
		\item on coupe ce segment en son milieu noté $I$ et l'on crée ainsi 2 nouveaux segments $[A I]$ et $[I B]$ de longueur $\dfrac{\ell}{2}$, 
		\item sur la médiatrice de ce segment, on crée 2 nouveaux segments $[C I]$ et $[I D]$ de longueur $a{\ell}$. 
	\end{itemize}
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=.45]{dessin construction.png}\\
	\end{center}
	
\end{definition}

\medskip

\begin{definition}
	\textbf{\underline{Définition d'une fractale de rang $\boldsymbol n$}}\\
	
	Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 0.\\
	On considère un segment de départ horizontal de longueur $L>0$.\\
	\textbf{Une fractale de rang} $\boldsymbol n$ notée $F_n$ est la figure  obtenue en réitérant $n$ fois l'étape de découpage.\\
	Ainsi $F_0$ est simplement le segment de départ.\\
	Voici les trois premières fractales pour un segment de départ de longueur $L=6$ avec $a=0,35$ :
	\begin{center}
		\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=.25]{dessin fractale F0.png}\\
				{$F_0$ comporte 1 segment }
			\end{center}
		\end{minipage} 
		\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=.25]{dessin fractale F1.png}\\
				{$F_1$ comporte 4 segments :\\ 2 horizontaux et 2 verticaux}
			\end{center}
		\end{minipage} 
		\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=.25]{dessin fractale F2.png}\\
				{$F_2$ comporte 16 segments :\\ 8 horizontaux et 8 verticaux}
			\end{center}
		\end{minipage} \\
	\end{center}

\end{definition}
\newpage





\textbf{On considère un segment de départ de longueur $\boldsymbol{ L=48}$  avec  $\boldsymbol {a=\dfrac{1}{4}}$.}\\


\textbf{\large{Partie 1 :}  Des constructions et des longueurs}\\

\begin{enumerate}
	\item Sur l'annexe 1, les deux premières fractales $F_0$ et  $F_1$ sont tracées.
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item  Compléter la fractale $F_2$.
		\item  Compléter la fractale $F_3$ dont une grande partie des segments sont déjà tracés.\\
	\end{enumerate}
	%\setcounter{question}{\value{enumi}}
\end{enumerate}
	
 On décide de ranger les différents segments par taille : la taille 0 représente les plus grands segments, la taille 1 représente les segments plus petits.\\
 On peut classer les 4 segments de $F_1$ dans le tableau suivant : ~
	\begin{tabular}{|c|c|c|}
		\hline
		taille&0&1\\
		\hline
		longueurs & 24& 12 \\
		\hline
		nombre de segments  &2&2\\
		\hline
		\end{tabular}.
		
\begin{enumerate}
	%\setcounter{enumi}{\value{question}}
	\item 
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
	\item Quelles sont les 3 longueurs possibles pour les 16 segments de la fractale $F_2$ ?
	\item Recopier et compléter le tableau suivant permettant de classer des plus grands aux plus petits les segments de la fractale $F_2$ :
	\begin{center}
	\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
		\hline
		taille&0&1&2\\
		\hline
		longueurs & & & \\
		\hline
		nombre de segments & & &\\
		\hline
	\end{tabular}.
	\end{center}
	\end{enumerate}
	%\setcounter{question}{\value{enumi}}
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{\large {Partie 2 :} Les différents segments}

Soit $n\geqslant 0$.\\
 Nous allons compter le nombre de segments de la fractale $F_n$ qui sont de même longueur.\\
 Les différentes longueurs sont classées de manière décroissante par la taille qui varie de 0 (les segments les plus grands) jusqu'à $n$ (les segments les plus petits).


\begin{definition}
	\textbf{Le triangle des segments :}\\
	
	\begin{minipage}[c]{0.60\textwidth}
		On construit un tableau triangulaire.\\
		 Chaque ligne de ce tableau permet de compter pour la fractale $F_n$, le nombre de segments ayant la taille $p$, $p$ étant un entier compris entre 0 à $n$.\\
		
