\begin{exercice}[Titre={Gamme musicale},TitreSolution={Gamme musicale}]

\section*{Partie 1 : Construction des octaves}

On introduit la notion d'octave : 
\begin{definition}
Etant donn\'ee une fr\'equence $f_{0}\in \, ]0,+\infty[$, 
%on d\'efinit une octave comme l'intervalle $[f_{0},2f_{0}]$. 
\begin{itemize}\item La fr\'equence $f_{1}=2f_{0}$ est dite ``une octave au-dessus'' de $f_{0}$ lorsqu'on monte d'une octave, de $f_{0}$ \`a $f_{1}$.
\item La fr\'equence $f_{0}$ est dite ``une octave en dessous" de $f_{1}$ lorsqu'on descend d'une octave, de $f_{1}$ \`a $f_{0}$. 
\end{itemize}
L'intervalle $[f_{0},2f_{0}]$ est un {\it intervalle de r\'ef\'erence}.
\end{definition}

\begin{enumerate}
\item Compl\'eter, dans l'annexe 1, le tableau des octaves successives en dessous et au-dessus de la fréquence $f_{0}=440$. 


\item  Compl\'eter l'axe gradué, dans l'annexe 2, en y représentant les valeurs $110$ et 
$880$. 




\item 
\begin{enumerate}
\item
Soit un entier $n\in\mathbb{N}$, justifier que la $n$-i\`eme octave au-dessus de $f_{0}=440$, not\'ee $f_{n}^{+}$  v\'erifie : 
$$f_{n}^{+}=2^{n}f_{0}.$$
Proposer de m\^eme une formule pour la $n$-\`eme octave en dessous de $f_{0}$, not\'ee $f_{n}^{-}$. 

\item Calculer l'\'ecart $f_{n+1}^{+}-f_{n}^{+}$ entre deux octaves successives. Est-il constant? 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Partie 2 : Construction des quintes}

On d\'efinit aussi la notion de quinte : 
\begin{definition}
Etant donn\'ee une fr\'equence $f_{0}\in \, ]0,+\infty[$, on d\'efinit la ``quinte au-dessus de $f_{0}$'' comme la fr\'equence $q_{1}=\frac{3}{2}f_{0}$.

La fr\'equence $f_{0}$ est alors ``une quinte en dessous de $q_{1}$''.  
\end{definition}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3}
\item Si $q_{1}=\frac{3}{2}f_{0}$, exprimer $f_{0}$ en fonction de $q_{1}$. 
\end{enumerate}

Pour des raisons de simplicit\'e, dans les questions qui suivent, on fixe $f_{0}=1$. L'intervalle de r\'ef\'erence associ\'e est alors l'intervalle $[1,2]$. 

On calcule les quintes successives, de la forme $(\frac{3}{2})^{n}$, avec $n\in \mathbb{N}$, et on les ram\`ene dans l'intervalle $[1,2]$ en descendant le bon nombre d'octaves. Par exemple : 


\begin{itemize}
\item Pour la premi\`ere quinte, $n=1$, la fr\'equence $\frac{3}{2}$ est d\'ej\`a dans l'intervalle $[1,2]$ : inutile de changer d'octave. 
\item Pour la deuxi\`eme quinte, $n=2$, la fr\'equence $(\frac{3}{2})^{2}$ vaut $\frac{9}{4}=2,25$, elle n'est pas dans l'intervalle $[1,2]$. On l'y ram\`ene en descendant d'une octave, puisque $\frac{1}{2}\times\frac{9}{4}=\frac{9}{8}\in [1,2]$ : 
\\
\\


\begin{tikzpicture}[xscale=8,yscale=2]
    % Draw the horizontal axis
    \draw[->] (0.75,0) -- (2.5,0) node[below right] {fr\'equences};
    
    % Highlight the interval [1, 2] in green
    \draw[very thick, green] (1,0) -- (2,0);

    % Draw tick marks and labels manually
    \draw (1, 0.1) -- (1, -0.1) node[below, green] {$1$};
    \draw (1.5, 0.1) -- (1.5, -0.1) node[below] {$\frac{3}{2}$};
    \draw (2, 0.1) -- (2, -0.1) node[below, green] {$2$};
    \draw (2.25, 0.1) -- (2.25, -0.1) node[below] {$\frac{9}{4}$};
    \draw (1.125, 0.1) -- (1.125, -0.1) node[below] {$\frac{9}{8}$};

    % Draw a curved arrow from 9/4 to 9/8
    \draw[->, thick, bend right=45] (2.25, 0.2) to (1.125, 0.2);
    \draw (1.7, 0.5) -- (1.7, 0.5) node[above] {On ram\`ene $\frac{9}{4}$ dans l'intervalle $[1,2]$};
\end{tikzpicture}

\end{itemize}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{4}
\item
Compl\'eter, dans l'annexe 3, le tableau des quintes successives, ramen\'ees dans l'intervalle de r\'ef\'erence $[1,2]$, en descendant du bon nombre d'octaves.

