L’ouvrage propose ensuite SIX PARTIES :

I. LA NUMÉRATION
Deux pages sur la « problématique conceptuelle et pédagogique », puis six pour justifier des « choix pédagogiques » : il va s’agir d’utiliser la base quatre, qui fait compter beaucoup avec peu d’objets et sans la pauvreté du binaire.
Odette Bassis précise que « la démarche […] convient dès le C.P. ». Elle indique des variantes de mise en œuvre, souligne l’essentiel, et libère par rapport aux détails de présentation qui suivront. Deux pages donnent le schéma du chapitre : neuf étapes, en indiquant, pour chacune, l’objectif et la nécessité de tel ou tel outil. Ces étapes sont ensuite décortiquées : introduction du thème, déroulement, activités commentées, réinvestissements ou approfondissements éventuels, …

• ÉTAPES 1 à 3 (16 pages) … pour compter, dire et formuler en première approche – au pays de quatre –.
• ÉTAPES 4 et 5 (13 pages) pour codifier et écrire les nombres avec trois chiffres.
• ÉTAPES 6 et 7 (20 pages) pour « inventer » le zéro et s’en servir !
• ÉTAPES 8 et 9 (6 pages) pour le couronnement : le système décimal.

II. LES OPÉRATIONS.
Ici, « le choix fondamental […] est d’insérer dans les processus l’étape de représentation “ ensembliste ” comme médiation conscientisante », avec le schéma global : Objets → Actions sur eux → Représentations (ensembles) → Opérations.
Sont ainsi traités (en base dix, mais sans en exclure d’autres) : l’addition (11 pages), la soustraction (5 pages), la multiplication (9 pages), la division (7 pages) avec une recherche qui conduit d’emblée à la fois au quotient et au reste, plus une page sur la division égyptienne.

III. LES NOMBRES DÉCIMAUX
Sont d’abord excellemment précisés onze points d’achoppement avec, chaque fois, la difficulté ou l’erreur fréquente (ainsi
2,3 × 10 = 20,30 ou 2,30), et le contenu conceptuel correspondant à construire. Six pages de commentaires détaillent les choix pédagogiques. Odette Bassis y martèle que « l’erreur pédagogique, sous prétexte d’aider les élèves, est d’introduire les décimaux comme nombres proches conceptuellement des entiers ». « Il y a donc, contrairement à ce qui pourrait paraître de bon sens, à prendre soin de différer le moment de simplifier les calculs sur les décimaux par des procédures en usage sur les entiers ».
L’introduction des décimaux est proposée en base trois, ce qui permet, entre autres, d’aborder rapidement des fractions décimales (i.e. de dénominateurs 10, 100, … en base trois) à partir de peu de manipulations (pliages simples sans trop, …).
La démarche utilise fondamentalement des encadrements, ce qui me plaît bien ! Trois étapes :

• ÉTAPES 1 et 2 : Comparer, avec une unité $u$ donnée, deux longueurs non multiples de $u$, assez dissemblables d’abord (9 pages), puis moins, ce qui nécessite un encadrement plus fin (4 pages).
• ÉTAPE 3 (4 pages) : Quels sous-multiples (de $u$) choisir ? : Travail avec deux types de sous-multiples.
• ÉTAPE 4 (9 pages) : Introduction de la virgule.
• ANNEXE (1 page). Apports historiques : de Viète, Stevin, …

IV. LA PROPORTIONNALITÉ. INTRODUCTION DES NOMBRES RATIONNELS.

1. NOTION DE RAPPORT (13 pages), à partir d’un rectangle « à réduire »… Sept étapes, de va-et-vient progressifs entre travail individuel et confrontations collectives … pour aboutir au rapport constant (qui sera relié à des classes d’équivalence).
2. NOTION DE PROPORTIONNALITÉ (avec ses caractérisations) à partir de puzzles à réduire. 9 pages, plus une, théorique, sur la fonction linéaire (à usage enseignant).
3. APPROCHE DES NOMBRES RATIONNELS, à partir du « réemploi créatif de la notion de proportion, et de ses rapports ». S’introduisent des fractions et leurs équivalences (11 pages).

Deux Annexes :

• l’Égypte et les « quantièmes » (2 pages).
• Des éléments théoriques (2 pages ) : classes d’équivalence et opérations.

