\begin{exercice}[Titre={Segments pixellisés},TitreSolution={Segments pixellisés}]


L'objectif de cet exercice est de représenter un segment sur un écran d'ordinateur ou de smartphone à l'aide de pixels.\\
Les pixels sont des carrés formant un quadrillage régulier que l'on peut munir d'un repère orthonormé.\\

Voici trois manières de représenter un segment reliant l'origine du repère à un point $A$ de coordonnées $(x,y)$ avec $x$ et $y$ deux entiers positifs non nuls.
\vspace{-3mm}
\begin{center}
	\begin{minipage}[t]{0.32\textwidth}
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=.37]{dessin/dessin intro 1.png}\\
			{Exemple 1 }
		\end{center}
	\end{minipage} 
	\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=.37]{dessin/dessin intro 2.png}\\
			{Exemple 2}
		\end{center}
	\end{minipage} 
	\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=.35]{dessin/dessin intro 3.png}\\
		{Exemple 3}
		\end{center}
	\end{minipage} 
\end{center}
Les exemples 1 et 2 semblent les plus pertinents à étudier.




\bigskip 
\textbf{ \large Partie 1 - Les motifs}




Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls.\\
Dans le quadrillage régulier, on considère un rectangle  possédant  $\boldsymbol a$ carrés de large et $\boldsymbol b$ carrés de haut.\\


\begin{definition}
	\textbf{Définition d'un motif }\\
	Un motif est un ensemble de pixels que l'on lit de gauche à droite vérifiant les conditions suivantes :
	\begin{itemize}[label=\textbullet]
		\item Son premier pixel est appelé \textbf{pixel de départ} et est situé en bas à gauche du rectangle.
		\item À partir d'un pixel, le pixel suivant est un pixel situé à droite ou au-dessus, les deux pixels ayant un côté en commun.
		\item Son dernier pixel est appelé le \textbf{pixel de fin} et  est le pixel situé en haut à droite du rectangle.\\
	\end{itemize}
	On appelle \textbf{taille du motif} le couple $(a,b)$.
	\begin{center}\hspace{1cm}
		\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=.5]{dessin/dessin motif 1.png}\\
				{Motif de taille $(2,2)$}
			\end{center}
		\end{minipage} 
		\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=.44]{dessin/dessin motif 3.png}\\
				{Motif de taille $(5,3)$}
			\end{center}
		\end{minipage} 
		\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=.44]{dessin/dessin motif 2.png}\\
				{Cet exemple n'est pas un motif }
			\end{center}
		\end{minipage} 
	\end{center}
	
\end{definition}

\begin{enumerate}
	\item Sur l'\textbf{annexe 1}, hachurer
	\begin{enumerate}
		\item les 2 motifs de taille $(2,2)$,
		\item les 3 motifs de taille $(3,2)$,
		\item les 10 motifs de taille $(4,3)$.
	\end{enumerate}
%	%\geqslanttcounter{question}{\value{enumi}}
	
\end{enumerate}      
	\begin{definition}
		\textbf{Définition des combinaisons}\\
		Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels tels que $n\geqslant 1$ et $p\leqslant n$.\\
		On considère $n$ cases vides comme sur le schéma ci-dessous dans lesquelles on place $p$ jetons identiques avec au plus un jeton par case.
		\begin{center}
			\begin{tabular}{llllllll}
				\hline
				\multicolumn{1}{|l|}{ $\circ$} & \multicolumn{1}{l|}{$\circ$} & \multicolumn{1}{l|}{~~ } & \multicolumn{1}{l|}{~~ } & \multicolumn{1}{l|}{$\circ$ } & \multicolumn{1}{l|}{~~ } & \multicolumn{1}{l|}{~~} & \multicolumn{1}{l|}{$\circ$} \\ \hline
				\multicolumn{1}{l}{ <} & \multicolumn{6}{l}{}  .....................  ~~ $n$~~  .....................    & \multicolumn{1}{l}{>}                                                                                                                                                                   
			\end{tabular}\\

