Exercices

Exercice 489-1 : (d’après les olympiades mathématiques
d’Israël 1995)

Quatre points non coplanaires étant donnés, on appelle « équiplan » tout plan
équidistant de chacun de ces quatre points.
Combien y a-t-il d’équiplans ?

voir l’article où est publiée la solution

Exercice 489-2 : Une suite de carrés (d’après la compétition
mathématique de Slovénie 1998)

Prouver que chaque nombre de la suite 49 ; 4 489 ; 444 889 ; 44 448 889 ; … est un
carré parfait (dans chaque nombre, il y a n quatre, n − 1 huit et un neuf).

voir l’article où est publiée la solution

Exercice 489-3 (Gabriel Lamé–Paris)

ABCD est un quadrilatère non croisé inscriptible dans un cercle dont les côtés [AB],
[BC], [CD] et [DA] mesurent respectivement 2 cm, 3 cm, 4 cm et 5 cm.
Proposer une construction de ABCD.

voir l’article où est publiée la solution

Exercice 489-4 :Complexe (d’après les XXXIIIes olympiades
espagnoles)

Montrer que tout nombre complexe non nul peut s’exprimer comme somme de deux
nombres complexes dont la différence et le quotient sont des imaginaires purs.

Solutions

Exercice 487-1 : Daniel Reisz-Auxerre (d’après la Compétition mathématique des pays baltes 2004)

Soit un rectangle ABCD de dimensions 3 × 4. Sur chaque coté on choisit un point.
Ces quatre points sont les sommets d’un quadrilatère convexe dont les cotés mesurent
x, y, z et t. Encadrer au mieux la somme $x^2+y^2+z^2+t^2$.

Solution de Albert Marcout (Sainte Savine)

Autres solutions : Odile Simon (La Prénessaye), Franck Gautier
(Pérignat-lès-Sarliève), Jean-Claude Carréga (Lyon), Alain Corre
(Moulins), Giovanni Ranieri (Melun), Olivier Ayassou (Acoua),
Michel Sarrouy (Mende), Georges Lion (Wallis), Jean-Yves Le Cadre
(Saint Avé), Daniel Reisz (Auxerre), Bernard Collignon (Coursan).

Exercice 487-2 : Pythagore sans les carrés… ?

Démontrer que : dans un triangle rectangle, la somme des côtés de l’angle droit est égale à la somme des diamètres des cercles inscrit et circonscrit.

Solution

Solutions : Arnold Christian (Carouge), Pascal Avila (Marange-
Silvange), Odile Simon (La Prénessaye), Jean Gounon (Chardonnay),
Jean-Claude Carréga (Lyon), Alain Corre (Moulins), Giovanni Ranieri
(Melun), Olivier Ayassou (Acoua), Michel Sarrouy (Mende), Pierre
Renfer (Saint Georges d’Orques), Georges Lion (Wallis), Albert
Marcout (Sainte Savine), Jean-Yves Le Cadre (Saint Avé), Bernard
Collignon (Coursan).

Exercice 487 - 3 : Arithmétique

Trouver toutes les solutions de l’équation 6 ( a ! + 3 ) = $b ^2 $ + 5 où a et b sont des
entiers naturels.

Solution de Odile Simon (La Prénessaye)

Autres Solutions : Franck Gautier (Pérignat-lès-Sarliève), Jean-Claude Carréga (Lyon), Alain Corre (Moulins), Giovanni Ranieri (Melun), Olivier Ayassou (Acoua), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Georges Lion (Wallis), Albert Marcout (Sainte Savine), Vincent Thill, Bernard Collignon (Coursan).

Remarque . Les réponses proposées ont nettement modulé … les modulos ! Ont ainsi été proposés les modulos 5, 6, 8, 10 ; sans oublier une étude directe pour a
supérieur ou égal à 26.

Exercice 487 - 4

ABCD est un rectangle, AEF un triangle équilatéral où E et F sont sur [DC] et [CB].
Quelle relation lie les aires des triangles ADE, AFB et ECF ?

Mea culpa. Vous avez rectifié de vous-même l’erreur
typographique : il fallait bien lire ECF et non ECB.

Solution de Georges Lion (Wallis)

Autres solutions : Albert Marcout (Sainte Savine), Pierre Renfer
(Saint Georges d’Orques), Michel Hébraud (Toulouse), Éric Trotoux
(Caen), Patrice Debart (Marseille), Bernard Collignon (Coursan).

Remarques

• Le hasard a voulu que cet exercice ait été proposé très récemment dans l’Oméga,
  parution que propose la régionale de Caen et disponible à :
  http://www.apmep.asso.fr/spip.php?article3340
  Éric Trotoux y propose notamment des solutions géométriques utilisant des outils
  élémentaires ainsi qu’une splendide équidécomposition à ne pas rater.
• Patrice Debart tient quant à lui un site très complet d’activités et exercices en tout
  genre de la Sixième à la Terminale (!) proposant entre autres des reprises d’exercices de-ci, de-là. À ne pas rater non plus !
  http://pagesperso-orange.fr/debart/college/triangle_carre.html#ex487

Nota.
 On montre assez facilement que la condition d’existence de la figure est :

$$ \frac{\sqrt3}{2} \leq \frac{L}{\ell} \leq \frac{2}{\sqrt3}$$

• La relation à trouver n’étant pas précisée, la réponse
  

  $$ \left(S(ADE)- \frac{1}{2} S(ABCD)\right) \times \left(S(AFB) - \frac{1}{2} S(ABCD) \right) = \frac{1}{2} S(ABCD) \times S(FEC)$$

  
  m’a été proposée.
  Elle est générale à la figure sans prendre en compte le fait que le triangle est
  équilatéral. Je n’ai pas réussi à l’exploiter pour en tirer l’autre relation.
• Michel Hébraud a considéré le problème à l’envers en cherchant un rectangle (ou un carré) circonscrit à un triangle équilatéral donné. Ainsi posée, la question peut se généraliser à la recherche d’un polygone équiangle et si possible régulier,
  circonscrit à un polygone régulier à n côtés donné. Cette recherche est ouverte…

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