Éditions Taillandier, 2007
300 pages en 21,5 × 14,5, ISBN : 978-2-84734-422-6

Ce volume rassemble 22 textes, de 30 auteurs, précédemment parus dans La Recherche en 1999 et 2003, remis à jour pour la présente édition :

• I. Qu’est-ce qu’un nombre ?
  (entretien avec C. Houzel).
• II. La naissance du nombre en Mésopotamie
  (C. Goldstein).
• III. Existe-t-il des nombres infinis ?
  (H. Benis Sinaceur).
• IV. David Hilbert et les mathématiques du XX^e siècle
  (H. Benis Sinaceur et J.-P. Bourguignon).
• V. L’intrigue des nombres premiers
  (H. Cohen).
• VI. Ces curieux nombres p-adiques
  (D. Barsky et G. Christol).
• VII. Le hasard des nombres (G. J. Chaitin).
• VIII. Les lois de grands nombres
  (J.-P. Bouchaud).
• IX. Le théorème de Fermat enfin démontré
  (C. Goldstein).
• X. Les codes correcteurs d’erreurs
  (G. Lachaud et S. Vladut).
• XI. La double correction des turbocodes
  (C. Berrou et collaborateurs).
• XII. Ordinateurs en quête d’arithmétique
  (J.-M. Müller).
• XIII. La démesure du mètre
  (K. Alder).
• XIV. Le nombre et la constitution
  (A. Desrosières).
• XV. Une nouvelle façon de (nous) compter
  (F. Lemarchand).
• XVI. La culture des sondages
  (entretien avec L. Blondiaux).
• XVII.Tempête sur l’indice des prix
  (M. Armatte).
• XVIII. Être ou ne pas être dans le PIB ?
  (A. Vanoli).
• XIX. Faites-vous du 85B ou du 1,7 ?
  (A. Debroise).
• XX. La dictature des valeurs extrêmes
  (C. Walter).
• XXI. Les petits nombres ont-ils leur loi ?
  (P. Crépel et S. Hertz).
• XXII. Les nombres et l’essence des choses
  (B. D’Espagnat).

S’y ajoutent : Notes, Les auteurs, Bibliographie, Sites Internet, Lexique.

Plutôt qu’« Histoire des nombres », le titre de cet ouvrage devrait être « Histoires de nombres ». Certes, l’historique des inventions des différents types de nombres, depuis les entiers positifs de la préhistoire jusqu’aux transfinis de Cantor, aux « nombres surréels » de John Conway et aux nombres p-adiques, se retrouve ici, rapidement résumée dans I, avec développement de certains ponts précis dans II, III, VI (curieusement, on ne trouve rien sur les quaternions) ; les questions de notation des nombres sont traitées dans II ; IV retrace une importante page de l’histoire récente des mathématiques ; mais un plus grand nombre d’articles est consacré à un bilan des connaissances actuelles en arithmétique (V, IX), en informatique et théorie de l’information (X, XI, XII), et surtout dans des domaines particuliers des probabilités et statistiques (VII, VIII, XIV à XXI). Dans la plupart d’entre eux, la perspective historique ne remonte pas plus loin qu’au XIX^e siècle. Le livre se termine par de brillantes et pertinentes considérations philosophiques sur les rapports entre les mathématiques et la réalité.

Le principal défaut de ce type d’ouvrage, un peu fourre-tout, est en même temps une qualité : chaque lecteur, qu’il soit passionné par l’histoire des maths, la philosophie des maths, les maths pures, les maths appliquées à la physique, les statistiques, l’informatique, etc., trouvera ici des matériaux riches et denses dans son domaine de prédilection, mais aussi des textes qui ne le concernent pas a priori ; ce peut être l’occasion pour lui de découvrir un domaine jusque là étranger. On peut néanmoins estimer que certains domaines sont ici surreprésentés, peut-être suivant un effet de mode : cryptographie, économie, statistiques.

Les différents textes sont aussi très variés sous les points de vue du niveau d’abstraction, du public visé, de la facilité de lecture : beaucoup sont à la portée du profane, sans calculs ni formules ; plusieurs s’adressent d’ailleurs plutôt aux sociologues ou économistes qu’aux mathématiciens (XIV, XV, XVII) ; quelques autres ont un contenu mathématique dense qui nécessite quelque effort d’assimilation et un certain bagage mathématique : VI utilise des distances sur Q inusuelles, dans VII l’auteur esquisse une démonstration du théorème de Turing, X mobilise la théorie des corps finis ; une mention spéciale à IX, passionnant de bout en bout, qui parvient à donner une idée générale de la démonstration de Wiles. Un point à souligner est que beaucoup des chercheurs- auteurs exposent et expliquent leurs propres résultats : le lecteur est en prise directe avec les mathématiques en train de se faire.

Il sera peut-être plus profitable de consulter « Histoire des nombres » régulièrement que de le lire linéairement. Il s’agit en tous cas d’un excellent ouvrage de culture mathématique à la fois « pointue » et « tous azimuts » .