		\end{center}
		Le nombre de possibilités de placer les $p$ jetons dans les $n$ cases est appelé \textbf{combinaison de $\boldsymbol{p}$ parmi $\boldsymbol n$} et est noté $C(n,p)$.\\
		 La formule suivante permet de calculer ces nombres pour $p\geqslant 1$ : 
		$$ C(n,p)= \dfrac{n\times(n-1)\times(n-2)\times...(n-p+1)}{p\times(p-1)\times(p-2)\times...\times 1 }  $$
		De plus, on pose $C(n,0)=1$.\\
		On remarquera qu'il y a le même nombre de facteurs au numérateur et au dénominateur.\\
		Par exemple $C(3,2)=\dfrac{3 \times 2}{2 \times1 } = 3$  et  $C(5,3)=\dfrac{5 \times 4 \times 3 }{3 \times 2 \times1 } = 10$.
	\end{definition}

\begin{enumerate}
		%\geqslanttcounter{enumi}{\value{question}}
	\item On considère un motif de taille $(a,b)$.\\
	On veut se déplacer du centre du pixel de départ au centre du pixel de fin en n'utilisant que deux déplacements: soit on se déplace de 1 vers la droite, soit on se déplace de 1 vers le haut.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'il faut utiliser $a+b-2$ déplacements pour joindre le centre du pixel de départ au centre du pixel de fin.

		\item En déduire qu'il y a $C(a+b-2\, ,\, a-1)$ motifs différents.

	\end{enumerate}
	
	
	\item Calculer le nombre de motifs de taille $(8,12)$.

			%\geqslanttcounter{question}{\value{enumi}}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf {\large Partie 2 - Les segments pixellisés}

On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé. Soient $x$ et $y$ deux entiers naturels non nuls.\\
On appelle  $O$ l'origine du repère et on note $A$ le point de coordonnées $(x,y)$.



\begin{definition}
	\textbf{Définition d'un segment pixellisé }\\
	Un segment pixellisé reliant $O$ à  $A$ est un ensemble de pixels formé par la répétition de gauche à droite d'un \textbf{même} motif tel que :
	\begin{itemize}[label=\textbullet]
		\item Le premier motif a pour pixel de départ le pixel dont le sommet inférieur gauche est le point $O$.
		\item Pour deux motifs successifs, le pixel de départ du motif de droite est situé à droite en haut du pixel de fin du motif de gauche. Ainsi ces deux pixels n'ont qu'un sommet en commun.
		\item Le dernier motif a pour pixel de fin le pixel dont le sommet supérieur droit est le point $A$.
	\end{itemize}
	On note $R$ le \textbf{nombre de répétitions} du motif.
	\begin{center}\hspace{1cm}
		\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=.44]{dessin/dessin222.png}\\
				{Exemple de segment pixellisé avec un motif de taille $(2,2)$ et $R=2$}
			\end{center}
		\end{minipage} 
		\begin{minipage}[t]{0.40\textwidth}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=.44]{dessin/dessin segment 1.png}\\
				{Contre-exemple où le motif de taille $(3,2)$  n'est pas répété correctement }
			\end{center}
		\end{minipage} 
	\end{center}
	
\end{definition}


\begin{rappel}
	\textbf{Rappel sur les diviseurs communs }\\
	Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels non nuls.\\
	On appelle diviseur commun tout entier naturel qui est à la fois un diviseur de $m$ et de $n$.
\end{rappel}

\begin{enumerate}
		%\geqslanttcounter{enumi}{\value{question}}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $R$ est un diviseur commun de $x$ et de $y$.

		\item Quelle est alors la taille du motif ? \\

	\end{enumerate} 
	
	\item On pose $(x,y)=(4,8)$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner les trois possibilités de taille de motif.

		\item Sur l'\textbf{annexe 2.1}, tracer un segment discret pour chacune de ces  possibilités. \\

	\end{enumerate} 
	
	\item On pose $(x,y)=(12,24)$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner les possibilités de taille de motif.

		\item Sur l'\textbf{annexe 2.2}, tracer un segment discret pour chacune de ces  possibilités. \\

	\end{enumerate} 
		%\geqslanttcounter{question}{\value{enumi}}
\end{enumerate}



\textbf{ \large Partie 3 - Les segments pixellisés réguliers}  

On rappelle que pour un segment pixellisé, $R$ désigne le nombre de répétitions de son motif de taille $(a,b)$. \\
On cherche dans cette partie à rendre le tracé du segment le plus "droit" possible.\\

\begin{rappel}
	\textbf{Rappel sur le pgcd }\\
	Soit $m$ et $n$ deux entiers naturels non nuls.\\
	Parmi tous les diviseurs communs de $m$ et $n$, il en existe un plus grand appelé le plus grand commun diviseur de $m$ et de $n$. Celui-ci est noté $pgcd(m,n)$.\\
	$pgcd(m,n)$ peut être égal à 1.
\end{rappel}