V. LE PROBLÈME SANS QUESTION : « QUAND POSER DES QUESTIONS N’EST PAS POSER QUESTION ! »
Odette Basis brocarde d’abord, comment ne pas l’approuver !, les Q.R.C.A., « Questions aux Réponses Connues à l’Avance », dont relève d’ailleurs la (trop) fameuse maïeutique de Socrate à propos de la diagonale du carré !
Elle part ensuite d’un énoncé de manuel de CM : « Deux propriétaires échangent entre eux un terrain de 90 m de côté contre un terrain rectangulaire de même périmètre dont la longueur est double de la largeur. Le prix du $m^2$ est 125 euros ». Suivent quatre questions pour déboucher sur une somme à débourser… L’énoncé est proposé sous deux formes, avec ou sans les « questions ». Le résultat est éloquent ! L’absence de « questions » permet même d’aller plus loin dans l’analyse d’un échange…
Tout cela m’a tellement plu que j’ai demandé à Odette Bassis de nous proposer un texte du même type pour le Bulletin Vert !
Des problèmes du type « l’âge du capitaine ? » et les comportements induits sont ensuite finement disséqués…

VI. LA DÉMARCHE DE CONSTRUCTION DU SAVOIR « PISTES ET REPÈRES »
« Des savoirs savants aux savoirs scolaires : quoi transmettre ? »
L’auteur y insiste à nouveau sur les questionnements, avec divers auteurs à la rescousse :

• Archimède : « [une] méthode de démonstration irréprochable n’est pas une méthode de découverte, […] ».
• Évariste Galois : « […] la pensée qui a dirigé […] reste le plus souvent cachée. On croit généralement que les mathématiques sont une série de déductions ».
• Morris Kline, lui aussi, fustige « l’impression que les vraies mathématiques sont déductives et que les bons mathématiciens pensent déductivement ».

Odette Bassis réinsiste sur ses choix pédagogiques.

Je citerai notamment :

• « Des progressions à inverser : du complexe au simplifié » : […] il est plus profitable d’aborder directement les mesures par des encadrements […], et la division d’abord avec un reste […]. La recherche du simple pour aider les élèves, surtout ceux en difficulté, est une impasse tant sur le plan des contenus […] que sur le plan d’un rapport minoré, faussé, à l’humain qui est dans l’élève, bien plus capable qu’on ne le croit d’entendre une parole vraie […].
• « Des notions à aborder dans un champ contextuel ».
  Cf. G. Vergnaud avec, pour un concept, un triplet d’ensembles : celui des situations où il prend sens, celui des invariants qui lui permettent d’agir, celui de ses représentations et procédures de traitement.
  Cf. Bachelard : « présenter un concept dans son isolement n’est pas penser », « penser ne commence que … dans la jonction de concepts ».
  « Faire que les élèves deviennent concepteurs de leurs savoirs ». Je relève notamment :
• mobiliser pour motiver, par des situations insolites, ouvertes, …
• les paradoxes de la démarche d’« auto-socio-construction » du savoir, à propos de l’enseignant-formateur, des situations-problèmes, des « processus enclenchés » (acte-pensée ; moi-les autres ; liberté/contrainte).
  Odette Bassis veut « hausser la pédagogie au rang de praxis, c’est-à-dire d’une pratique où les moyens sont ajustés aux fins qu’ils poursuivent » lesquelles sont le développement de l’imagination, de l’esprit critique, de l’autonomie, […], « tâche qui n’est pas sans lien avec la formation à la démocratie et à la citoyenneté ».

MES IMPRESSIONS

1. C’est avec quelque appréhension que j’ai retrouvé en cet ouvrage des outils naguère trop systématisés (bases de numération) ou introduits trop tôt (langage ensembliste, classes d’équivalence), qui, alors loin d’aider, masquent ou compliquent inutilement.
   Heureusement Odette Bassis maîtrise fort bien la dévolution aux élèves d’activités en rapport. Souhaitons que tout adepte le fasse avec autant de doigté, cependant que l’on peut espérer aussi d’autres voies d’accès relevant de la même conception générale d’une formation.
2. Nous rejoignons là un intérêt essentiel du livre, quelles que soient les notions mathématiques utilisées. Il met excellemment l’accent sur tout ce qui peut inciter l’élève à se prendre en mains le plus possible, à se construire en acquérant des savoirs mathématiques solidement pensés et des méthodes générales d’investigation, de questionnement et de recherche.

P.S. La bibliographie ignore le quotidien de l’enseignement des décimaux développé pourtant avec maîtrise dans la brochure APMEP-Copirelem n^o 61 : « Aides pédagogiques… Nombres décimaux », 184 pages pour 6,10 € … malheureusement en cours d’épuisement…