Exercices

Exercice 479-1 (Pierre Renfer – Ostwald)

J’ai trouvé sans démonstration, dans l’excellent livre «  Les nombres remarquables  [1] » de François Le Lionnais, que 59 était le nombre de régions découpées dans l’espace par les plans des faces d’un octaèdre régulier. Comment le prouver ?
Pierre Renfer vous propose cet exercice (qu’il a bien sûr résolu).

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Exercice 479-2 (Jean Théocliste – Valence)

On considère l’équation

$$9x^4 - 14x^2 + 8x - 1 = 0 \ \ \ \ \ (E)$$

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Exercice 479-3 (Georges Lion – Wallis)

Le quadrilatère convexe ABCD est inscrit dans un cercle Γ.
Le quadrilatère convexe MNPQ est circonscrit à Γ et tel que A ∈ [MN], B ∈ [NP], C ∈ [PQ], D ∈ [QM].
Montrer que les diagonales (AC), (BD), (MP), (NQ) sont concourantes.

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Exercice 479-4 (Marc Royer – Montélimar)

1) ABC étant un triangle éventuellement aplati, montrer que les médianes issues de B et C sont perpendiculaires si et seulement si $AB^2 + AC^2 = 5 BC^2$ .
2) Trouver tous les triangles « orthomédians » dont les longueurs des côtés sont des nombres entiers.

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Solutions

Exercice 476-1 (Maurice Bauval – Versailles)

On donne les trois distances a, b, c de l’orthocentre H aux trois sommets du triangle ABC. On suppose le triangle acutangle.
Calculer les longueurs des trois côtés BC, CA et AB du triangle.

Solution de Michel Lafond (Dijon)

Autres solutions de Maurice Bauval (Versailles), Jean-Claude Carréga (Lyon), Georges Lion (Wallis), Pierre Renfer (Ostwald).

Georges Lion propose une variante : remplacer dans l’énoncé ci-dessus « sommets » par « côtés ».

Exercice 476-2 (Frédéric de Ligt – Montguyon) – Corol’aire n° 67

On a l’identité $(n + 2)n + 1 = (n + 1)^2$ ; cela suggère l’idée de s’intéresser aux suites
$(a_n)$ qui vérifient $a_(n+2)a_n+1=a_(n+1)^2$. En particulier, pourriez-vous montrer, qu’à partir de $a_1=1$ et de $a_2= m$ avec m entier supérieur à 1, la suite $(a_n)$ ne produit que des
entiers naturels ?

Solution de Pierre Samuel (Hossegor)

Autres solutions de Maurice Bauval (Versailles), Alain Corre
(Moulins), Éric Oswald (Borgo), Michel Lafond (Dijon), Pierre Renfer
(Ostwald), Léon Rouzière (Albi), Odile Simon (La Prenessaye).

Exercice 476-3 (Louis Rivoallan – Rochefort-sur-Mer) – Corol’aire n°59

On considère les nombres à n chiffres (en base dix) tels que leur carré se termine par les mêmes n chiffres. On accepte que contrairement à l’usage, les chiffres « de gauche » soient égaux à 0. Il y a à l’évidence deux nombres qui répondent à la question : 0 et 1, que l’on fait précéder de (n − 1) zéros avec la convention précédente.
Montrer, que pour tout n, il y a exactement deux autres nombres écrits avec n chiffres qui répondent à cette condition.

L’idée est venue d’un collègue de l’IUFM de La Rochelle qui a cherché à généraliser un exercice posé au concours de recrutement des professeurs des écoles.

Alain Corre nous a signalé que cet exercice avait déjà été proposé sous le numéro 469-1 dans le Bulletin Vert d’avril 2007, et des solutions données dans le Bulletin Vert 472 (octobre 2007). Veuillez nous excuser pour cette étourderie. Nous en donnons ici d’autres solutions.

Solution de Jean-Yves Coquan (Albi)

Autres solutions : Jean Gounon (Chardonnay), Pierre Renfer (Oswald), Pierre Samuel (Hossegor)

On peut trouver dans le tome premier p38 du livre d’Edouard Lucas "théorie des nombres" réédition 1961 - Librairie Albert Blanchard "exemple III : le carré d’un nombre terminé par 8 212 890 625 se termine de la même façon, et qu’il n’y a qu’un seul autre nombre de dix chiffres, en exceptant dix zéros ou neuf zéros suivis de 1) qui possède cette même propriété ; c’est le nombre 1 787 109 376." S.P.

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