\item On reprend le calcul des quintes effectu\'ees \`a la question pr\'ec\'edente. On observe que les valeurs trouv\'ees ne sont pas dans l'ordre croissant. 

Compl\'eter le tableau, dans l'annexe 4, afin d'ordonner les quintes successives dans l'ordre croissant.

\item Une gamme est un ensemble fini de fr\'equences dans l'intervalle de r\'ef\'erence $[1,2]$. %Id\'ealement, une gamme contient toutes les quintes successives (une fois ramen\'ees dans l'intervalle $[1,2]$). 
Il est standard de s'arr\^eter \`a 12 quintes (ramen\'ees dans l'intervalle $[1,2]$), et de consid\'erer que la 12-\`eme quinte correspond \`a 7 octaves ce qui se traduit math\'ematiquement par l'\'egalit\'e : $$\left(\dfrac{3}{2}\right)^{12}=2^{7}.$$
En s'aidant de la calculette, commenter cette \'egalit\'e. 

\item
De mani\`ere plus g\'en\'erale, supposons que $n$ quintes donnent la m\^eme fr\'equence que $p$ octaves, pour deux entiers $n\in \mathbb{N}$ et $p\in \mathbb{N}$. Montrer qu'on aurait alors 
$$3^{n}=2^{n+p}.$$
Conclure \`a une absurdit\'e. 

\end{enumerate}

\section*{Partie 3 : Couper un intervalle en deux}

On souhaite couper un intervalle de r\'ef\'erence en parties \'equilibr\'ees, mais au sens de la multiplication.

\begin{definition}
Etant donn\'es deux r\'eels positifs $a$ et $b$, on d\'efinit leur {\it moyenne g\'eom\'etrique} $c$ comme le r\'eel positif v\'erifiant $$\frac{c}{a}=\frac{b}{c}.$$
\end{definition}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{8}
\item 
Montrer que $c$ v\'erifie $c=\sqrt{ab}.$
\item Etant donn\'ee une fr\'equence $f_{0}>0$, exprimer la moyenne g\'eom\'etrique de l'intervalle $[f_{0},2f_{0}]$ en fonction de $f_{0}$. 
\item 
\begin{enumerate}
\item
Justifier que le milieu de l'intervalle $[f_{0},2f_{0}]$ est égal à la premi\`ere quinte au-dessus de $f_{0}$. 
\item
Comparer cette valeur avec la moyenne g\'eom\'etrique de l'intervalle $[f_{0},2f_{0}]$ trouv\'ee ci-dessus.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Annexe}
\subsection*{Annexe 1}
\quad 
\\
\\
{\renewcommand{\arraystretch}
{1.5}
\begin{center}
   \begin{tabular}{| c | p{0.7cm} | p{0.7cm} | p{0.7cm} | p{0.7cm} | p{0.7cm} | p{0.7cm} |}
     \hline
     Numéro de l'octave au-dessus ou au-dessous de $f_0$ &  1 & 2 & 3 & 4  \\ \hline \hline
    Fréquence de l'octave au-dessus correspondante   & 880 &  &  &    \\ \hline
    Fréquence de l'octave au-dessous correspondante   & 220 &  &   & 
    \\  
         \hline
       \end{tabular}
 \end{center}
}
\quad 
\\
\\
\subsection*{Annexe 2}
\quad 
\\
\\
\begin{tikzpicture}[scale=1.75]
    % Draw the horizontal axis
    \draw[->] (0.25,0) -- (9,0) node[below right] {fr\'equences};
    
    % Highlight the interval [1, 2] in green
  %  \draw[very thick, green] (1,0) -- (2,0);

    % Draw tick marks and labels manually
    \draw (2, 0.1) -- (2, -0.1) node[below] {$220$};
    \draw (4, 0.1) -- (4, -0.1) node[below] {$440$};
%    \draw (2, 0.1) -- (2, -0.1) node[below, green] {$2$};
%    \draw (2.25, 0.1) -- (2.25, -0.1) node[below] {$\frac{9}{4}$};
%    \draw (1.125, 0.1) -- (1.125, -0.1) node[below] {$\frac{9}{8}$};

