QUEL(S) NIVEAU(X) POSSIBLE(S) ?

Le tableau synoptique signale, pour chaque type de fiches : « À partir de »… Les 24 types sont ainsi répartis : 5 à partir du CE, 12 du CM, 3 de la Sixième, 1 de la Cinquième, 1 de la Quatrième, 1 de la Troisième et 1 … pour tous…

Faisons bien attention au plein sens de « À partir de » !
Je vais le montrer sur les activités de « Dessins Gradués » proposées « À partir de la Sixième ». Elles comportent 17 fiches (de une à trois pages). Or, par exemple :

• la fiche 8 fait placer 17 points dont les abscisses sont les solutions respectives de 17 équations dont voici la neuvième : $x^2=(x-1)(x+1)+x$ , la treizième : $\frac{x}{4}+\frac{1}{2}=\frac{x}{2}-2$, la quinzième : $5(x+2)-2(x-3)=4+4(x+3)$ ;
• la fiche 9 fait placer 16 points dont les abscisses sont les solutions respectives de 16 équations dont voici la septième : $\frac{x}{2}+\frac{3}{8}=\frac{3x}{8}+\frac{1}{8}$ et la huitième : $\frac{16x-5}{3}=\frac{5-8x}{6}$ ;
• la fiche 10 fait placer 40 points à l’aide de 40 problèmes. En voici quelques-uns (aux énoncés ici résumés) :
  • n^o 9 (point I) : Triangle rectangle d’hypoténuse 50 m, et 40 m pour un autre côté. Mesure du troisième ?
  • n^o 12 (point L) : Deux augmentations successives de 50 %, puis de 20 %. Quelle augmentation au total ?
  • n^o 22 (point V) : Un rectangle, de périmètre 110 m. En diminuant sa longueur de 1 m et en augmentant sa largeur de 1 m, l’aire augmente de 4 m 2 . Dimensions initiales ?
  • n^o 37 (point K) : Deux cercles concentriques, de couronne $1 800 π cm^2$, le rayon du plus grand étant le triple du petit. Quel est celui-ci ?

À noter que six points déjà définis une fois relèvent ensuite d’une seconde définition. Ainsi, pour I (ci-dessus, problème n^o 9), problème 42 : On achète 25 mêmes dictionnaires. Si chacun avait coûté 5 de moins, on aurait pu en acheter 5 de plus. Prix d’un dictionnaire ?
Cette façon de faire donne « du jeu » ! Ainsi :

• En Quatrième ou Troisième, on résout sans difficulté le n^o 9, … et peut-être plus difficilement le n^o 42, alors secouru par le n^o 9 !
• En Sixième ou Cinquième, on peut dessiner le triangle du n^o 9 et procéder à un « mesurage » du côté initialement inconnu. De quoi trouver « à peu près 30 m ».

Dès lors on peut : ou bien s’attaquer au n^o 42 et comparer … jusqu’à trouver « pareil » !, ou bien essayer ce que devient le n^o 42 avec 30 euros, ou 29, ou 31, …
La résolution du n^o 42 peut d’ailleurs se faire soit par déduction « de bon sens », soit par calcul littéral [25 × 5 = 5 (x − 5), …] …

[Il y a, d’ailleurs, pour chacune des fiches de ces « dessins gradués », la possibilité de contrôler avec le dessin final obtenu : pas de point aberrant !].

DE MÊME, la « nature » d’activité indiquée par le tableau synoptique peut-elle varier selon les élèves, les classes, les « niveaux », la dévolution de l’activité elle-même.

Bref, me semble-t-il, le tableau synoptique, en voulant résumer, dévoile mal un champ d’exploitation des fiches qui me paraît de grande ampleur, pour quasi-toutes de l’école primaire à la Seconde !

Le SOMMAIRE classe les 24 types d’activités en NEUF GRANDES DIVISIONS.

Dans chacune, les JEUX proposés sont, à la fin, pourvus de « solutions » fort claires et souvent très agréables en ouvrant de nouvelles possibilités.
Mais, d’abord, les fiches d’une subdivision sont introduites de façon pédagogique : grandes lignes du jeu, objectifs, graduations, … D’excellents commentaires, qui seront fort appréciés.

I. PUZZLES ET MATHÉMATIQUES (34 pages)

… À LA RACINE :
À partir du Tangram, calcul littéral d’aires et de paramètres ; racines carrées ; …

FAMILLE DE PUZZLES (deux pièces, trois, cinq, …) :
Toutes les configurations alors réalisables …
Et, chemin faisant, quelques problèmes. Ainsi :
Pour le puzzle à trois pièces, deux constructions sont possibles, pour un même résultat ?

« TÉTRABOLOS » [Un « abolo » est un triangle rectangle isocèle]
Les fiches proposent des Di-, Tri- et Tétrabolos : recherche de configurations géométriques alors réalisables ; agrandissements et réductions (coefficients sur les longueurs, sur les aires) … avec des problèmes où il y a parfois plusieurs solutions, parfois aucune…

« SHAPE BY SHAPE » [avec des « abolos » tous superposables accolables) : Encore des configurations géométriques, …, des symétries, … Des défis pour réaliser,avec des abolos, des rectangles d’aire et de périmètre imposés.

PAVAGES ET DÉCAGONE ou : jouons avec des losanges « d’or » (angles aigus de 36° ou 72°) … pour paver un décagone avec un nombre imposé d’axes de symétrie…

II. AUTOUR DES PENTAMINOS (14 pages)

« Les pentaminos sont les douze assemblages de cinq carrés identiques adjacents par un nombre entier de côtés communs ».

