par Pierre Colmez

Éditions de l’École Polytechnique, octobre 2009
480 pages en 17 × 24, ISBN 978-2-7302-1563-3

Ce volume monumental est issu du cours de mathématiques du premier semestre à l’École Polytechnique. Il doit donc à la fois assurer le socle de la formation de futurs mathématiciens, offrir de nouveaux horizons à tous ceux qui auront à utiliser les mathématiques en tant que probabilistes, numériciens, physiciens, chimistes, ingénieurs ou économistes, voire financiers, militaires ou administrateurs.

Par ailleurs ses auditeurs issus des différentes voies des classes préparatoires ou d’universités étrangères ont des connaissances et des aptitudes variées.

L’auteur a su parfaitement faire face à ces difficultés en choisissant de présenter une introduction à trois des théories qui servent de socle aux mathématiques : les 100 premières pages sont consacrées au vocabulaire mathématique (Grammaire élémentaire, Produits, sommes et quotients, Groupes finis, Algèbre linéaire, Topologie, Compacité, Connexité, Convergence de fonctions, Espaces vectoriels normés, Tératologie1, Constructions de nombres) ; les 180 suivantes contiennent neuf chapitres et constituent le noyau central : Représentation des groupes finis, Espaces de Banach, Intégration, Transformée de Fourier, Fonctions holomorphes, Formule des résidus, Séries de Dirichlet.

Chaque chapitre comporte une douzaine d’exercices dont la moitié corrigés. Sept annexes rentrent plus dans les détails des développements contemporains : Théorème des nombres premiers, Volume de $Sl_{n}(\mathbb{R})$/$SL_{n}(\mathbb{Z})$, Exemples de représentations de groupes finis, Fonctions d’une variable p-adique, le problème des nombres congruents, Introduction au programme de Langlands ; l’ouvrage s’achève par neuf problèmes corrigés, trois index : terminologique, des énoncés mathématiques, et des noms propres, et une chronologie qui s’étend de Pythagore à la démonstration de la conjecture de Sato-Tate.

Cette longue énumération montre la richesse de ce traité, ouvrage de base pour tous ceux qui veulent faire ou utiliser des mathématiques. S’appuyant à la fois sur des textes historiques et sur des travaux contemporains, il cite de nombreux auteurs du passé et montre sur des exemples bien choisis comment se construisent les mathématiques d’aujourd’hui.

D’un style agréable et d’une écriture limpide sa typographie variée permet au lecteur soit de le lire chapitre après chapitre, soit de retrouver un résultat oublié, soit de résoudre quelques exercices. La bibliographie sommaire d’une quinzaine de titres classiques permet d’approfondir et de comparer d’autre présentations. L’auteur ne manque pas d’humour quand il résume en deux temps l’histoire récente de l’enseignement des mathématiques :

• 1970. Dieu créa l’ensemble vide et l’homme fit le reste
  une théorie immuable et parfaite à la beauté froide et lisse ;
• 1990. Dieu a créé les nombres réels puis les nombres complexes et envoyé Gauss sur terre pour expliquer qu’il n’y avait pas besoin d’aller chercher plus loin
  tout procédé de construction soigneusement banni du programme officiel.

La lecture de cet ouvrage remarquable est donc recommandée aux étudiants de troisième année de licence, de première année d’école d’ingénieur mais aussi bien sûr aux agrégatifs et à tous les enseignants trouvant rassemblé dans un volume raisonnable un corpus indispensable au mathématicien et des repères chronologiques permettant de montrer aux élèves que les mathématiques ne sont pas sciences mortes.