\medskip 
\begin{definition}
	\textbf{Définition d'un segment pixellisé régulier }\\
    On considère qu'un segment pixellisé est régulier  si les deux conditions suivantes sont vérifiées : 
    \begin{center}  $R$ est maximal et $b$ est minimal.\\ \end{center}
\end{definition}


Soient $x$ et $y$ deux entiers naturels non nuls.\\
On considère dans cette partie uniquement des segments pixellisés réguliers.

\begin{enumerate}
		%\geqslanttcounter{enumi}{\value{question}}
		
		\item Quelle est le motif d'un segment si $x=y$ ?\\
		
		
        \item Justifier que $R=pgcd(x,y)$. \\


\item On pose $(x,y)=(8,12)$.
\begin{enumerate}
	\item Déterminer $R$ et la taille du motif. 

	\item Sur l'\textbf{annexe }3, tracer deux exemples de segments  \\

\end{enumerate} 

\item  Déterminer l'ensemble des couples $(x,y)$ tel que  $R=4$ et $a=5$.


	%\geqslanttcounter{question}{\value{enumi}}

\end{enumerate}

\newpage
\subsection*{Annexe 1}

\begin{center}
	\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-1.png}  
		\end{center}
	\end{minipage} 
	\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-1.png}  
		\end{center} 
	\end{minipage} 
\end{center}

\bigskip
\begin{center}
	\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-2.png}  
		\end{center}
	\end{minipage} 
	\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-2.png}  		
		\end{center} 
	\end{minipage} 
	\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-2.png}  
		\end{center} 
	\end{minipage} 
\end{center}



\bigskip



\begin{center}
	\begin{minipage}[t]{0.20\textwidth}
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-3.png}  
		\end{center}
	\end{minipage} 
	\begin{minipage}[t]{0.20\textwidth}
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-3.png}
			
		\end{center} 
	\end{minipage} 
	\begin{minipage}[t]{0.20\textwidth}
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-3.png}  
		\end{center} 
	\end{minipage} 
	\begin{minipage}[t]{0.20\textwidth}
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-3.png}  
		\end{center} 
	\end{minipage} 
\end{center}

\begin{center}
	\begin{minipage}[t]{0.20\textwidth}
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-3.png}  
		\end{center}
	\end{minipage} 
	\begin{minipage}[t]{0.20\textwidth}
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-3.png}
			
		\end{center} 
	\end{minipage} 
	\begin{minipage}[t]{0.20\textwidth}
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-3.png}  
		\end{center} 
	\end{minipage} 
	\begin{minipage}[t]{0.20\textwidth}
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-3.png}  
		\end{center} 
	\end{minipage} 
	
\end{center}





\begin{center}
	\begin{minipage}[t]{0.40\textwidth}
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-3.png}  
		\end{center}
	\end{minipage} 
	\begin{minipage}[t]{0.40\textwidth}
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-3.png}
			
		\end{center} 
	\end{minipage} 
	
\end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\subsection*{Annexe 2.1}

\begin{center}
	\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin annexe 3A2.png}  \\
			
		\end{center}
	\end{minipage} 
	\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin annexe 3A2.png}  \\
			
	\end{center} 
\end{minipage} 
\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin annexe 3A2.png}  
\end{center} 
\end{minipage} 
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection*{Annexe 2.2}

\begin{center}
\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
\begin{center}
	\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin annexe 3A3.png}  \\
	
\end{center}
\end{minipage} 
\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
\begin{center}
	\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin annexe 3A3.png}  \\
	
	\end{center} 
\end{minipage} 
\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin annexe 3A3.png}  \\
\end{center} 
\end{minipage} 
\end{center}


\begin{center}
\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin annexe 3A3.png}  \\

\end{center}
\end{minipage} 
\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin annexe 3A3.png}  \\

\end{center} 
\end{minipage} 
\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin annexe 3A3.png}  \\
\end{center} 
\end{minipage} 
\end{center}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection*{Annexe 3}

\begin{center}
\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.33]{dessin/dessin annexe 3.png}  \\
{Exemple 1 }
\end{center}
\end{minipage} 
\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.33]{dessin/dessin annexe 3.png}  \\
{Exemple 2}
\end{center} 
\end{minipage} 
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\end{exercice}
%\end{comment}






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Correction%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Correction%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Correction%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Correction%%%%%%



\begin{Solution}
\newpage
\begin{center}
\textbf{Correction : Segments pixellisés}
\end{center}	


