Exercices

Exercice 511-1 Daniel Reisz–Auxerre Un exercice des Olympiades Internationales de 2012.
Soit n $\ge$ 3 un entier et soit $a_2, a_3, a_4, .... a_n$ des nombres réels strictement tels que $a_2a_3a_4 .... a_n=1$
Montrer que

$$(1+a_2)^2(1+a_3)^2(1+a_4)^2...(1+a_n)^2>n^n$$

Il est exceptionnel de pouvoir aborder dans cette modeste rubrique un exercice des Olympiades Internationales. Ces exercices sont en général difficiles, même pour des solveurs avertis. Voici pourtant une exception, en trichant un petit peu avec cette aide fournie
Solveurs avertis, ne lisez pas cette aide !

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Exercice 511–2 pour nos élèves
A. Le périmètre d’un secteur de cercle est 12 (le périmètre inclut les deux rayons et l’arc). Déterminer le rayon du cercle qui maximise l’aire de ce secteur.
B. Montrer que tout nombre palindrome de 4 chiffres est un multiple de 11.

C. ABCD est un rectangle avec AD = 1 ; (AE) et (CF) sont perpendiculaires à (BD)
et DE = EF = FB.
Calculer AB.

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Exercice 511–3 pioché de-ci, de-là
Quatre nombres entiers naturels a, b, c et d sont tels que

$$(a+b+c)d=420$$

$$(a+c+d)b=403$$

$$(a+b+d)c=363$$

$$(b+c+d)a=228$$

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Exercice 511–4 Michel Lafond – Dijon

Un triangle ABC a pour périmètre 6 m. On construit
les trois demi-cercles de diamètres [A,B], [B,C],
[C,A] à l’extérieur de ABC, puis les trois segments
tangents communs à ces demi-cercles pris deux à
deux. Démontrer que le produit des longueurs de ces
trois segments est inférieur ou égal à 1 $m^3$ .

Solutions

Exercice 509–1 Amahl Servois – Besançon
Les points B et C sont du même côté d’un obstacle. On veut déterminer de l’autre côté de l’obstacle un point qui sera sur la droite (BC).

Solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Pierre Lapôtre (Calais ), L.G Vidiani (Fontaine les Dijon ), Michel Lafond (Dijon), Fabrice Laurent (Bayon),Georges Lion (Wallis).

Avare de précisions, la consigne a laissé libre cours à l’inventivité ! Voici sans commentaire quelques unes des propositions.

Remarque . Dans le cas où le problème serait posé dans un espace affine, L.G Vidiani, lecteur attentif et assidu du BV, renvoie à l’Avis de recherche 76 du BV no 407, solutionné dans le no 417 (pages 498-501).
Nota . Amahl Servois regroupe trois personnes : Anne-Marie Aebischer et Hombeline Languereau de l’IREM de Franche-Comté qui ont signé le livre « SERVOIS OU la géométrie à l’école d’artillerie » [1] .

Voici le texte du problème posé par François-Joseph Servois et la première des solutions qu’il propose.

Exercice 509–2 pour nos élèves

A. a est un réel positif tel que $a^2+\frac{1}{a^2}=5$. Déterminer la valeur de $a^3+\frac{1}{a^3}$

B. On écrit au tableau les entiers naturels de 1 à n. Un des nombres est effacé. La moyenne des n − 1 entiers restants est égale à $46 + \frac{20}{23}$. Déterminer la valeur de n ainsi que le nombre effacé.

C. On considère deux nombres réels x et y tels que $0 < y < x \le 1$. Montrer que

$$\frac{ln(x)-ln(y)}{x-y}>ln \left( \frac{1}{y} \right ).$$

Solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Jean Couzineau (Massy), Marie-Nicole Gras (le Bourg d’Oisans), Pierre Lapôtre (Calais), Jean Gounon (Chardonnay), L.G Vidiani (Fontaine les Dijon), Michel Lafond (Dijon), Georges Lion (Wallis), Jean-Paul Thabaret (Grenoble).

A. Voici la solution de Michel Lafond.
B. Voici la solution de Pierre Renfer.
C. Voici la solution de Georges Lion.

Exercice 509 - 3 A. Benoit – Paris
Trouver le lieu géométrique du point de contact entre un plan donné et une sphère variable, tangente à ce plan et passant par deux points B et C donnés, extérieurs au plan et situés d’un même côté de celui-ci.

Solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Georges Lion (Wallis), Michel Lafond (Dijon).

Voici la solution de Georges Lion.

Nota. L’exercice est issu de « Géométrie, Trigonométrie et Algèbre », Classe de Première classique C et Classe de Première moderne, Programmes du 23 décembre 1941, par A. Benoit, professeur agrégé au lycée Condorcet, édité par la librairie
Vuibert en 1943. (premier fascicule, exercice no 219 p. 126)

L’exercice est proposé comme application du résultat suivant :
Par un point A situé à l’extérieur d’une sphère on mène une droite rencontrant la sphère en deux points B et C et une droite tangente à la sphère en un point T. Établir que la distance AT est moyenne proportionnelle entre AB et AC.

Remarque. Georges Lion précise avoir été élève d’André Benoit qui, à ses yeux, réalisa la perfection du métier ; et rappelle que de 1946 à 1949 André Benoit a accompli un mandat de président de notre association bien aimée !

Exercice 509 - 4 Rose Hasse – Nîmes transmis par Bernard Parzysz
Dans la figure ci-dessous, on considère les cercles circonscrits aux dodécagones.
Calculer le rapport du rayon du cercle extérieur à celui des sept cercles intérieurs.

Solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Pierre Lapôtre (Calais ), Fabrice Laurent (Bayon),Georges Lion (Wallis), Michel Sarrouy (Mende), Maurice Bauval (Versailles).

La figure n’étant décrite que très sommairement, prête à deux interprétations possibles…

Voici la solution de l’école no 1
Voici la solution de l’école no 2

Remarques. Bernard Parzysz a étudié cette configuration de la rosace du temple de Diane à Nîmes et son résultat est … $1+\sqrt 2$, une troisième école !!!
Pan sur le bec ! Pour ne pas m’être suffisamment penché dessus et avoir voulu économiser du texte, j’ai complètement saboté cette petite étude.
Cette rosace a également fait l’objet d’un atelier animé par Martine et Roger Allet lors des journées nationales des 18 au 21 octobre 2014 à Toulouse.

Exercice 508–2 Michel Lafond – Dijon Calcul de minimum
Soit le polynôme $P(x) = x^6 + 2x^4 - 2x^3 + 199810x^2 - 272672x + 93026, x \in \mathbb R$ .
Démontrer que P (x) est strictement positif pour tout x réel et calculer le minimum à $10^{-10}$ près.
Calculatrice interdite.

Solutions : Louis-Marie Bonneval (Poitiers), Michel Lafond (Dijon).

Voici la solution de Michel Lafond.

Remarque. Michel Lafond indique que les logiciels ne manquent pas pour trouver que le minimum de P vaut environ $8,02 \times 10^{-12}$ .
Le voir graphiquement est possible à condition de zoomer et de pouvoir travailler avec beaucoup de chiffres significatifs.
Dans le même genre, est positif pour tout x réel et le minimum est
entre 0 et $7 \times 10^{-17}$ .

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