		Le nombre situé à la ligne $n$  et à la colonne $p$  est noté $S(n,p)$.\\
		Par exemple, $S(2,1)$ représente le nombre de segments de la fractale $F_2$ dont la taille n'est ni la plus grande, ni la plus petite.
	\end{minipage}
	\begin{minipage}[c]{0.40\textwidth}
	\begin{center}
	\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
	\begin{tabular}{|c|ccccc|}
	\hline
	\diagbox{$n$}{$p$} & 0 & 1 & 2 & 3  &\dots \\
	\hline
	0 & 1 & & &&  \\
	\hline
	1 & 2 & 2 & &&  \\
	\hline
	2 & \dots & \dots & \dots & &\\
	\hline
	3 & \dots &\dots &\dots  & \dots &  \\
	\hline
$\vdots$ & $\vdots$ & && &\\
	\hline
	\end{tabular}
	\end{center}
%		\begin{center}
%		\[
%		\begin{array}{c|ccccc}
%		n \backslash p & 0 & 1 & 2 & 3 & \ldots \\
%		\hline
%		0 & 1 & & & & \\
%		1 & 2 & 2 & & & \\
%		2 & \ldots & \ldots & \ldots & & \\
%		3 & \ldots & \ldots & \ldots & & \\
%		\vdots & \vdots & & & &
%		\end{array}
%		\]
		
%			\begin{tikzpicture}[my rule/.style={line width=\myrulewidth}]
%				
%				\matrix (mat) [
%				my rule, draw, inner sep=0, matrix of math nodes,
%				nodes={minimum width=\myCellSize,
%					text height=0.6\myCellSize, text depth=0.4\myCellSize},
%				]
%				{
%					\raisebox{-0.7ex}{$~n~$}\kern 0.2em\raisebox{0.7ex}{$~p~$}
%					& 0      & 1 & 2 & 3 &\cdots     \\
%					0      & 1                                     \\
%					1      & 2     & 2                            \\
%					2      &   \hdots    & \hdots & \hdots                        \\
%					3      &  \hdots & \hdots & \hdots  &    \hdots   &        \\
%					
%					\vdots & \vdots &         &         &  &    \ddots \\
%				};
%				
%				\begin{scope}[my rule]
%					\draw (mat-1-1.north east) -- (mat-6-1.south east);
%					\draw (mat-1-1.south west) -- (mat-1-6.south east);
%					\draw ([shift={(0.5\myrulewidth, -0.5\myrulewidth)}]mat-1-1.north west) --
%					(mat-1-1.south east);
%				\end{scope}
%			\end{tikzpicture}
%		\end{center}
	\end{minipage}
	
\end{definition}

\begin{enumerate}
	%\setcounter{enumi}{\value{question}}
	\item  
	
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item  Justifier rapidement que $S(0,0)=1$ et $S(1,0)=S(1,1)=2$.
		\item  En annexe 2, compléter le tableau pour les lignes $n=1$ à $n=3$.\\
	\end{enumerate}   
	
	
	
	\item  Justifier que $S(n,0)=S(n,n)= 2^n$.\\
	
	\item  On admet  pour $p<n$ la relation suivante : $$S(n+1,p+1) = 2 \times (S(n,p)+S(n,p+1))$$
	Compléter le tableau de l'annexe 2 jusqu'à la ligne $n=5$.
%	\setcounter{question}{\value{enumi}}
\end{enumerate}


\newpage
\textbf{\large {Partie 3 :} Les différentes longueurs}



\begin{definition}
	\textbf{Le triangle des longueurs :}\\
	
	\begin{minipage}[c]{0.60\textwidth}
		On construit un second tableau triangulaire.\\
	Chaque ligne de ce tableau permet d'indiquer pour la fractale $F_n$, la longueur des segments selon leur taille $p$, $p$ étant un entier compris entre 0 à $n$.\\
		
