par Stéphane Balac et Frédéric Sturm

METIS LyonTech — Presses polytechniques et universitaires romandes
442 pages en 16 × 24, ISBN : 978-2-88074-869-2

Cet ouvrage complète le Cours de première année (mêmes auteurs, même éditeur, même format), paru en 2003 et recensé dans le BV n° 450, édition revue et augmentée en 2009.

Ce cours correspond à la filière ASINSA du cycle préparatoire de l’INSA de Lyon ; mais les exercices pourront être utilisés avec profit dans toute classe préparatoire, ainsi qu’en première année de licence, voire par les candidats au CAPES.

Les exercices, issus de sujets de devoirs posés par les auteurs, sont répartis en : - un chapitre d’Introduction à la logique mathématique ;

• huit chapitres d’algèbre
  Structures fondamentales, Le corps des réels, Le corps des complexes, Suites numériques, Polynômes et fractions rationnelles, Espaces vectoriels et applications linéaires, Matrices et déterminants, Réduction des endomorphismes ;
• sept chapitres d’analyse
  Continuité des fonctions réelles ; Fonctions usuelles ; Comparaison locale de fonctions ; Dérivabilité des fonctions réelles ; Développements limités ; Calcul intégral ; Équations différentielles.

Ils sont généralement de facture très classique ; la majorité inclut une utilisation du logiciel Maple ; quelques uns (chapitre 1) ont une forme plus originale (détection d’erreurs).

Ils passent en revue l’arsenal des techniques classiques, et on y rencontre des fonctions « spéciales » (béta, dilog, elliptiques, …). Dans chacun d’eux, la difficulté des questions (souvent nombreuses) est progressive : de l’application directe des définitions, théorèmes et formules jusqu’à des calculs requérant une certaine virtuosité et quelques astuces ; cependant toutes sont résolubles par quiconque connaît parfaitement le cours ; l’imagination, la créativité ne semblent pas être des objectifs, comme si des futurs ingénieurs n’en avaient pas besoin. Les applications à des exemples précis sont préférées aux théories générales. À noter la rareté d’applications à d’autres disciplines (trois applications à la physique dans les deux derniers chapitres).

Les corrigés sont extrêmement soignés, fouillés, détaillés, avec proposition de plusieurs méthodes chaque fois que c’est possible, conseils de méthode, quelques rappels de cours, signalement des risques d’erreurs, commentaires divers, le tout rédigé avec un souci pédagogique évident.

Ces qualités font de cet ouvrage un outil très recommandable, même si j’y ai repéré deux défauts ponctuels : erreurs et incohérences dans le corrigé de l’exercice 3.4, question 6 ; et utilisation récurrente d’un raisonnement incorrect tel que « $f : \mapsto sin (\sqrt{x})$ n’est pas dérivable en 0 car la fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0 » (p. 250) ; en effet v o u peut être dérivable sans que u le soit, comme le montre l’exemple $v :x\mapsto x^{2}$ et $ u:x\mapsto \left|x\right|$ , en 0.