	\subsection*{Partie 1 - Les motifs}
	\vspace{-2mm}
	

	

	
	\begin{enumerate}
		\item 
	\begin{enumerate}
		\item cf annexe
		\item cf annexe
		\item cf annexe
	\end{enumerate}
		%\geqslanttcounter{question}{\value{enumi}}
		
	\end{enumerate}      


	
	\begin{enumerate}
		%\geqslanttcounter{enumi}{\value{question}}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item  Sur la largeur, le centre du pixel de départ et celui d'arrivée sont espacés de $a-1$ pixels.\\
			Sur la hauteur, le centre du pixel de départ et celui d'arrivée sont espacés de $b-1$ pixels.\\
			Comme on ne peut se déplacer en diagonal, il y a  $a-1 + b- 1 = a+b-2$ déplacements à réaliser.
			
			
			\item Si l'on assimile les $n= a+b-2$ déplacements comme des cases  comme dans la définition, il faut choisir $a-1$ (ou $b-1$...) cases pour décider des déplacements vers la droite. D'où le résultat.
			
		\end{enumerate}
		
		
		\item Le nombre de motifs est $ C(12+8-2,8-1)=C(18,7) =  \dfrac{18\times 17 \times 16  \times...12}{7\times 6\times 5 \times...\times 1 } = 31 824 $
		
		%\geqslanttcounter{question}{\value{enumi}}
	\end{enumerate}
	
	

	\subsection*{Partie 2 - Les segments pixellisés}
	
	
	
	
	
	
	
	\begin{enumerate}
				%\geqslanttcounter{enumi}{\value{question}}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item  Si l'on a $R$ motifs, il faut $a \times R$ pixels de large pour remplir le segment donc $a R =x$ et $R$ divise $x$.\\
			De même, sur la hauteur, on a $b R=y$ donc $R$ divise $y$.\\
			Donc $R$  est un diviseur commun de $x$ et de $y$.
			
			\item On a alors $a=\dfrac{x}{R}$ et $b=\dfrac{y}{R}$.
			
		\end{enumerate} 
		
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item les diviseurs communs de 4 et 8 sont : 1,2,4.\\
			Pour $R=1$, on a un motif de taille $a=4$ et $b=8$.\\
			Pour $R=2$, on a un motif de taille $a=2$ et $b=4$.\\
			Pour $R=4$, on a un motif de taille $a=1$ et $b=2$.
			
			\item cf annexe\\
			
		\end{enumerate} 
		
		\item  
		\begin{enumerate}
			\item les diviseurs communs de 12 et 24 sont : 1,2,3,,4,6,12.\\
			Pour $R=1$, on a un motif de taille $a=12$ et $b=24$.\\
			Pour $R=2$, on a un motif de taille $a=6$ et $b=12$.\\
			Pour $R=3$, on a un motif de taille $a=4$ et $b=8$.\\
			Pour $R=4$, on a un motif de taille $a=3$ et $b=6$.\\
			Pour $R=6$, on a un motif de taille $a=2$ et $b=4$.\\
			Pour $R=12$, on a un motif de taille $a=1$ et $b=2$.
			
			\item cf annexe
			
		\end{enumerate} 
		%\geqslanttcounter{question}{\value{enumi}}
	\end{enumerate}
	
	
	
	\subsection*{Partie 3 - Les segments pixellisés réguliers}  

\begin{enumerate}
			%\geqslanttcounter{enumi}{\value{question}}
	\item Pour $x=y$, on prend un motif de taille $(1,1)$ et $R=x$.\\
	 Les deux conditions sont bien vérifiées car $b=1$ et $R$ divise $x$ et $y$ d'après la partie précédente.\\
	
	\item $R$ doit être un diviseur commun de $x$ et de $y$. Le plus grand est donc $pgcd(x,y)$.\\
	De plus dans ce cas, $b= \dfrac{y}{R}$ est le plus petit entier possible.\\
	
	\item
	\begin{enumerate}
		\item $R= pgcd(8,12)= 4$ et le motif a pour taille $a=\dfrac{8}{4}=2$ , $b=\dfrac{12}{4}=3$.
		
		\item cf annexe \\
		
	\end{enumerate} 
	
	\item On a nécessairement $x= a R = 20$ et $4 b =y$.\\
	Donc les couples possibles sont $(20,y)$ avec $y$ un multiple non nul de 4.
	