« PENTOMINE  »
Jeu de manipulations, recouvrements, codages, …

« PENTADALLAGES  »
… avec une « entrée progressive avec 3, 4, 5 ou 6 pièces »…
La fiche 2 fait réaliser des rectangles à partir de pentaminos imposés et de jolis codages indiquant le nombre de côtés communs à deux pentaminos.
En fiche 3 apparaît une belle formule T = (S − P)/2, à vérifier et à utiliser, avec le défi de la démontrer… La formule induit, pour des recherches de pavages, des conditions « nécessaires » qui seront parfois … irréalisables (incompatibilités entre dimensions entières, aire et périmètre). Splendide !
Et la fiche 9 « incite à créer de nouveaux pentadallages »…

« PENTATEXTES »
Les douze pièces du Pentamino portant des lettres, huit exercices demandent, à partir d’elles, la réalisation de rectangles révélant une phrase.
Ainsi, exercice 7, la définition d’une bissectrice… Sur le même principe, suit la résolution d’une « petite équation » pour la reconstitution des tables de multiplication.

III. DESSINS CODÉS (36 pages)

« DESSINS GRADUÉS »
Le principe : un support, ici esquissé pour une activité.

Il y a ainsi de 9 à 34 lignes pour chacune des 17 activités proposées.
Sur chaque ligne on placera un ou plusieurs points dont les abscisses sont définies comme résultats de calculs, solutions de problèmes, … L’énoncé fait ensuite joindre les points et l’on doit obtenir un dessin stylisant une souris, un renard, un chat, …
De quoi faire travailler ludiquement sur les décimaux, les relatifs, l’ordre des opérations, le calcul fractionnaire, des résolutions d’équations et de petits problèmes (cf. plus haut), … Cela couvre tout le Collège et peut être utile en Seconde pour remettre à flot mine de rien… Bien entendu le processus inverse est possible et proposable, comme autant de défis, d’élève à élève : partir d’un dessin, définir ses points « anguleux » par des abscisses, puis faire retrouver le dessin par un autre élève. Et là le « niveau » est libre…

«  COORDONNÉES ET VECTEURS … de Mickey », d’un chat, d’un chien, d’un gorille, d’un renard, …

IV. MOTS CROISÉS (11 pages)

Les auteurs de 14 grilles ont rivalisé d’ingéniosité pour mêler des définitions de mathématiques et de mots du langage courant : « valeurs approchées » pour faire surgir « arrondis », « utiles pour se repérer dans le plan » pour « axes », …, « trois quarts de tout » pour « tut » (!), …

V. PHOTOMATON ET TÉLÉGRILLES (10 pages)

« PHOTOMATON »
Un très beau jeu avec neuf pièces d’un carré pour recomposer une photo.
Une agréable construction. Des activités mathématiques de TOUS NIVEAUX, et les élèves peuvent en imaginer et en proposer.
« Dans la création de nouveaux plateaux, il est important de veiller à proposer des expressions voisines comme cela a été fait ici [dans les fiches], pour interpeller le “ joueur ” sur la construction de ces expressions […], et c’est à la découverte du dessin ou en cas d’impossibilité que [l’erreur apparaîtra]… » Interviennent ainsi divers étages ou assortiments fractionnaires avec 5, 10, 8 et 2, et , et , …

TÉLÉGRILLES
À partir de la Sixième et jusqu’en Troisième, garnir des cas de lignes selon des définitions, reporter sur des grilles de loto des lignes obtenues par cases…
Il surgit alors de jolies sentences, telle celle d’Attila Joszef : « Les gens qui ne savent pas jouer me font peur ». Les imbrications permettent de pallier d’éventuelles difficultés, ainsi quand « le cube en a onze » doit faire émerger « patrons »…

VI. NEUF POUR UN (18 pages)

Un carré (resp. un triangle équilatéral) étant découpé en neuf carrés (resp. triangles équilatéraux) identiques, il s’agit de recomposer, en juxtaposant des nombres égaux, tels 6 × 4 et 48/2 ; $- \sqrt 5+4 \sqrt 5$ et $3\sqrt 5$ ; $x= - \frac{1}{2}$ et $x \sqrt 4 = -1$ ; … Là aussi appel est fait à la création…

VII. ALIGNEMENTS NUMÉRIQUES (6 pages)

Par activité, ce jeu fait travailler en calcul mental, sur 25 combinaisons de huit nombres (ajouter 3/2 et 1/3 ; multiplier 2x 2 par (x − 2) ou ajouter $2x^2$ et $x − 2$ ; …), avec des alignements en vue…

VIII. OPÉRATIONS, DIVISEURS ET MULTIPLES (16 pages)

Six jeux, parfois classiques, ici « détournés » vers des activités mathématiques privilégiant le calcul mental : le toton des opérations ; Mathary ; le jeu de Juniper Green ; jeu des relatifs ; le labyrinthe des multiples ; la

gaufre empoisonnée (et, isomorphe, un splendide jeu des diviseurs).

IX. UN PEU DE LOGIQUE (23 pages),

« spécifiquement », car il y en a, évidemment, dans tout ce qui précède.

Cryptarismes (63)
« Grilles logiques » (avec des pentaminos, …)
« Parité et coloriage » (avec des dominos, des tétraminos, des circuits, …). Pour le plaisir, voici :

Problème 2 (corrigé abrégé. Devinez l’énoncé !)

Pour les 49 dominos de Dominique, colorions le damier […]. Dans ce coloriage, les deux cases indisponibles sont noires. Il reste donc 50 cases blanches et 48 noires disponibles, alors que chaque domino posé couvre une noire et une blanche. Il est donc impossible d’aider Dominique … à moins de lui expliquer de ne pas perdre son temps.

Problème 8