Hors Série n° 24 de Tangente
Les hors série de Tangente

Fiche Publimath

brochure n° 709 (APMEP), 160 pages en 17 × 24, prix : 18 € (+ port), ISBN : 2-84884-046-3

À toute époque, des découvertes sur le triangle. « Depuis quelques années, cependant, le triangle semble passé de mode. Et si nous le faisions revivre ? »

34 articles de fond, de 13 auteurs, dont 7 textes de Daniel Barthe, 7 d’Alain Zalmansky, 7 d’Élisabeth Busser, 5 d’Hervé Lehning, 5 de Jacques Lubczanski, … Brochure avec des figures limpides. En page I de couverture, l’impossible « Triangle de Penrose ». Presque tous les articles relèvent de la mention initiale « savoirs ». Sinon, je le signalerai.

Quatre grandes parties :

• Passeport pour le triangle
  • Trois points : stabilités, repérages, … (3 pages).
  • La somme des angles … avec une claire échappée « dépostulante » sur le non euclidien : triangle sur une sphère, sur une selle, … (3 pages).
  • Le théorème de Pythagore (6 pages) avec quelque dix jolies démonstrations dont certaines relèvent de propriétés plus générales initiales (d’Al Kashi, d’affinités, d’une fonction signe de Dijkstra (1986), d’Euler, de Pappus). On appréciera aussi, hormis les démonstrations classiques, celle, très simple de Michael Hardy (1986).
  • Mesurer dans un triangle : inégalités, trigonométrie dans le triangle rectangle, avec des échappées sur le produit scalaire et, en une page, sur le triangle sphérique, la somme de ses angles et ses formules « des cosinus » et « des sinus ».
  • La leçon de Mémé Laïus, avec une étude progressive, à cinq voix qui s’épaulent, du triangle rectangle sphérique (6 pages).
  • Le triangle « à l’ancienne » (5 pages) : cas d’égalité, « résolution » et construction de triangles, avec un encart sur le difficile théorème de Steiner-Lehmus (démontré) : « Tout triangle ayant deux bissectrices d’égale longueur est isocèle ».
  • La recette du triangle quelconque (déjà traitée dans notre Bulletin Vert, ce qu’ignore la bibliographie citée…).
  • Figures formées avec des équerres (6 pages) : original, de la Quatrième à la T.S.
  • Alignement et concours (8 pages) : Céva, Ménélaüs, Pappus, Desargues, … et un « lemme des voyageurs » (niveau Seconde)…
  • Vision géométrique des triplets de Pythagore (3 pages).
• Points, droites et cerclces remarquables du triangle :
  • Une mine de tels points (5 pages), avec échappée sur les barycentres.
  • Le cercle des neuf points (3 pages), en terminant par un joli problème du lieu du centre de ce cercle, résolu par des compositions d’homothéties.
  • D’autres points : de Gergonne, Lemoine, Fermat, Brocard, Steiner (et son ellipse) (3 pages).
  • La droite de Simson, son hypocycloïde, … (4 pages).
  • Les problèmes : de Napoléon (et son pavage), de Fermat (6 pages).
  • Le « théorème japonais » de Lazare Carnot : « La somme des distances “ signées ”, aux côtés d’un triangle, du centre du cercle circonscrit est égale à R + r ». Il est démontré à partir du théorème de Ptolémée et appliqué à un superbe « sangaku » d’invariance quelle que soit la triangulation d’un polygone convexe inscrit dans un cercle.
  • Ellipses inscrites dans un triangle (2 pages).
  • Carrés inscrits dans un triangle (8 pages), … vers le triangle de Calabi avec ses trois carrés inscrits isométriques, et deux aperçus sur trois carrés disjoints… (avec deux résultats établis en 2002).
  • Le théorème de Morley (3 pages), avec une démonstration de A. Letac (1939).
• La plastique du triangle (16 pages)
  Une superbe « galerie » d’art de deux pages ; les triangulations de terrains ; de l’arithmétique ; des « tourner rond », de Rouleaux à Wankel ; les triangles cachés des logiciels de la 3 D.
• Jeux et problèmes autour du triangle.
   
          Des articles « savoirs » :
  • Minimisons (4 pages) : point de Fermat ; M tel que S MA2 soit minimal (on trouve G).
  • Diagrammes triangulaires (3 pages).
  • Des rondes de triangles (6 pages), avec un joli problème de trajectoires et d’un lieu qui est une ellipse…
  • Des points à l’infini, … à l’homologie (6 pages), … avec une louange finale à la géométrie projective, « mère de toutes les géométries »…
  • Avec des triangles équilatéraux (3 pages, plus une avec cinq questions et leurs solutions).
  • Les puzzles polymorphes (4 pages) : des parquets originaux…
  • Un problème de Lewis Carroll (2 pages).
     
    Des articles Jeux :
  • Le trisker (2 pages) avec 6 problèmes d’assemblages (résolus plus loin).
  • Quatre « problèmes japonais » (2 pages) avec solutions.
  • Avec des allumettes (1 page) : 7 questions (résolues plus loin).

Un texte de 10 problèmes, résolus plus loin.

Des textes « en bref » émaillent agréablement les quatre parties :

• Triangles historiques, culturels, … : commerce triangulaire ; triangle d’or ; triangle divin, et des maçons ; des Bermudes ; musical ; amoureux.
• Des mots pour des triangles : des mots élémentaires à « pédal », « podaire », …
• Le triangle aux Olympiades académiques.
• L’ombre d’un triangle…
• Les côtés paradoxaux, avec le triangle de Curry (un découpage réassemblé laisse un trou) proposé comme énigme policière.

Ma conclusion

Le style alerte n’empêche pas de beaucoup démontrer. Par ailleurs, des Grecs aux débuts de notre siècle, que de richesses ! Les « huit moments » de toute formation scientifique jouent ici à plein.

Et la beauté des résultats plaide pour les mathématiques.

Un beau livre, d’enseignement et de culture, de la fin du Collège à l’Université, enchanteur hors de tout programme… Un régal de culture géométrique. À ne pas manquer.