par Denis Butlen

Collection Didactiques Mathématiques
Presses universitaires de Franche-Comté, 2007
186 pages en 16 × 22, prix : 20 €, ISBN 978-2-84867-198-7

Cet ouvrage comporte :

• une préface de Gérard Vergnaud ;
• un texte introductif de huit pages ;
• neuf chapitres ;
• une bibliographie de cinq pages ;
• quatre annexes ;
• un glossaire ;
• une postface de Michèle Artigue.

Il s’agit d’un travail universitaire, sous-titré « Recherches sur l’enseignement des mathématiques aux élèves en difficulté, du calcul mental à la résolution de problèmes numériques ». Les niveaux concernés englobent l’école élémentaire et les deux premières années de collège.

Le chapitre I étudie la place du calcul mental dans les programmes ; il distingue trois périodes : 1883-1970 : mémorisation et automaticité ; 1970-1980 (« mathématiques modernes ») : accent mis sur les propriétés des opérations ; 1980-2004 : mémorisation et élaboration de procédures adaptées. Tous les chapitres ultérieurs s’inscrivent dans cette dernière conception du calcul mental.

Les chapitres II et III étudient les procédures du calcul mental, en insistant sur les décompositions additives et soustractives des nombres, et sur la place de l’automaticité. Ils reposent sur des observations d’élèves du CP au CM2, le chapitre III s’appuyant sur l’utilisation d’un environnement informatique.

Parmi les conclusions tirées de ces deux chapitres, on peut citer : la nécessité d’activités spécifiques pour installer des automatismes adaptables ; la différenciation des « bons » élèves par la disponibilité de plusieurs procédures et la capacité de choix de la mieux adaptée ; la multiplicité des cheminements cognitifs chez des élèves différents ; la préférence à accorder à la présentation de la multiplication comme « mesure-produit », plutôt que comme addition itérée.

Les chapitres IV et V étudient les liens entre techniques opératoires et résolution de problèmes ; ils reposent sur des expérimentations, en école élémentaire, d’« ingénieries » originales, avec comparaison avec des classes-témoins ; celles-ci confirment qu’une pratique régulière du calcul mental contribue à accroître les capacités d’adaptation et d’initiative ; cependant cet impact n’est pas uniforme, dépendant des individus et des types de problèmes.

Dans les chapitres II à V, le cas particulier des élèves en difficulté n’est examiné qu’après analyse de la situation pour les élèves standard.

Les chapitres VI à VIII, au contraire, leur sont presque entièrement consacrés. Leurs difficultés sont analysées, non en termes de cause, mais en termes de manifestations : manque de perception des enjeux, manque d’adaptabilité, attachement aux algorithmes, incapacité de décontextualisation, … La pratique régulière du calcul mental est reconnue comme insuffisante en tant que remédiation, et doit être couplée à d’autres activités spécifiques. D’où des expérimentations, dont l’une sur quatre classes et sur deux ans, de CM2 à Cinquième, en ZEP, visant à améliorer les performances ; les séances régulières de calcul mental, avec explicitation des procédures, y sont complétées par des « bilans de savoirs » sous la forme de débats suivis d’écrits collectifs. L’analyse des résultats évoque une efficacité certaine, mais non radicale, chez les élèves en difficulté moyenne, mais l’échec devant les grandes difficultés cumulées par certains.

Les 20 pages d’annexes fournissent un grand nombre de questions et exercices utilisés dans les différentes expérimentations.

Les caractéristiques de cet ouvrage sont la rigueur scientifique, la prudence et la modestie concernant les résultats des expérimentations, alors même qu’elles sont indéniablement « globalement positives ».

Conformément aux saines habitudes universitaires, chaque chapitre commence par l’annonce de ce qui va être traité, la définition du vocabulaire, l’exposé de la méthodologie, et se termine par une brève analyse statistique des résultats. Ces contraintes rendent sa lecture un peu moins reposante que celle d’un roman ; mais il reste néanmoins à la portée de tout enseignant, même dépourvu de formation en didactique : tout jargon est évité, et les quelques termes spécifiques sont définis dans le glossaire.

Il devrait intéresser au premier chef tous les professeurs des écoles et de collège, ainsi que leurs formateurs, car il leur permettra, dans le domaine du calcul et de la résolution de problèmes, de comparer les performances de leurs classes avec celles étudiées ici, de confronter leurs pratiques à celles préconisées par D. Butlen, de trouver de multiples idées d’exercices et de questions d’évaluation.

Au-delà, et quel que soit le niveau auquel on enseigne, il apporte des réponses partielles à une question qui nous hante tous : que se passe-t-il dans la tête des élèves « faibles » ? À tous les niveaux, la difficulté à généraliser, à décontextualiser, me semble être présente, et le principe d’y remédier par l’instauration d’étapes intermédiaires, être adaptable.

Cette lecture sera donc profitable à chacun des lecteurs de notre bulletin.

Sur le plan des imperfections, je signalerai deux défauts de conception, minimes : le texte introductif n’est pas signalé dans le sommaire ; et l’annexe 1 est redondante, puisqu’elle ne contient que des figures déjà présentes dans le texte ; ainsi qu’une question de fond, qui n’est que vaguement posée : dans le dispositif associant séances de calcul mental et bilans de savoirs, quelle part d’efficacité attribuer à chacun des termes ? La pratique des bilans ne pourrait-elle pas porter sur de tout autres types d’exercices ?