    % Draw a curved arrow from 9/4 to 9/8

\end{tikzpicture}

\subsection*{Annexe 3}
\quad 
\\
\\
{\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{center}
   \begin{tabular}{| c | p{0.5cm} | p{0.5cm} | p{0.5cm} | p{0.5cm} | p{0.5cm} | p{0.5cm} |}
     \hline
     Num\'ero $n$ de la quinte & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6  \\ \hline \hline
    Fr\'equence de la $n$-i\`eme quinte & $\frac{3}{2}$ & $\frac{9}{4}$ & $\frac{27}{8}$ &  &  &  \\ \hline
    Fr\'equence ramen\'ee dans l'intervalle $[1,2]$ & $\frac{3}{2}$ & $\frac{9}{8}$ & $\frac{27}{16}$ &  &  &    \\
         \hline
        Valeur approch\'ee \`a $10^{-2}$ & 1,5 & 1,13 & 1,69 &  &  &    \\
     \hline
   \end{tabular}
 \end{center}
}
\quad 
\\
\\
\subsection*{Annexe 4}
\quad 
\\
\\
{\renewcommand{\arraystretch}
{1.5}
\begin{center}
   \begin{tabular}{| c | p{0.5cm} | p{0.5cm} | p{0.5cm} | p{0.5cm} | p{0.5cm} | p{0.5cm} | }
     \hline
     Num\'ero $n$ de la quinte ordonn\'ee & 2 & 4 &  &  &  &  \\ \hline \hline
    %fr\'equence de la $n$-i\`eme quinte & $\frac{3}{2}$ & $\frac{9}{4}$ & $\frac{27}{8}$ &  &  &  \\ \hline
   % fr\'equence ramen\'ee dans l'intervalle $[1,2]$ & $\frac{9}{8}$ &  &  &  &  &    \\
      %   \hline
        Valeur approch\'ee \`a $10^{-2}$ & 1,13 &  &  &  &  &   \\
     \hline
   \end{tabular}
 \end{center}}
\end{exercice}



%%%%%Correction%%%%%%
\begin{Solution}

\section*{Partie 1 : Construction des octaves}
\begin{enumerate}
\item Voici le tableau rempli : 

{\renewcommand{\arraystretch}
{1.5}
\begin{center}
   \begin{tabular}{| c |  p{0.7cm} | p{0.7cm} | p{0.7cm} | p{0.7cm} | p{0.7cm} | p{0.7cm} |}
     \hline
     Numéro de l'octave au-dessus ou au-dessous de $f_0$ &  1 & 2 & 3 & 4  \\ \hline \hline
    Fr\'equence de l'octave au-dessus correspondante  & 880 & 1740 & 3480 & 6960   \\ \hline
    Fr\'equence de l'octave au-dessous correspondante  & 220 & 110 &  55 & $27,5$ 
    \\  
         \hline
       \end{tabular}
 \end{center}
}

\item Voici l'axe gradué complété, en respectant l'échelle proposée : 

\begin{tikzpicture}[scale=1.75]
    % Draw the horizontal axis
    \draw[->] (0.25,0) -- (9,0) node[below right] {fr\'equences};
    
    % Highlight the interval [1, 2] in green
  %  \draw[very thick, green] (1,0) -- (2,0);

    % Draw tick marks and labels manually
    \draw (2, 0.1) -- (2, -0.1) node[below] {$220$};
    \draw (4, 0.1) -- (4, -0.1) node[below] {$440$};
        \draw (8, 0.1) -- (8, -0.1) node[below] {$880$};
            \draw (1, 0.1) -- (1, -0.1) node[below] {$110$};
%    \draw (2, 0.1) -- (2, -0.1) node[below, green] {$2$};
%    \draw (2.25, 0.1) -- (2.25, -0.1) node[below] {$\frac{9}{4}$};
%    \draw (1.125, 0.1) -- (1.125, -0.1) node[below] {$\frac{9}{8}$};

    % Draw a curved arrow from 9/4 to 9/8

\end{tikzpicture}

\item On reconnait une suite g\'eom\'etrique de raison 2 et de premier terme $f_{0}$, d'o\`u la formule. 

