par Henri Lombardi

Ellipses, novembre 2011
208 p. en 19 × 24, prix : 27 €, ISBN : 978-2-7298 70454

L’épistémologie permet au mathématicien de réfléchir à la vraie nature de son activité et d’analyser les rapports entre cette pratique et celle des autres sciences. L’histoire des mathématiques est toujours en cours et ce livre nous propose d’éclairer par l’histoire quelques grandes questions telles que : qu’est-ce qu’un objet mathématique, un énoncé vrai, un théorème, une démonstration, la méthode formaliste ? L’ouvrage présente à la fois un cours d’épistémologie mathématique, des analyses et comparaisons de preuves et des textes historiques commentés en particulier de Cauchy et de Poincaré.

1. La rigueur en mathématiques
   Géométrie élémentaire, N, théorème fondamental de l’algèbre.
2. Analyse et preuves. Le pgcd
   Antyphérèse et théorème du pgcd, comparaison de deux preuves, l’une abstraite classique, l’autre par algorithme.
3. Les entiers naturels
   Un texte extrait de La science et l’Hypothèse de Poincaré. Preuves par algorithme et preuves par récurrence, descente infinie).
4. Analyse de preuves. Espaces vectoriels et systèmes linéaires
   Un texte classique sur la théorie « abstraite », de la méthode du pivot à la théorie de la dimension.
5. Points de repères historiques sur l’infini en mathématiques
   Les Grecs, infinitésimaux, géométries non-euclidiennes, Cantor, paradoxes, programme de Hilbert, point de vue formaliste ; un texte extrait de Science et méthode de Poincaré, un texte sur l’infini dans l’histoire, trouvé sur le Web.
6. À propos de Cauchy et de l’uniformité
   À partir d’extraits du cours d’analyse de Cauchy à l’École Polytechnique en 1821, nombres et quantités, infiniment petits, infiniment grands, continuité : globale, locale ou ponctuelle ?, dérivée et théorème des accroissements finis.
7. Nombres réels et fonctions continues
   Valeurs intermédiaires, calculer avec les nombres réels et avec une fonction continue ; quatre exercices et, pour le premier, trois solutions détaillées.
8. La structure du continu
   Théorèmes de Cantor et de Heine-Borel.
9. Cantor et l’infini actuel
   Puissance du continu, preuves constructives, paradoxes de la théorie des ensembles : Russel, Banach- Tarski, Hypothèse du continu et axiome du choix.
10. 10) La calculabilité mécanique
    Machines de Turing, théorème d’indécidabilité, modèle de Gödel, thèse de Church.
11. 11) On ne peut pas tout savoir
    Impossibilité liées aux suites calculables d’entiers, aux nombres réels, aux problèmes diophantiens, aux systèmes de preuves formalisés ; théorèmes d’incomplétude de Gödel, arithmétisation des mathématiques.

L’ouvrage s’achève par :

• A- une annexe consacrée à la logique des mathématiques constructives
  objets de base, affirmer signifie prouver, connecteurs et quantificateurs, principes d’omniscience, principes problématiques.
• B- une bibliographie recensant des œuvres essentielles
  où l’auteur a la modestie de ne pas citer ses nombreux articles du Bulletin et de Repères et ses contributions à la commission Inter-irem d’épistémologie.
• C- une chronologie des scientifiques
  extraite de celle que l’on trouve sur le remarquable site d’histoire des mathématiques de l’université de St-Andrews en excluant les nombreux mathématiciens nés au xxe siècle et quelques autres (Maurice Fréchet). Il aurait suffi de donner l’adresse : http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk et un Index donnant à la fois les mathématiciens et les concepts rencontrés tout au long du texte.

Il faut recommander la lecture de ce livre aux étudiants de Licence pour les premiers chapitres, et de Master, aux capésiens et agrégatifs, mais aussi à tous les enseignants pour prendre assez de recul sur les activités de base, et organiser des ateliers pluridisciplinaires avec des historiens, des philosophes et des informaticiens.