AGRÉGATION INTERNE

Première épreuve : étude d’un trajet de rayon lumineux avec réflexion, ou d’une boule de billard, … : Nombre de rotations d’une ligne polygonale fermée – Théorème de Birkhoff – Billard elliptique.

Deuxième épreuve : Comportements, noyau, image, aspect régularisant d’une application linéaire donnée (avec un aspect probabiliste final).

AGRÉGATION EXTERNE

Première épreuve : … à base de calcul matriciel…

Deuxième épreuve : Algèbres de convolution « tordue », image, noyau, normes, stabilité par l’inverse, égalités de normes sur des espaces hilbertiens.

CAPES INTERNE

Problème 1 : à partir de $f(x)=-x^{2}+2x+1$ et de la suite.

Problème 2 : Étude des propriétés d’une parabole et de ses tangentes – Constructions « à la règle et au compas » des tangentes issues d’un point donné, puis de l’intersection d’une parabole (foyer, directrice) avec une droite – Aire d’un « segment » de parabole (« segment » entre parabole et corde) avec méthode analytique et méthode géométrique … qui ouvre sur Archimède… .

Commentaire de Georges Lion, auteur du corrigé : « On peut se réjouir de la donnée d’un problème de géométrie dont la plus grande part est du ressort de la géométrie du collège ».

CAPES EXTERNE

Première épreuve : Après un rappel de notations – classiques – et de la dérivée logarithmique d’une fonction f , l’introduction définit clairement le bel ordonnancement du problème. En résumé (difficile !) :

• mise en place de résultats-fondations ;
• sous-groupes additifs de R et critères d’irrationalité ;
• irrationalité de $e^{r}$ (r, rationnel non nul) et approximations rationnelles de la fonction exponentielle ;
• des racines réelles d’une équation différentielle linéaire d’ordre 2 (…) à celles d’une fonction de Bessel (…) ;
• irrationalité de celles-ci.

Deuxième épreuve : … avec des parties indépendantes « sauf exceptions dûment signalées » :

1. Étude du lieu de M de coordonnées a + k cos t et a tan t + k sin t.
2. Des propriétés de l’hyperbole et de la parabole qui seront utilisées (où la sous-question 8, sur 11, traite de la puissance d’un point par rapport à un cercle et de l’axe radical…).
3. « Transformées de Descartes » : Dans un plan d’origine O, une courbe C est la transformée de Descartes d’une courbe G relativement à O et à une droite D (d’équation x = a, …) si elle est formée des points M tels qu’il existe un point W de D et un point P commun à (OW) et à G tels que
4. On continue sur la lancée…
5. Où l’on « montre que la transformation de Descartes permet [selon un objectif de Descartes] de créer des courbes dont une équation annule un polynôme de degré quelconque ».

Épreuve annulée (pour une histoire de compas interdits en un lieu du concours)

– Encore un joli problème ! –.

Sept parties « très largement indépendantes ». Toute construction demandée doit, à partir de quatre tracés (cités) supposés connus, être réalisée, effectivement, à la règle et au compas.

1. Puissance d’un point par rapport à un cercle.
2. Constructions à partir de deux points d’un cercle.
3. Un lieu géométrique de centres de cercles, avec une autre résolution d’une construction précédente.
4. Un plan « étonnant » [qui sera ensuite mis en bijection avec un plan « usuel »].
5. Grands cercles d’une sphère et droites d’un plan.
6. Une autre correspondance entre sphère et plan.
7. Synthèse et application (à un problème de milieu).

CAPLP2 INTERNE

• Exercice 1 : Une jolie affaire de voile de bateau, en première année de bac pro industriel, avec, aussi, des analyses de copies d’élèves, et recherche des modifications de l’énoncé initial qu’elles peuvent impliquer.
• Exercice 2 : Vraie ou fausse ? pour cinq propositions (dont quatre d’analyse, classiques), en argumentant !
• Exercice 3 : Où les probabilités s’introduisent dans les péages d’autoroutes (joli !).
• Exercice 4 : Test de la méthode d’Euler sur des portions de courbes de fonctions connues, afin d’apprécier la qualité des approximations obtenues. Cela pour les fonctions « carré », « inverse », exponentielle.

CAPLP2 EXTERNE

• Exercice 1 : Encore des « vrai—faux », puis la démonstration de « si n2 est pair, alors n l’est » et, par récurrence, de la sommation 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n2.
• Exercice 2 : Quatre QCM (à quatre choix chacun), sans justifications demandées, sur : une convergence de suite, une aire (de l’ensemble des points (x,y) tels que a £ x £ p, avec a Î [0,p], et 0 £ y £ sin x), un lancer de dés, des M tels que, pour A, B, C donnés,
• Exercice 3 : Calcul de par les intégrales de Wallis (que l’on fait étudier d’abord).
• Exercice 4 : Deux cercles centrés en O et O¢, sécants en W et W¢, la rotation de centre W qui transforme O en O¢ et un point M du premier cercle en M¢. Il s’agit de démontrer, à l’aide des complexes, l’alignement de M, W, M¢, puis d’étudier une réciproque. L’énoncé détaille trois parties, chacune avec de nombreuses marches d’escalier, pour un cas particulier, puis le cas général notamment.

MA CONCLUSION

Mes résumés et mes formulations sont nécessairement elliptiques. Mais ils devraient avoir permis de déceler la diversité des sujets, allant du niveau Collège aux théories utiles pour l’Agrégation Externe. Diversité, et intérêt : des QCM aux séquences géométriques niveau lycée en passant par l’analyse, l’algèbre, les probabilités… De beaux énoncés, et des corrigés très clairs, dont je remercie les auteurs Je redis, une fois encore, avec la même conviction, qu’il y a là une mine de problèmes et d’exercices de tous niveaux, tous très intéressants, notamment pour les lycées d’enseignement général ou professionnel…

… Et les lots proposés mettent à 6 € seulement cette mine 2005 ! Mais même à 10 €, achetée seule, elle en vaut la peine !