par Dominique Flament

Hermann, 2013
456 pages en 16 × 23, prix : 60 €, ISBN : 978-2-7056-8811-0

De Möbius, on connaît le ruban, ou bande, à une seule face ; et quoi d’autre ? Dominique Flament vient à point nommé resituer cette découverte dans l’œuvre d’un mathématicien allemand du XIX^e siècle, exclusivement tourné vers la géométrie, qui apporta à la science bien plus que ce ruban qui « appartient à une théorie des polyèdres qui d’emblée ne semblait pas devoir pour nous en être le cadre naturel ».

La structure de l’ouvrage est la suivante :

• Préface, Préambule
  • I. Möbius : un témoin d’exception
  • II. Une œuvre respectable
  • III. Théorie des polyèdres et topologie combinatoire
• Partie I — Antécédents
  • Chapitre 1 : une lente gestation
  • Chapitre 2 : Johann Benedict Listing (1808 — 1882)
• Partie II — Traduction
  Corrélation élémentaire et volume d’un polyèdre selon Möbius — Préambule
  • Chapitre 3 : August Ferdinand Möbius
    Théorie de la corrélation élémentaire
  • Chapitre 4 : August Ferdinand Möbius
    Sur la détermination du volume d’un polyèdre
• Partie III — Annexes
  • Annexe I
    L’Allemagne de Möbius (1790 — 1868) ; éléments
  • Annexe II
    Aspects et morceaux choisis de l’œuvre de Möbius
  • Annexe III
    Géométrie synthétique, géométrie « pure » et géométrie analytique
• Partie IV — Bibliographie ; Index

La biographie de Möbius est banale, sans grand relief. Ce personnage réservé, calme, casanier, poursuit lentement et longuement une carrière d’enseignant. D. Flament divise son œuvre en quatre périodes, et centre son travail sur la quatrième : 1846 -1865, celle où il élabore une théorie des polyèdres qui l’amène à contribuer à l’émergence de la topologie ; il trouve une généralisation de la formule d’Euler (sur nombres de faces, sommets, arêtes) aux polyèdres non homéomorphes à la sphère. Les chapitres 3 et 4 (partie II) sont des traductions (par D. Flament lui-même) des textes originaux, qui permettent de vérifier les qualités de pédagogie, de clarté dans l’exposé, d’un auteur qui illustre tous ses propos d’exemples bien choisis (mais pas toujours d’assez de figures). Les autres chapitres étudient les relations entre Möbius et ses prédécesseurs, ses contemporains et ses successeurs ; un chapitre entier consacré à Listing donne un bon aperçu des apports de celui-ci. Möbius apparaît dans un rôle de classificateur, clarificateur, simplificateur, développeur de théories, mais aussi créateur de concepts nouveaux, initiateur, entre autres, de la notion de dualité. La « préhistoire » de la topologie est détaillée dans la partie I.

L’annexe II revient sur une période bien antérieure, mais non moins féconde de l’œuvre de Möbius : les années 1830, où il fut l’un des principaux artisans du calcul barycentrique, l’un des co-créateurs de la théorie des vecteurs (avec Poinsot, Chasles, …), avec applications à la statique.

Cet ouvrage est écrit simplement et lisible par tous ; il n’évite pas certains écueils qui peuvent, pour certains lecteurs, faire juger rébarbative la littérature érudite : notes envahissantes, parfois plus volumineuses que le texte principal ; longues citations en anglais ou en allemand, non traduites ; bibliographie inflationniste : 42 pages !

Mais il apporte néanmoins un regard affûté sur un mathématicien méconnu, sur son inscription dans son époque et son lieu de vie, et sur l’histoire de domaines des mathématiques pas toujours mis en avant.