		Le nombre situé à la ligne $n$  et à la colonne $p$  est noté $L(n,p)$.\\
	Par exemple, $L(2,1)$ est la longueur des segments de la fractale $F_2$ ayant une taille égale à 1.
	\end{minipage}
	\begin{minipage}[c]{0.40\textwidth}
		\begin{center}
		\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
		\begin{tabular}{|c|ccccc|}
		\hline
		\diagbox{$n$}{$p$} & 0 & 1 & 2 & 3  &\dots \\
		\hline
		0 & 48 & & &&  \\
		\hline
		1 & 24 & 12 & &&  \\
		\hline
		2 & \dots & \dots & \dots & &\\
		\hline
		3 & \dots &\dots &\dots  & \dots &  \\
		\hline
	$\vdots$ & $\vdots$ & && &\\
		\hline
		\end{tabular}
		\end{center}
%		\begin{center}
%		\[
%		\begin{array}{c|ccccc}
%		n \backslash p & 0 & 1 & 2 & 3 & \ldots \\
%		\hline
%		0 & 48 & & & & \\
%		1 & 24 & 12 & & & \\
%		2 & \ldots & \ldots & \ldots & & \\
%		3 & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \\
%		\vdots & \vdots & & & &
%		\end{array}
%		\]
%			\begin{tikzpicture}[my rule/.style={line width=\myrulewidth}]
%				
%				\matrix (mat) [
%				my rule, draw, inner sep=0, matrix of math nodes,
%				nodes={minimum width=\myCellSize,
%					text height=0.6\myCellSize, text depth=0.4\myCellSize},
%				]
%				{
%					\raisebox{-0.7ex}{$~n~$}\kern 0.2em\raisebox{0.7ex}{$~p~$}
%					& 0      & 1 & 2 & 3 &\cdots     \\
%					0      & 48                                     \\
%					1      & 24     & 12                           \\
%					2      &   \hdots    & \hdots & \hdots                        \\
%					3      &  \hdots & \hdots & \hdots  &    \hdots   &        \\
%					
%					\vdots & \vdots &         &         &  &    \ddots \\
%				};
%				
%				\begin{scope}[my rule]
%					\draw (mat-1-1.north east) -- (mat-6-1.south east);
%					\draw (mat-1-1.south west) -- (mat-1-6.south east);
%					\draw ([shift={(0.5\myrulewidth, -0.5\myrulewidth)}]mat-1-1.north west) --
%					(mat-1-1.south east);
%				\end{scope}
%			\end{tikzpicture}
%		\end{center}
	\end{minipage}
	
\end{definition}

\begin{enumerate}
%	\setcounter{enumi}{\value{question}}
	\item  
	
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item  Justifier que $L(0,0)=48$ et $L(1,0)=24$ et $L(1,1)=12$.
		\item  En annexe 3, compléter le triangle des longueurs pour les lignes $n=1$ à $n=3$.
	\end{enumerate}
	
	
	\item  Justifier que $L(n,0)=\dfrac{48}{2^n}$.
	\item  
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Justifier que la ligne $n+1$ du tableau comporte une taille de plus que la ligne $n$.
		\item  En déduire la relation $L(n+1,p+1) = \dfrac{1}{4} L(n,p)$.
		\item  	Compléter le tableau de l'annexe 3  jusqu'à la ligne $n=5$ en arrondissant à 0,0001 près si besoin.
	\end{enumerate}   
%	\setcounter{question}{\value{enumi}}
\end{enumerate} 

\medskip
\textbf{\large{Partie 4 :} De l'infini dans du fini}

\begin{enumerate}
%	\setcounter{enumi}{\value{question}}
	\item    
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item  Justifier que la somme des longueurs des segments est multipliée par $\dfrac{3}{2}$ à chaque étape de découpage.
		\item  Le segment de départ a pour longueur 48 mm. \\
		Quelle est la somme des longueurs des segments de la fractale $F_{8}$ exprimée en cm ?
		
		\item  \`{A} partir de quelle valeur de $n$, la somme des longueurs des segments de $F_n$ dépassera la distance Terre-Jupiter qui vaut environ 591 millions de kilomètres ?
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\medskip
Voici pour illustrer le sujet la fractale $F_8$ :
\begin{center}
	\includegraphics[scale=.4]{dessin fractale F8BIS.png}\\
\end{center}




\newpage 

\subsection*{Annexe 1}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.60]{dessin annexe 1.1 F0.png}  

