On donne l’équation :

$$(m-1)\text{tg}^2x+2m\text{tg}x+m+7=0$$

où $m$ désigne un nombre constant susceptible de prendre toutes les valeurs possibles.

1. Pour quelles valeurs de $m$ cette équation a-t-elle des racine ?
2. Pour quelles valeurs de $m$ les deux valeurs qu’elle donne pour $\text{tg}x$ sont-elles de signes contraires ?
3. Quelle valeur particulière doit-on donner à $m$ pour que l’on ait entre deux solutions $x’$ et $x’’$ de l’équation la relation $x’=x’’+\dfrac{\pi}{2}$.

Déterminer dans ce cas les valeurs numériques des solutions de l’équation.