On a $f_{1}^{-}=\frac{1}{2}f_{0}$, et donc on a de m\^eme : $f_{n}^{-}=\frac{f_{0}}{2^{n}}$. On peut noter que cette fois-ci c'est une suite g\'eom\'etrique de raison $\frac{1}{2}$. 
\item On a $f_{n+1}^{+}-f_{n}^{+}=2^{n+1}f_{0}-2^{n}f_{0}=(2^{n}\times 2-2^{n})f_{0}=2^{n}f_{0}$. 
Cet \'ecart d\'epend de $n$, on peut de plus noter qu'il devient grand lorsque $n$ est grand. 
\end{enumerate}

\section*{Partie 2 : Construction des quintes}

\begin{enumerate}
\item On a $f_{0}=\frac{2}{3}q_{1}$.
\item Voici le tableau rempli : 

{\renewcommand{\arraystretch}
{2}
\begin{center}
   \begin{tabular}{| c | p{0.5cm} | p{0.5cm} | p{0.5cm} | p{0.5cm} | p{0.5cm} | p{0.5cm} | p{0.5cm} |}
     \hline
     Num\'ero $n$ de la quinte & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6  \\ \hline \hline
    Fr\'equence de la $n$-i\`eme quinte & $\frac{3}{2}$ & $\frac{9}{4}$ & $\frac{27}{8}$ & $\frac{81}{16}$  & $\frac{243}{32}$ & $\frac{729}{64}$  \\ \hline
    Fr\'equence ramen\'ee dans l'intervalle $[1,2]$ & $\frac{3}{2}$ & $\frac{9}{8}$ & $\frac{27}{16}$ & $\frac{81}{64}$  & $\frac{243}{128}$ & $\frac{729}{512}$ \\
         \hline
        Valeur approch\'ee \`a $10^{-2}$ & 1,5 & 1,13 & 1,69 & 1,27 & 1,90 & 1,42  \\
     \hline
   \end{tabular}
 \end{center}
}
\item Voici le tableau rempli : 

{\renewcommand{\arraystretch}
{1.5}
\begin{center}
   \begin{tabular}{| c | p{0.5cm} | p{0.5cm} | p{0.5cm} | p{0.5cm} | p{0.5cm} | p{0.5cm} | p{0.5cm} |}
     \hline
     Num\'ero $n$ de la quinte ordonn\'ee & 2 & 4 & 6 & 1 & 3 & 5  \\ \hline \hline
    %fr\'equence de la $n$-i\`eme quinte & $\frac{3}{2}$ & $\frac{9}{4}$ & $\frac{27}{8}$ &  &  &  \\ \hline
   % fr\'equence ramen\'ee dans l'intervalle $[1,2]$ & $\frac{9}{8}$ &  &  &  &  &    \\
      %   \hline
        Valeur approch\'ee \`a $10^{-2}$ & 1,13 & 1,27 & 1,42 & 1,5 & 1,69 & 1,90   \\
     \hline
   \end{tabular}
 \end{center}
}

\item
A l'aide de la calculette : 
$$(\frac{3}{2})^{12} \approx 129,75 \ \ \mbox{et} \ \ 2^{7}=128.$$
L'\'egalit\'e n'est donc pas vraie, m\^eme si les deux valeurs sont proches.

\item On aurait 
$$(\frac{3}{2})^{n}=2^{p} \iff \frac{3^{n}}{2^{n}}=2^{p} \iff 3^{n}=2^{n}\times 2^{p} \iff 3^{n}=2^{n+p}$$
Or $3^{n}$ est divisible par 3, mais $2^{n+p}$ n'est divisible que par 2 et ses puissances, c'est absurde. 

\end{enumerate}

\section*{Partie 3 : Couper un intervalle en deux}

\begin{enumerate}
\item On a : $\frac{c}{a}=\frac{b}{c} \iff c^2=ab$, et donc puisque $c\geq0$ ou trouve $c=\sqrt{ab}$. 
\item La formule ci-dessus donne pour le milieu g\'eom\'etrique : 
 $$c=\sqrt{f_{0}\times 2f_{0}}=\sqrt{2}\times \sqrt{f_{0}^2}=\sqrt{2}f_{0}.$$
 \item Le milieu de l'intervalle $[f_{0},2f_{0}]$ vaut $\frac{f_{0}+2f_{0}}{2}=\frac{3f_{0}}{2}$ : il s'agit bien de la quinte au-dessus de $f_{0}$. On a trouv\'e que la moyenne g\'eom\'etrique vaut $\sqrt{2}f_{0}$. Avec la calculette, on trouve que $\sqrt{2}<\frac{3}{2}$, donc la moyenne g\'eom\'etrique est plus petite que le milieu. 
\end{enumerate}

\end{Solution}