	{\Large $F_0$}
\end{center}


	\begin{center}
		\includegraphics[scale=.60]{dessin annexe 1.1 F1.png} 
		 
		{\Large$F_1$}
	\end{center} 

	\begin{center}
		\includegraphics[scale=.60]{dessin annexe 1.1 F2.png}  
		
		{\Large$F_2$}
	\end{center} 


\begin{center}
\includegraphics[scale=.51]{dessin annexe 1.1 F3.png} 

{\Large$F_3$}  
\end{center}
%
%		\begin{center}
%			\includegraphics[scale=.45]{dessin annexe 2.1 F4.png} \\  		
%			{$F_4$}
%		\end{center} 


\section*{Annexe 2 : Le triangle des segments}


\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}{|c|cccccc|}
\hline
\diagbox{$n$}{$p$} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline
0 & 1 & & & & & \\
\hline
1 & 2 & 2 & & & & \\
\hline
2 & \dots & \dots & \dots & & & \\
\hline
3 & \dots &\dots &24  & \dots & & \\
\hline
4 & \dots & 64 & \dots & \dots & \dots & \\
\hline
5 & \dots& \dots & \dots & \dots& \dots & \dots \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}






%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}[my rule/.style={line width=\myrulewidth}]
%	
%	\matrix (mat) [
%	my rule, draw, inner sep=0, matrix of math nodes,
%	nodes={minimum width=\myCellSize*1.3,
%		text height=0.8\myCellSize, text depth=0.4\myCellSize},
%	]
%	{
%		\raisebox{-0.7ex}{$~n~$}\kern 0.2em\raisebox{0.7ex}{$~~p~$}
%		& 0      & 1 & 2 & 3 & 4 & 5  \\
%		0      & 1                                     \\
%		1      & 2      & 2                            \\
%		2      &  \hdots    &\hdots    &     \hdots                      \\
%		3      &  \hdots      & \hdots   &  24 &   \hdots                   \\
%		4      &  \hdots      & 64 &  \hdots   &\hdots     &   \hdots              \\
%		5      &  \hdots      & \hdots   & \hdots    & \hdots   &\hdots    &       \hdots    \\
%%		6      &   \hdots     & \hdots   &  \hdots   & \hdots   &\hdots    &  \hdots    &    \hdots     \\
%%		7      & 128     &\hdots    & \hdots    & \hdots   &\hdots    & \hdots     & \hdots     & 128  \\
%		\\
%	};
%	
%	\begin{scope}[my rule]
%		\draw (mat-1-1.north east) -- (mat-7-1.south east);
%		\draw (mat-1-1.south west) -- (mat-1-7.south east);
%		\draw ([shift={(0.5\myrulewidth, -0.5\myrulewidth)}]mat-1-1.north west) --
%		(mat-1-1.south east);
%	\end{scope}
%	
%\end{tikzpicture}
%\end{center}

\vfill

\section*{Annexe 3 : Le triangle des longueurs}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}{|c|cccccc|}
\hline
\diagbox{$n$}{$p$} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline
0 & 48 & & & & & \\
\hline
1 & 24 &12 & & & & \\
\hline
2 & \dots & \dots& \dots & & & \\
\hline
3 & \dots & \dots & 1,5 & \dots & & \\
\hline
4 & \dots & 1,5 & \dots & \dots & \dots& \\
\hline
5 & \dots & \dots & \dots & \dots& \dots & \dots \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\vfill
%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}[my rule/.style={line width=\myrulewidth}]
%	
%	\matrix (mat) [
%	my rule, draw, inner sep=0, matrix of math nodes,
%	nodes={minimum width=\myCellSize*2.1,
%		text height=0.8\myCellSize, text depth=0.4\myCellSize},
%	]
%	{
%		\raisebox{-0.7ex}{$~n~$}\kern 0.2em\raisebox{0.7ex}{$~~~p~$}
%		& 0      & 1 & 2 & 3 & 4 & 5  \\
%		0      & 48                                    \\
%		1      & 24      & 12                            \\
%		2      &  \hdots    &\hdots    &     \hdots                      \\
%		3      &  \hdots      & \hdots   &  1.5&   \hdots                   \\
%		4      &  \hdots      & 1.5 &  \hdots   &\hdots     &   \hdots              \\
%		5      &  \hdots      & \hdots   & \hdots    & \hdots   &\hdots    &       \hdots    \\
%%		6      &   \hdots     & \hdots   &  0.1875   & \hdots   &\hdots    &  \hdots    &    \hdots     \\
%%		7      & 0.375     &\hdots    & \hdots    & \hdots   &\hdots    & \hdots     & \hdots     & 0.0029 \\
%		\\
%	};
%	
%	\begin{scope}[my rule]
%		\draw (mat-1-1.north east) -- (mat-7-1.south east);
%		\draw (mat-1-1.south west) -- (mat-1-7.south east);
%		\draw ([shift={(0.5\myrulewidth, -0.5\myrulewidth)}]mat-1-1.north west) --
%		(mat-1-1.south east);
%	\end{scope}
%	
%\end{tikzpicture}
%\end{center}



