APMEP

Problèmes de Géométrie

Michel Fréchet — 2007-07-22T15:55:10Z

Exercice n° 1
On donne deux points $A$ et $A'$ sur un cercle $(O)$, et on considère les cercles $(C)$ et $(C')$ tangents au cercle $(O)$ en $A$ et $A'$ et tangents entre eux au point $M$. Lieu de leur point de contact $M$. Distinguer les parties du lieu d'après la nature des contacts. Lieu des centres d'homothéties des cercles $(C)$ et $(C')$. Distinguer les parties du lieu d'après la nature de l'homothétie.
Exercice n° 2
Soit un triangle isocèle $ABC$ ($AB=BC$). Construire le foyer (…)

- 1921

Baccalauréat, Toulouse

Michel Fréchet — 2007-07-22T15:51:09Z

Une sphère de centre $O$ et de rayon $R$ est tangente en $A$ à un plan $(P)$. Dans ce plan, on trace de $A$, comme centre, un cercle de rayon $\rho$. On désigne par $(c)$ le cône ayant ce cercle pour base et le point $O$ pour sommet.
Un plan $(Q)$, perpendiculaire à $OA$ en un point $H$ situé entre $O$ et $A$, coupe la sphère et le cône suivant deux cerckles. Exprimer en fonction de $R$, $\rho$ et de $AH=x$, la somme $y$ des aires de ces deux cercles. Étudier la variation de $y$ quand $x$ (…)

- 1921

Baccalauréat, Strasbourg

Michel Fréchet — 2007-07-22T15:50:00Z

On considère une ligne brisée polygonale régulière $ABCD$ de 3 côtés, ayant chacun pour longueur $a$ : on appelle $\alpha$, l'angle extérieur au sommet de cette ligne polygonale.
Soit $O$ le centre de la circonférence qui lui est circonscrite : évaluer en fonction de $a$ et de $\alpha$ :
Le rayon $OA$ de cette circonférence ;
L'angle au centre total $AOD$ ;
La longueur $AD$ et l'angle de $AD$ avec $AB$.
En regardant $AD$ comme la somme géométrique des trois vecteurs $AB$, $BC$, (…)

- 1921

Baccalauréat, Rennes

Michel Fréchet — 2007-07-22T15:48:38Z

Sur un cercle de centre $C$ et de rayon $R$, on marque deux points diamétralement opposés $O$ et $A$. On mène par $O$ une sécante $OM$ faisant avec $OA$ un angle égal à $\varphi$, coupant le cercle en $M$ et la tangente en $A$ en $P$. \'Evaluer en fonction de $R$ et $\varphi$ les volumes engendrés en tournant autour du diamètre $OA$ par le triangle $OCM$, par le secteur circulaire $CAM$, par le triangle $OAP$. \'Evaluer en fonction de l'angle $\varphi$ le rapport de l'aire engendrée par le (…)

- 1921

Baccalauréat, Poitiers

Michel Fréchet — 2007-07-22T15:47:22Z

Représenter, par les méthodes de la géométrie cotée, un cube d'arête $a=5$ unités, sachant qu'une de ses diagonales $MN$ est parallèle au plan de projection et que le sommet le plus bas a pour cote zéro et se trouve dans le plan projetant $MN$.
Donner les cotes de tous les sommets.
N. B. — On nomme diagonale d'un cube toute droite joignant deux sommets n'appartenant pas à une même face.

- 1921

Baccalauréat, Série C, Paris

Michel Fréchet — 2007-07-22T15:46:05Z

Dans un triangle $ABC$ donné, $BC=2a$ et la médiane $AM=a$. On trace la hauteur $AD$ et l'on pose $\widehatAMB=2x$. Dire la valeur de l'angle $BAC$ ; ensuite calculer $AB$, $AC$, $AD$ en fonction de $a$ et de $x$. Déterminer $x$ de façon que $CD=3.BD$. On fait tourner la figure autour de la droite $BC$. Soient $S_1$ et $S_2$ les aires engendrées par les deux segments $AB$, $AC$ et $S$ l'aire d'une zone de hauteur égale à $AD$ de la sphère de diamètre $BC$. Déterminer $x$ de façon que (…)

- 1921

Baccalauréat, Paris, Série C.

Michel Fréchet — 2007-07-22T15:44:30Z

On donne un \textitangle droit $XOY$, et à l'intérieur de cet angle un point $A$, on désigne par à et $b$ ses distances $AQ$ et $AP$ à $OY$ et $OX$. — Ce point $A$ est le sommet d'un angle droit quelconque dont les côtés rencontrent $OX$ en $B$ et $OY$ en $C$. On pose $OB=x$, calculer $BC$ en fonction de $a$, $b$ et $x$. Pour quelle position de l'angle $BAC$ la longueur de $BC$ est-elle minimum ? Pour quelle valeur de $x$ l'aire du triangle $OBC$ est-elle maximum ?
Montrer que dans ce cas (…)

- 1921

Baccalauréat, Série C, Paris

Michel Fréchet — 2007-07-22T15:42:09Z

On donne deux circonférences de rayon $R$ et $2R$ tangentes intérieurement. On mène par $A$, point de contact des deux circonférences, une droite faisant avec la ligne des centres $OO'$ un angle aigu $\alpha$. Elle coupe les circonférences aux points $B$ et $C$ qui se projettent en $B'$ et $C'$ sur la ligne des centres. On fait tourner la figure autour de $OO'$. Calculer en fonction de $R$ et de $\alpha$ l'aire latérale, l'aire totale et le volume du tronc de cône engendré par le trapèze (…)

- 1921

Baccalauréat, Nancy

Michel Fréchet — 2007-07-22T15:40:19Z

On considère le cône engendré par la révolution d'un triangle équilatéral $SAB$ autour de sa hauteur $SO$, et l'on désigne par $R$ le rayon de la base de ce cône.
Par un point $C$ de $AB$ tel que $AC=x$ on mène un plan perpendiculaire au plan $SAB$ et parallèle à $SB$ ; il coupe le cercle de base suivant la corde $MN$ et l'arête de $SA$ en un point $P$ ; on considère le triangle $PMN$. Déterminer $x$ de façon que l'angle $MPN$ soit égal à $\dfrac2\pi3$. Déterminer $x$ de façon que la (…)

- 1921

Baccalauréat, Montpellier

Michel Fréchet — 2007-07-22T15:36:41Z

$xy$ étant la ligne de terre, on donne deux points $A$ et $B$ par leurs projections $(a,a')$, $(b,b')$. On placera les données comme il est indiqué dans le croquis ci-après. $a$ est sur la ligne de terre ; $\beta a=4.aa'$ ; $\beta b=\beta b'=3.aa'$ ; et on pourra prendre $aa'=2$ cm. Quel est le lieu géométrique des points de l'espace équidistants des deux points $A$ et $B$ ? Définir ce lieu sur l'épure. Déterminer les points du lieu qui appartiennent aux plans de projection. On donne en (…)

- 1921