APMEP

Examens des bourses des Lycées et Collèges de jeunes filles, 1922

Michel Fréchet — 2007-07-23T12:56:49Z

1re Série (pour entrer en 1e année) : La récolte d'un champ de blé est achetée 430 francs avant d'être coupée. La moisson fournit 221 gerbes et nécessite 3 heures de travail d'une moissonneuse à 4 fr. 90 l'heure. Le transport et le battage coutent ensemble 41 fr. 50. Sachant que 5 gerbes produisent 25 litres de grain, calculer le prix de revient d'un hectolitre de blé. Un éleveur vend 3 bœufs et 20 moutons, et fait sur cette vente un bénéfice total de 1250 francs. Sur un bœuf, il gagne 10 (…)

- 1922

Examens des bourses des lycées et collèges de garçons, 1922

Michel Fréchet — 2007-07-23T12:48:01Z

1re Série A et B (pour entrer en sixième) : Un marchand achète 7 barils d'huile d'olive de chacun 120 littres au prix de 950 francs les 100 kilogrammes. Il met cette huile dans des bidons contenant chacun 1 décalitre. Mais il a, sur les 7 barils, un déchet de 20 litres. Il revend l'huile à raison de 105 francs le bidon. Quel sera son bénéfice si un litre d'olive pèse 0 kg 915 ? Un hôteleir achète 8 barriques de vin pour une certaine somme. Si chaque barrique avait coûté 150 francs de moins, (…)

- 1922

Baccalauréat, Aix-Marseille, 1922

Michel Fréchet — 2007-07-22T14:40:15Z

Étant donnée une demi-circonférence de diamètre $AB=2R$, on prend sur le prolongement du diamètre au delà du point $B$, un point $C$ tel que $BC=2R$.
Un point $M$ parcourt la demi-circonférence, soit $P$ sa projection sur $AB$ ; on pose $AP=x$. On fait tourner la figure autour de $AC$. Évaluer en fonction de $R$ et de $x$ les volumes $V_1$, $V_2$, $V_3$ engendrés respectivement par les triangles $AMP$, $CMP$, $BMP$. Vérifier que $V_2-V_1=2V_3$. Étudier la variation de la différence (…)

- 1922

Baccalauréat, Alger, 1922

Michel Fréchet — 2007-07-11T17:53:54Z

On donne deux demi-droites parallèles $Ax$ et $By$ perpendiculaires sur $AB$ (d'un même côté de $AB$) ; et sur $AB$ un point fixe $p$ entre $A$ et $B$. ($PA=a$, $BP=b$). On prend sur $Ax$ et $By$ deux segments $AA'=x$ et $BB'=y$. \'Etudier la variation de l'angle $\theta=A'PB'$ quand les deux segments varient de telle manière que $xy=m^2$ ($m$ étant une longueur donnée). Indiquer la nature de l'angle $\theta$ et déterminer le maximum ou le minimum de cet angle. $AB$ étant fixé et $m$ donné, (…)

- 1922

Baccalauréat, Besançon, Série C, 1922

Michel Fréchet — 2007-07-11T17:52:40Z

Étant donné dans un plan un triangle $OAB$, dont un des deux angles à la base $AB$ est obtus (\textitl'angle $A$ d'après la figure), on déplace un mobile $P$ sur la droite $Oz$ perpendiculaire au plan de ce triangle et l'on considère l'angle $APB=V$ et sa tangente trigonométrique ; celle-ci étant regardée comme une fonction de la distance $OP=z$. Calculer la dérivée de cette fonction par rapport à cette variable. En déduire la condition pour que l'angle $APB$ décroisse immédiatement dès que (…)

- 1922

Baccalauréat, Besançon, Série D, 1922

Michel Fréchet — 2007-07-11T17:51:20Z

Étant donnés un plan $P$ et deux points $A$ et $B$ situés d'un même côté et hors de ce plan. Trouver le lieu géométrique des points où les sphères passant par $A$ et $B$ et tangentes au plan $P$ touchent ce plan. Déterminer celle de ces sphères dont le point de contact fourni le point du plan $P$ duquel on voit le segment $AB$ sous l'angle le plus grand possible.

- 1922

Baccalauréat, Bordeaux, 1922

Michel Fréchet — 2007-07-11T17:50:06Z

Soit $a$ un angle compris entre $\dfrac3\pi2$ et $2\pi$ et tel que $\texttg^2a=2$.
Calculer, sans se servir de tables de logarithmes, $\texttg\dfraca2$, $\sin\dfraca2$.

- 1922

Baccalauréat, Caen, Série C, 1922

Michel Fréchet — 2007-07-11T17:49:06Z

Dans une demi-circonférence donnée de rayon $R$, limitée par le diamètre $AB$, on mène une corde parallèle à ce diamètre ; soient $C$ et $D$ les extrémités de la corde, $O$ le point milieu de $AB$, $P$ le pied de la perpendiculaire menée de $O$ sur $CD$.
Désignant par $x$ l'angle $POD$, et posant $\sin x=t$, on exprimera en fonction de $R$ et de $t$ le volume engendré par la révolution de l'aire du trapèze convexe $ACDB$ autour de $AB$ ; puis, supposant variable l'angle $POD$, on étudiera (…)

- 1922

Baccalauréat, Caen, Série D, 1922

Michel Fréchet — 2007-07-11T17:47:58Z

On considère, dans le plan, un segment rectiligne de longueur $l$ ; par les deux extrémités, $A$, $B$, du segment, et par un point $M$, pris sur lui entre $A$ et $B$, on mène la droite $AB$, et d'un même côté de cette droite, trois perpendiculaires sur lesquelles on prend respectivement les longueurs
$$AC=AM,\ MD=AM,\ BE=2MB,$$
puis on joint $CD$ et $DE$.
Variation de la longueur de la ligne brisée $ACDEB$ lorsque le point $M$ prend toutes les positions possibles entre $A$ et $B$ ; (…)

- 1922

Baccalauréat, Clermont, 1922

Michel Fréchet — 2007-07-11T17:46:38Z

Un tétraèdre (pyramide à base triangulaire) $ABCD$ a deux arêtes opposées $AB$ et $CD$ horizontales et de même longueur $a$ ; leur plus courte distance est $h$ ; en outre, ce tétraèdre se projette sur un plan horizontal suivant un carré $ADBC$.
Calculer la surface $S$ totale et le volume $V$ de ce tétraèdre. \'Etudier les variations du rapport $\dfracVS$ quand $a$ restant fixe, $h$ varie.
(On pourra, d'une part, ramener les variations de $\dfracVS$ à celles de son carré, d'autre part, (…)

- 1922