	
	
	%\geqslanttcounter{question}{\value{enumi}}
\end{enumerate}


	
	

\subsection*{Annexe 1}

\begin{comment}
	\begin{center}
		\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-1.png}  
			\end{center}
		\end{minipage} 
		\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-1.png}  
			\end{center} \\
		\end{minipage} 
	\end{center}
\end{comment}

\begin{center}
		\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-1 correction1.png}  
			\end{center}
		\end{minipage} 
		\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-1 correction2.png}  
			\end{center} 
		\end{minipage} 
\end{center}



\bigskip
\begin{comment}
	\begin{center}
		\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-2.png}  
			\end{center}
		\end{minipage} 
		\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-2.png}  		
			\end{center} \\
		\end{minipage} 
		\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-2.png}  
			\end{center} \\
		\end{minipage} 
	\end{center}
\end{comment}
\begin{center}
		\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-2 correction1.png}  
			\end{center}
		\end{minipage} 
		\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-2 correction2.png}  		
			\end{center} 
		\end{minipage} 
		\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-2 correction3.png}  
			\end{center} 
		\end{minipage} 
\end{center}


\bigskip



	\begin{center}
		\begin{minipage}[t]{0.20\textwidth}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-3 correction1.png}  
			\end{center}
		\end{minipage} 
		\begin{minipage}[t]{0.20\textwidth}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-3 correction2.png}
				
			\end{center} 
		\end{minipage} 
		\begin{minipage}[t]{0.20\textwidth}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-3 correction3.png}  
			\end{center} 
		\end{minipage} 
		\begin{minipage}[t]{0.20\textwidth}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-3 correction4.png}  
			\end{center} 
		\end{minipage} 
	\end{center}
	
	\begin{center}
		\begin{minipage}[t]{0.20\textwidth}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-3 correction5.png}  
			\end{center}
		\end{minipage} 
		\begin{minipage}[t]{0.20\textwidth}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-3 correction6.png}
				
			\end{center} 
		\end{minipage} 
		\begin{minipage}[t]{0.20\textwidth}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-3 correction7.png}  
			\end{center} 
		\end{minipage} 
		\begin{minipage}[t]{0.20\textwidth}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-3 correction8.png}  
			\end{center} 
		\end{minipage} 
		
	\end{center}
	
	
	\begin{center}
		\begin{minipage}[t]{0.40\textwidth}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-3 correction9.png}  
			\end{center}
		\end{minipage} 
		\begin{minipage}[t]{0.40\textwidth}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin motif 1.1-3 correction10.png}
				
			\end{center} 
		\end{minipage} 
		
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\subsection*{Annexe 2.1}


\begin{comment}
	\begin{center}
		\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin annexe 3A2.png}  \\
				
			\end{center}
		\end{minipage} 
		\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin annexe 3A2.png}  \\
				
		\end{center} }\\
	\end{minipage} 
	\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin annexe 3A2.png}  \\
	\end{center} }\\
\end{minipage} 
\end{center}
\end{comment}

\begin{center}
\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
\begin{center}
	\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin annexe 3A2 correction1.png}  \\
	
\end{center}
\end{minipage} 
\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
\begin{center}
	\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin annexe 3A2 correction2.png}  \\
	
	\end{center} 
\end{minipage} 
\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin annexe 3A2 correction4.png}  \\
\end{center} 
\end{minipage} 
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection*{Annexe 2.2}








%\correction{ 
\begin{center}
\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin annexe 3A3 correction1.png}  \\

\end{center}
\end{minipage} 
\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin annexe 3A3 correction2.png}  \\

\end{center} 
\end{minipage} 
\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin annexe 3A3 correction3.png}  \\
\end{center} 
\end{minipage} 
\end{center}


\begin{center}
\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin annexe 3A3 correction4.png}  \\

\end{center}
\end{minipage} 
\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin annexe 3A3 correction6.png}  \\

\end{center} 
\end{minipage} 
\begin{minipage}[t]{0.30\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.40]{dessin/dessin annexe 3A3 correction12.png}  \\
\end{center} 
\end{minipage} 
\end{center}






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection*{Annexe 3}

\begin{comment}
\begin{center}
\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.30]{dessin/dessin annexe 3.png}  \\
{Exemple 1 }
\end{center}
\end{minipage} 
\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.30]{dessin/dessin annexe 3.png}  \\
{Exemple 2}
\end{center} }\\
\end{minipage} 
\end{center}
\end{comment}


\begin{center}
\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.30]{dessin/dessin annexe 3 correction1.png}  \\
{Exemple 1 }
\end{center}
\end{minipage} 
\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.30]{dessin/dessin annexe 3 correction2.png}  \\
{Exemple 2}
\end{center} 
\end{minipage} 
\end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




\end{Solution}