Exercices

Exercice 512-1 Jean-Christophe Laugier – Rochefort
Paul a reçu pour ses étrennes le 1er janvier 2014 une belle montre avec dateur. Mais il a été très désappointé quand, le 1er mars, la montre n’a pas affiché « 1 » comme attendu mais « 29 ». Pour le dateur tous les mois ont 31 jours !
On supposera dans la suite que Paul n’effectue aucune correction sur le dateur.

• 1) Quand, pour la première fois après le 1er mars 2014, la montre affichera-t-elle une date correcte ?
• 2) Notons d(n) la date affichée par la montre le 1er janvier de l’an 2014 + n ; donc d(0) = 1.
  Quelle est la période T de la suite (d(n)) ?
• 3) Quelles sont les années pendant la période [2014 ; 2014 + T] au cours desquelles la montre affichera une date correcte ?

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Exercice 512-2 Roger Ferrieu – Paris
Que devient la somme

$$ S_n=2+\frac{a+b}{ab}+....+\frac{a^n+b^n}{a^nb^n}$$

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Exercice 512-3 Émile Fourrey – Paris pour nos élèves
A – On dispose la suite des nombres impairs en lignes comme suit :
$l_1$ 1
$l_ 2$ 3 ; 5
$l_ 3$ 7 ; 9 ; 11
$l_4$ 13 ; 15 ; 17 ; 19
….
Prouver que sur chaque ligne, la somme des nombres est égale au cube du rang de cette ligne.

B – Diviser le carré ABCD de côté a en trois parties équivalentes (de même aire), de sorte qu’il y ait encore un
chemin d’une largeur donnée c conduisant aux trois parties.

La construction est indiquée sur la figure ci-contre.
Prouver son exactitude.

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Exercice 512-4 Valentin Paubarol – Ampéris

ABC est un triangle quelconque.
La bissectrice de l’angle $\widehat{BAC}$ coupe [BC] en D.
Montrer que $AB \cdot AC = AD^2+DB \cdot DC$

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Solutions

Exercice 510-1 Michel Lafond – Dijon arithmétique
n est un entier naturel positif écrit en base dix. On note d(n) le dernier chiffre de n et s(n) la somme des chiffres de n.

Si $a=\frac{3^{2014}-1}{2}$ démontrer que d(a) = s(s(s(a))).

Solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), Raymond Heitz (Névez), Michel Sarrouy (Mende), Michel Lafond (Dijon), Patrick Tardivel (Toulouse).

Voici la solution de Patrick Tardivel.

Remarque. En utilisant les logarithmes on obtient s(a)$\le$ 8649 puis s(s(a))$\le$ 34.

Exercice 510 - 2 Greg Leceul – Detroit only rule
Deux cercles concentriques étant donnés sans leur centre, retrouver
celui-ci à la règle seule (sans graduation).

Solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Michel
Bataille (Rouen), Michel Lafond (Dijon).

Voici la solution de Pierre Renfer.

Remarques et questions.
 Raymond Heitz a voulu ramener le problème à celui de la construction du milieu commun de deux segments superposés [AB] et [ab] au moyen d’un faisceau de droites et d’une transversale ; mais n’a pas réussi à obtenir cette construction à la règle seule.
Est-ce possible ?

 Je vous propose de voir une construction complète utilisant dix-huit droites sur un fichier GeoGebra disponible sur le site de l’association.
Peut-on faire moins ?

Exercice 510 - 3 Louis-Marie Bonneval – Poitiers pour nos élèves
Les organisateurs du banquet disposent de tables rondes de 150 cm de diamètre. Ils ont fait faire des nappes carrées pour les recouvrir. Mais suite à une erreur de mesure ces nappes ne font que 140 cm de côté.
Peuvent-ils avec deux nappes recouvrir complètement une table ?

Solutions : Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), Raymond Heitz (Névez), Michel Sarrouy (Mende), Louis-Marie Bonneval (Poitiers).

Voici la solution de Marie-Nicole Gras.

Nota. Louis-Marie Bonneval propose une étude plus complète concernant tout d’abord les solutions dans lesquelles les nappes ont le même centre que la table ; puis celles où les deux carrés ont une diagonale commune passant par le centre de la table.
Cette étude est téléchargeable ici.

Exercice 510 - 4 Jean-Pierre Friedelmeyer – Osenbach
• Dans un plan euclidien, déterminer et construire à la règle et au compas les carrés dont les côtés (éventuellement prolongés) passent par quatre points donnés du plan.

Et le problème dual :
• Dans un plan euclidien, déterminer et construire à la règle et au compas les carrés dont les sommets sont situés sur quatre droites données du plan.

Solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Maurice Bauval (Versailles), Jean-Pierre Friedelmeyer (Osenbach).

Voici la solution de l’auteur.

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