Bulletin Vert no 464
mai — juin 2006
Exercices deci dela du BV 464 Et solutions 462-1, 462-2 et 462-3
Exercices
Exercice 464-1 (Georges Lion – Wallis, et Maurice Starck – Nouméa)
En le point Q milieu d’une corde [AB] d’un cercle C se coupent deux cordes [UV] et [XY] ; la droite (AB) coupe (UX) en M et (VY) en N. Montrer que Q est aussi le milieu de [MN].
On souhaite une solution sans calculs et, si possible, élémentaire.
voir l’article où est publiée une solution
voir l’article où est publiée une autre solution
Exercice 464-2
À tout point P intérieur à l’ensemble E délimité par le segment [AB] et deux demi-droites [Ax) et [By) à supports parallèles et de même sens on associe le point Q intérieur à E tel que les angles $\widehat{xAQ}$ et $\widehat{BAP}$ soient égaux de même que les angles $\widehat{yBQ}$ et $\widehat{ABP}$.
Trouver le lieu géométrique du milieu I de [PQ].
voir l’article où est publiée la solution
Exercice 464-3 (Corol’aire no 54 Ex 3 : Jean-Claude Laugier – Rochefort)
Soit un ensemble A de nombres entiers compris entre 1 et 1 000 tel qu’aucun élément de A ne soit le double d’un élément de A. Quel est le nombre maximal d’éléments de A ?
Solutions
Exercice 462-1 Corol’aire no 27 – janvier 1997
Résoudre dans $\mathbb{R } $ le système de quatre équations à quatre inconnues :
$\left\{
\begin{array}{r c l}
x +y +z+ t=0 \\
xy +xz+xt+ yz+ yt+ zt=0 \\
xyz+ xyt+ xzt+ yzt=0 \\
xyzt=0
\end{array}
\right. $
Solution de Mathilde Lahaye-Hitier (IUFM Bretagne)
Solutions du même type : Nicolas Patrois, Alain Corré (Moulins).
Autres solutions de Georges Lion (Wallis) et Albert Marcout (Sainte-Savine).
Exercice 462-2 Claude Marcy (Chatellerault) – Corol’aire no 59 – décembre 2004
Pour quelles valeurs de k le coefficient du binôme de Newton $\left(
\begin{array}{c}
2k-1\\
k\\
\end {array}
\right) $ est-il impair ?
Solution de René Manzoni (Le Havre)
Une solution d’Alain Corré (Moulins) qui nous renvoie à l’article de Vincent Lefevre sur le triangle de Pascal dans $\mathbb Z$/$p \mathbb Z$
Autres solutions de Georges Lion (Wallis) et Richard Beczkowski (Dijon).
Exercice 462-3 Miguel Amengual Covas (Mallorca)
Soit S le point d’intersection des tangentes extérieures à deux cercles extérieurs.
Par S on trace une droite qui coupe les deux cercles en quatre points. Les tangentes en ces quatre points forment un quadrilatère.
Montrer que :
- ce quadrilatère est un parallélogramme,
- une de ses diagonales passe par S,
- l’autre diagonale est l’axe radical des deux cercles.
Solution de Richard Beczkowski (Dijon)
Autres solutions de : Annette Molard (Strasbourg), Marie-Laure Chaillou (Épinay), Georges Lion (Wallis), Alain Corré (Moulins), Albert Marcout (Sainte-Savine), Raymond Raynaud (Digne).