Enseigner les mathématiques au cycle 2
moments d’apprentissage

Une « Introduction » rappelle, par une citation des documents d’application, la philosophie des programmes. S’en déduisent une priorité aux apports propres des élèves, les choix des problèmes « soit pour dépasser un obstacle, soit pour percevoir les limites des connaissances mises en jeu », les interactions dans la durée.

Voici la notion de situation-problème adoptée (valable, selon moi, « de la Maternelle à l’Université ». D’où ma citation in extenso) : « Pour qu’une situation soit source d’élaboration de connaissances, elle doit selon nous correspondre aux critères suivants :

• la situation doit mettre en jeu la connaissance dont l’apprentissage visé est explicité dans les objectifs ;
• la réponse ne doit pas être immédiate, sinon ce serait un simple exercice de réinvestissement ;
• l’élève ne doit pas rester muet devant le problème : il doit pouvoir s’engager dans la résolution avec ses connaissances antérieures. Mais il doit aussi avoir à chercher pour les adapter et les faire évoluer. L’enseignant doit alors choisir les supports et les matériels adéquats (variables didactiques), les types de tâche de sorte que les connaissances actuelles des élèves fassent apparaître des procédures erronées ou trop coûteuses pour impliquer la connaissance visée. S’il le juge nécessaire, il peut proposer une tâche d’appropriation ;
• la validation doit être à la charge des élèves. La tâche permet à l’élève de se rendre compte de l’exactitude ou non de sa démarche de résolution. Dans la mesure du possible, la validation concerne non seulement le résultat, mais aussi les procédures employées pour résoudre la situation. À partir de la prise de conscience par les élèves de leur insuffisance de connaissances, deux possibilités se distinguent :
• les élèves sont capables de découvrir la nouvelle connaissance en modifiant leurs procédures primitives ;
• la nouvelle connaissance ne peut pas être découverte par les élèves eux-mêmes, c’est l’enseignant qui l’apporte mais cette connaissance doit apparaître aux élèves comme le seul moyen de résoudre la situation » (cas de la séquence « Combien de bûchettes ? »).

À cela s’ajoutent les « apprentissages en situation » : réaliser « un produit finalisé » « convoquant des connaissances mathématiques », implicites chez les élèves et à expliciter par les enseignants ou bien initialement ignorées mais nécessaires. « La situation “ Petit moulin ” est le support d’un tel apprentissage ».

Une situation comporte diverses phases (bien circonscrites par nos auteurs) : d’appropriations, de recherche, de synthèse, d’institutionnalisation (la situation des bûchettes se limite à ces quatre-là), de rappel et d’entraînement (le « Petit Moulin » couvre les six phases).

Les auteurs analysent ensuite deux rôles :

• de l’écrit et de la dialectique écrit/oral,
• des interventions de l’enseignant de sa propre initiative (19 objectifs possibles !), pour anticiper les réactions des élèves ou y répondre (10 autres objectifs).
  « Le DVD illustre la manière dont l’enseignant prend en compte la parole des élèves… ».

« Le petit moulin »

« Quelques réflexions didactiques sur l’enseignement de la géométrie ».

Trois « paradigmes » (après avoir distingué une « pré-géométrie ») :

• « la géométrie naturelle », dont les bases sont jetées dans l’enseignement élémentaire ;
• « la géométrie axiomatique naturelle », « qui sera privilégiée dans le secondaire » ;
• ultérieurement, « la géométrie axiomatique formaliste », « qui privilégie essentiellement les relations entre les axiomes définissant les objets sans se préoccuper de leur relation avec la réalité ».

Le premier « renvoie aux trois processus cognitifs complexes que sont "la visualisation, la construction et le raisonnement ». Au cycle 2, il faudra passer d’un « concept quotidien » (ainsi : « le rond ») à un «  concept scientifique » (… le cercle), avec, parfois, la difficulté de mots communs (cf. «  carré ») pour les deux.

« Entrer dans la géométrie » explique longuement et clairement les trois aspects :

• voir pour reconnaître ;
• construire pour expérimenter ;
• raisonner pour prouver.

Dans l’analyse suivante sur « Des situations et des outils… », j’ai trouvé, entre autres, un bon paragraphe sur les mérites du papier quadrillé et du papier pointé sans cacher que « leur utilisation masque le recours aux propriétés géométriques dans les activités de construction » tandis que « le papier uni engage davantage les élèves dans une analyse géométrique »… Bon paragraphe parce qu’il peut obliger à réfléchir pour décupler les possibilités des outils papier quadrillé et pointé, par exemple en les dotant, au niveau collège, des analyses géométriques requises (ainsi pour tracer deux droites perpendiculaires en utilisant des nœuds et non des lignes d’un quadrillage).

« Une progression possible » … – à méditer – des documents officiels concernant les objectifs et des démarches d’enseignement.

« La séquence » (67 pages)

« Descriptif » (sept pages) :

• deux propositions de choix didactiques différents,
• une description du moulin à reproduire :
  six disques, …
• les objectifs de l’enseignant (introduire le compas, familiariser avec lui, faire accéder au concept de cercle),
• la structuration (quatre pages) des cinq séances proposées,
• une variante possible,
• un prolongement sur l’utilisation du « Petit moulin » en cycle 3.

Viennent alors les « séances », chacune prévue pour 1 h 15.

À titre d’exemple, voici une mini-analyse des 21 pages relatives à la séance intermédiaire (après quoi viendra sérieusement et ludiquement « le moulin » !) :

Séance 3

• Fiche de préparation : objectifs, tâches des élèves, matériel, organisation, déroulement.
  Pour celui-ci, cinq phases :
• (collective) : rappel de séance 2,
• (individuelle) : finir des cercles à partir d’arcs de cercles,
• (individuelle) : construire des cercles de rayon fixé,
• (individuelle) : reproduire des figures complexes constituées de cercles sur quadrillage ou sur papier uni,
• (collective) : élaboration de la fiche technique du compas.
• Productions d’élèves (analysées avec soin).
• Analyses didactiques :
• à priori (une page),
• à posteriori (trois pages), du côté des élèves et du côté de l’enseignant.

J’y trouve de judicieux propos, même sur des points mineurs tels que, par exemple :

• le rôle du papier calque,
• le vocabulaire employé : « soit on parle du cercle (avec son centre et son rayon), soit on parle du compas (avec sa pointe et ses branches) ». Les auteurs n’aiment pas le mélange des deux et … son utilisation au Collège !

Annexes

• un bonhomme de neige à reproduire au compas (cf. ci-contre),
• des calques pour vérification,
• des esquisses de cercles,
• des cercles à reproduire, sur quadrillages.

Une conclusion ?

J’avoue avoir été fort admiratif devant la qualité du travail réalisé. Admiratif et très intéressé (non seulement par « Le petit moulin », mais par les décomptes de bûchettes alors même qu’a priori je ne me sentais pas du tout prêt à m’y pencher !).

Je n’ai qu’un regret : avoir dû trop abréger ma recension… J’ai donc beaucoup aimé tout ce qui est proposé, en notant que toutes les considérations pédagogiques ou didactiques sont, de droit, extrapolables en Collège et Lycées (au moins !).