\end{exercice}

\begin{Solution}
	
%\begin{center}
%\Large\textbf{Fractales (correction)}
%\end{center}


\textbf{\underline{Partie 1 :}  Des constructions et des longueurs}
\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item  cf annexe
		\item  cf annexe \\
	\end{enumerate}
	%\setcounter{question}{\value{enumi}}
	
		\item
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item  Les 3 longueurs sont : 12, 6 et 3
		\item  \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
			\hline
			taille&0&1&2\\
			\hline
			longueurs &12 &6 &3 \\
			\hline
			nombre de segments & 4& 8&4\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{enumerate}
	%%\setcounter{question}{\value{enumi}}
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{\underline{Partie 2 :} Les différents segments}

\begin{enumerate}
	\item  
	
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item   La fractale $F_0$ est simplement le segment de départ donc $S(0,0)=1$.\\
		La fractale $F_1$ est obtenue après une étape de découpage donc elle comporte 4 segments :  2 grands donc $S(1,0)=2$ de taille 0 et 2 petits donc $S(1,1)=2$ de taille 1.
		        
		\item cf annexe \\
	\end{enumerate}   
	
	
	
	\item  On remarque qu'à chaque étape de découpage les plus grands segments de taille 0 sont coupés en deux moitiés ce qui donne des segments de taille 0 également. Donc leur nombre suit une suite géométrique de raison 2. Comme $F_0$ a un seul segment, on a $S(n,0)=2^n$.\\
	De la même façon la médiatrice des plus petits segments de taille $p$ donne 2 segments encore plus petits de taille $p+1$. 
	Comme $F_0$ a un seul segment, on a $S(n,n)=2^n$.\\
	
	\item  cf annexe
	%\setcounter{question}{\value{enumi}}
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{\underline{Partie 3 :} Les différentes longueurs}




\begin{enumerate}
	\item  
	
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item  La fractale $F_0$ comporte un segment de longueur 48 donc  $L(0,0)=48$.\\
		 La fractale $F_2$ possède 2 tailles donc  $L(1,0)=\dfrac{48}{2}=24$ et $L(1,1)=\dfrac{48}{4}=12$.
		 
		\item  cf annexe \\
	\end{enumerate}
	
	
	\item  La fractale $F_n$ a ses plus grands segments de taille $0$ coupés en 2 moitiés. Ces nouveaux segments sont de taille 0. La longueur des segments de taille 0 suit donc une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et comme le segment $F_0$ a une longueur égale à 48, on a $L(n,0)=\dfrac{48}{2^n}$.
	
	\item  
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		
		\item Les segments de taille 0 de $F_n$ donne deux types de segments de $F_{n+1}$ de taille 0 et 1.  Les segments de taille 1 de $F_n$ donne deux types de segments de $F_{n+1}$ de taille 1 et 2, ... 
		
	
		\item Pour une fractale $F_n$, l'étape de découpage d'un segment de taille $p$ donne deux nouveaux segments dont la longueur est divisée par 4 et de taille $p+1$.
		
		\item  cf annexe	\\
	\end{enumerate}   
	%\setcounter{question}{\value{enumi}}
\end{enumerate} 

\medskip
\textbf{\underline{Partie 4 :} De l'infini dans du fini}

\begin{enumerate}
	\item    
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item  Un segment de longueur $\ell$ donne deux segments de longueur $\dfrac{\ell}{2}$ et deux segments de longueur $\dfrac{\ell}{4}$ ce qui représente une longueur égale à $ 2 \times \dfrac{\ell}{2} +2 \times \dfrac{\ell}{4} = \dfrac{3}{2}\dfrac{\ell}{2}$.
		
