par Philippe Etchecopar, Nicolas Garric et Norbert Verdier,

Quatre à Quatre, Le Pommier, avril 2004.

160 p.

Prix : 14 euros.

ISBN : 2-74650145-7

Le niveau est celui d’un cours d’analyse de DEUG, mais l’approche historique est privilégiée comme le montre un rapide survol :

1. le temps des découvertes : Aristote, Zénon, Galilée, Descartes, Newton, Leibniz ; fluxions et différentielles, infiniment petits.
2. Le temps du développement : fonctions et séries, Euler.
3. Le temps de la rigueur : Lagrange, Cauchy, Weierstrass, Cantor, Dedekind.
4. Le calcul intégral, un outil pour mesurer : Riemann et l’aire sous une courbe, intégrale et dérivée.
5. Vers un outil de plus en plus sophistiqué : fonction et courbe de Gauss, intégrales elliptiques : Abel, Jacobi et Legendre, calcul approché des intégrales : méthodes géométriques et machines à intégrer, méthode de Monte-Carlo, intégrales généralisées, intégrales multiples, intégrale de Lebesgue.
6. Le temps apprivoisé : mouvement des planètes : Kepler et Newton, modèles de population, radioactivité, électricité.
7. Équations différentielles linéaires, premier ordre, second ordre.
8. Vers d’autres équations : méthode d’Euler, phénomènes chaotiques, équations aux dérivées partielles, du monde réel au monde mathématique et vice versa ; Poincaré, Scott, Lax, Yang-Mills, les sept problèmes de la CMI.

L’ouvrage se termine par une courte bibliographie pour tout public et une autre pour public spécialisé, les références des citations, un glossaire utile pour retrouver une notion ou une définition, et un index.

Privilégier l’aspect historique permet aux auteurs de présenter à un lecteur non spécialiste la démarche des mathématiciens dans la construction de plus en plus précise de concepts et dans une exposition de plus en plus rigoureuse ; par contre, le mathématicien et en particulier l’enseignant sera déçu de n’y trouver ni démonstrations ni exercices d’application. Il aurait fallu insister sur l’évolution des définitions, par exemple de la différentielle d’abord infiniment petite puis nouvelle variable.

S’il faut féliciter les auteurs d’avoir facilité l’abord d’un domaine très vaste et fondamental pour de nombreuses disciplines scientifiques, on ne peut s’empêcher de ressentir une impression de superficialité, face à quelques énoncés curieux ou trop rapides :

• p. 58, oubli de la condition de positivité d’epsilon dans la définition de la convergence ;
• p. 61, « entre deux rationnels, il y a toujours un vide » ;
• p. 62, « Cantor et Dedekind prouvent qu’on peut passer continûment d’un nombre réel au suivant » ;
• p. 149, (glossaire) « Pour une équation du premier ordre, les conditions initiales sont les données de y(0) et de y ′(0) ».

L’objectif ambitieux de présenter avec aisance une grande fresque historique n’est donc atteint qu’en partie et c’est dommage !