par Bruno Ingrao

Calvage et Mounet, Mathématiques en devenir n°105, Paris, avril 2011
370 p. en 16 x 23,5, prix : 31€, ISBN 978-2-91-635212-1

Cet ouvrage est issu des enseignements de géométrie de l’auteur, en Deug puis, à partir de 2000, en licence, afin de structurer et de confirmer les connaissances des étudiants en vue du Capes dont il a fait partie du jury. Il y a une cinquantaine d’années, l’étude des coniques occupait en « Mathélem » près de la moitié du programme de géométrie organisé autour de constructions ; les deux années de taupe donnaient des compléments sur l’homographie, et sur le complexifié d’un espace affine réel et leur intérêt pour l’étude projective des coniques et des quadriques Les temps ont changé et l’auteur se voit non sans humour, en archéologue découvrant la grandeur d’une civilisation disparue.

L’ouvrage se propose donc de donner une articulation cohérente de l’étude des coniques, enrichie par de nombreux exemples et illustrations.

L’exposé proprement dit comporte 207 pages réparties en 11 chapitres :

• I. Espaces projectifs.
• II. Complétion projective d’un espace affine.
• III. Complétion projective des espaces affines euclidiens.
• IV. L’espace des formes quadratiques sur E.
• V. Propriétés projectives des coniques.
• VI. Classification affine des coniques réelles.
• VII. La classification métrique des coniques.
• VIII. Diverses applications.
• IX. Quelques constructions.
• X. Les sections coniques.
• XI. Et l’espace alors ?
• Chaque chapitre comporte quelques exercices ou véritables problèmes (jusqu’à 9 pour le VII, 11 pour le V, 18 pour le VIII) dont les solutions détaillées (sauf pour le X) sont données dans l’annexe G ; en outre l’annexe H donne l’énoncé du problème de 1961 du concours général dont la forme des épreuves a bien changé depuis, et l’annexe I un texte sur l’alternative de Poncelet donné au concours d’entrée à l’École Centrale en 2006.

Les autres annexes sont destinées au lecteur qui veut rafraichir ses connaissances sur les espaces affines ou euclidiens :

• A- Espaces affines et notions associées.
• B- Complexifié d’un espace vectoriel ou affine réel.
• C- Formes bilinéaires.
• D- Espaces euclidiens.
• E- Le plan affine euclidien .
• F- À propos d’un théorème (de Laurent Schwartz, rapporté par Hadamard).

L’ouvrage se termine par une courte bibliographie, une liste des très nombreuses notations et un index des notions utilisées.

La typographie est excellente ainsi que la qualité des nombreuses figures du plan et de l’espace.

Le style serait austère si l’auteur ne liait le texte par réflexions et libres commentaires.

Je regrette que l’auteur n’ait pas poursuivi son effort des deux premières pages pour donner quelques indications historiques sur chacun des mathématiciens cités.

À titre anecdotique d’archéologue, je n’ai pas retrouvé dans le livre une étude qui figurait en 1952 parmi les leçons d’agrégation : Hyperbole définie par ses asymptotes et un point.

Un livre exemplaire qui montre bien comment les mathématiciens mettent au point progressivement des outils nouveaux et adaptés pour étudier des objets merveilleux observés depuis plus de vingt siècles.