		\item  On obtient pour $F_8$ une longueur totale égale à $48 \times \left(\dfrac{3}{2}\right)^8 = 123 $ cm
		
		\item  $48\times1.5^{75}/(591\times10^6\times10^6) \approx 1,3$  donc à partir de $n=75$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}


\newpage


\subsection*{Annexe 1}

\begin{center}
	\includegraphics[scale=.30]{dessin annexe 2.1 F0.png}  \\
	{$F_0$}
\end{center}

\begin{minipage}[t]{0.50\textwidth}
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=.30]{dessin annexe 2.1 F1.png}  \\
		{$F_1$}
	\end{center}
\end{minipage} 
\begin{minipage}[t]{0.50\textwidth}
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=.30]{dessin annexe 2.1 F2 correction.png}  \\
		{$F_2$}
	\end{center}
\end{minipage} 


\begin{center}
\includegraphics[scale=.45]{dessin annexe 2.1 F3 correction.png} \\
{$F_3$}  
\end{center}
%
%		\begin{center}
%			\includegraphics[scale=.45]{dessin annexe 2.1 F4.png} \\  		
%			{$F_4$}
%		\end{center} 


\section*{Annexe 2 : Le triangle des segments}


\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}{|c|cccccc|}
\hline
\diagbox{$n$}{$p$} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline
0 & 1 & & & & & \\
\hline
1 & 2 & 2 & & & & \\
\hline
2 & \textcolor{blue}4 & \textcolor{blue}8 & \textcolor{blue}4 & & & \\
\hline
3 & \textcolor{blue}8 & \textcolor{blue}{24} &24  & \textcolor{blue}8 & & \\
\hline
4 & \textcolor{blue}{16} & 64 & \textcolor{blue}{96} & \textcolor{blue}{64} & \textcolor{blue}{16} & \\
\hline
5 & \textcolor{blue}{32} & \textcolor{blue}{160} & \textcolor{blue}{320} & \textcolor{blue}{320} & \textcolor{blue}{160} & \textcolor{blue}{32} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


\vspace{1cm}

\section*{Annexe 3 : Le triangle des longueurs}


\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}{|c|cccccc|}
\hline
\diagbox{$n$}{$p$} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline
0 & 48 & & & & & \\
\hline
1 & 24 &12 & & & & \\
\hline
2 & \textcolor{blue}{12} & \textcolor{blue}6 & \textcolor{blue}3 & & & \\
\hline
3 & \textcolor{blue}6 & \textcolor{blue}3 & 1,5 & \textcolor{blue}0,75 & & \\
\hline
4 & \textcolor{blue}3 & 1,5 & \textcolor{blue}{0,75} & \textcolor{blue}{0,375} & \textcolor{blue}{0,1875} & \\
\hline
5 & \textcolor{blue}{1,5} & \textcolor{blue}{0,75} & \textcolor{blue}{0,375} & \textcolor{blue}{0,1875 }& \textcolor{blue}{0,0934} & \textcolor{blue}{0,0469} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


%\subsection*{Annexe 2 : \textbf{Le triangle des segments }\\}
%
%
%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}[my rule/,style={line width=\myrulewidth}]
%	
%	\matrix (mat) [
%	my rule, draw, inner sep=0, matrix of math nodes,
%	nodes={minimum width=\myCellSize*1,3,
%		text height=0,8\myCellSize, text depth=0,4\myCellSize},
%	]
%	{
%		\raisebox{-0,7ex}{$~n~$}\kern 0,2em\raisebox{0,7ex}{$~~p~$}
%		& 0      & 1 & 2 & 3 & 4 & 5   \\
%		0      & 1                                     \\
%		1      & 2      & 2                            \\
%		2      & \bf{\color{blue} 4}  & \bf{\color{blue} 8}   &     \bf{\color{blue} 4}                      \\
%		3      &  \bf{\color{blue} 8}     & \bf{\color{blue} 24}    &  24 &   \bf{\color{blue} 8}                     \\
%		4      &  \bf{\color{blue} 16}      & 64 &   \bf{\color{blue} 96}   & \bf{\color{blue} 64}    &   \bf{\color{blue} 16}          \\
%		5      &  \bf{\color{blue} 32}     &  \bf{\color{blue} 160}   & \bf{\color{blue} 320}   & \bf{\color{blue} 320}    &\bf{\color{blue} 160}   &        \bf{\color{blue} 32}   \\
%%		6      &   \bf{\color{blue} 64}    & \bf{\color{blue} 320}   &  \bf{\color{blue} 960}  & \bf{\color{blue} 1280   &\bf{\color{blue} 960}    &  \bf{\color{blue} 320}   &   \bf{\color{blue} 64}    \\
%%			7      & 128     &\bf{\color{blue} 768}   & \bf{\color{blue} 2560}    & \bf{\color{blue} 4480}   &\bf{\color{blue} 4480}   & \bf{\color{blue} 2560}     & \bf{\color{blue} 768}     & 128  \\
%			\\
%		};
%		
%		\begin{scope}[my rule]
%			\draw (mat-1-1,north east) -- (mat-7-1,south east);
%			\draw (mat-1-1,south west) -- (mat-1-7,south east);
%			\draw ([shift={(0,5\myrulewidth, -0,5\myrulewidth)}]mat-1-1,north west) --
%			(mat-1-1,south east);
%		\end{scope}
%		
%	\end{tikzpicture}
%\end{center}
%
%
%
%
%
%
%
%\subsection*{Annexe 3 : \textbf{Le triangle des longueurs }\\}   
%
%\begin{center}
%	\begin{tikzpicture}[my rule/,style={line width=\myrulewidth}]
%		
%		\matrix (mat) [
%		my rule, draw, inner sep=0, matrix of math nodes,
%		nodes={minimum width=\myCellSize*2,1,
%			text height=0,8\myCellSize, text depth=0,4\myCellSize},
%		]
%		{
%			\raisebox{-0,7ex}{$~n~$}\kern 0,2em\raisebox{0,7ex}{$~~~p~$}
%			& 0      & 1 & 2 & 3 & 4 & 5   \\
%			0      & 48                                    \\
%			1      & 24      & 12                            \\
%			2      & \bf{\color{blue} 12}    &\bf{\color{blue} 6}   &    \bf{\color{blue} 3}                   \\
%			3      &  \bf{\color{blue} 6}     & \bf{\color{blue} 3}  &  1,5&    \bf{\color{blue} 0,75}               \\
%			4      & \bf{\color{blue} 3}    & 1,5 &    \bf{\color{blue}0,75}    &\bf{\color{blue}0,375}     &  \bf{\color{blue} 0,1875}      \\
%			5      &  \bf{\color{blue} 1,5}    &   \bf{\color{blue}0,75}    & \bf{\color{blue}0,375}      & \bf{\color{blue}0,1875}     &\bf{\color{blue}0,0934}     &       \bf{\color{blue} 0,0469}  \\
%%			6      &   \bf{\color{blue}0,75}     & \bf{\color{blue}0,375}    &  0,1875   & \bf{\color{blue}0,0934}   & \bf{\color{blue} 0,0469}   &  \bf{\color{blue} 0,0235}  &   \bf{\color{blue} 0,0117}   \\
%%			7      & 0,375     &\bf{\color{blue}0,1875}    & \bf{\color{blue}0,0934}   &  \bf{\color{blue} 0,0469} & \bf{\color{blue} 0,0235}    & \bf{\color{blue} 0,0117}    &\bf{\color{blue} 0,059}   & 0,0029 \\
%			\\
%		};
%		
%		\begin{scope}[my rule]
%			\draw (mat-1-1,north east) -- (mat-7-1,south east);
%			\draw (mat-1-1,south west) -- (mat-1-7,south east);
%			\draw ([shift={(0,5\myrulewidth, -0,5\myrulewidth)}]mat-1-1,north west) --
%			(mat-1-1,south east);
%		\end{scope}
%		
%	\end{tikzpicture}
%\end{center}




\end{Solution}