par Maurice Margenstern

Impromptus Le Pommier, 2015
224 pages en 17 × 24, prix : 25€, ISBN : 978-2-7465-0775-3

L’auteur, professeur d’Université, convie le lecteur, qu’il soit universitaire, enseignant, étudiant ou simple amateur de mathématiques, à une visite guidée du monde hyperbolique, en cinq étapes/chapitres :

• Chapitre 1 : Le rêve
  le problème du cinquième axiome d’Euclide a trouvé après des siècles une solution très éloignée de celle attendue, comme les plus anciens rêves de l’humanité : le vol (Icare), l’intelligence artificielle (le Golem). Une première vision de ce monde nouveau passe par des oeuvres d’art : dessins de Jos Leys et de l’auteur, ouvrages au crochet ou tricot de l’épouse de ce dernier. on découvre aussi quelques propriétés surprenantes du plan hyperbolique : pavage par des polygones réguliers quelconques voire des "infinigones", impossibilité des similitudes, …
• Chapitre 2 : Voyage dans le temps
  raconte comment vingt siècles d’efforts pour démontrer le fameux axiome ont abouti à l’invention des géométries non euclidiennes ; longue quête où Saccheri et Lambert jouent un rôle charnière, l’aboutissement étant atteint par Lobatchevsky (Sic ; d’autres sources écrivent Lobatchevski, d’autres Lobatschewsky, …) et Bolyai (tandis que le rôle de Gauss est minimisé).
• Chapitre 3 : Voyage dans un monde hyperbolique
  nous commençons l’exploration de celui-ci grâce au modèle du disque ouvert de Poincaré, dont les principes sont révélés progressivement. on y découvre les notions d’horicycle et de courbe équidistante, de nombreuses constructions sont effectuées. Le chapitre se termine par la présentation des automates cellulaires hyperboliques.
• Chapitre 4 : Au coeur du monde hyperbolique
  présente le contenu mathématique proprement dit : axiomes, définitions, théorèmes. La majorité des démonstrations est donnée, mais une différenciation typographique permet de les sauter. on continue de se construire une image mentale du plan hyperbolique, avec ses trois positions de droites : sécantes, parallèles, non sécantes ; son parallélisme qui est une relation d’équivalence sur les demi-droites, mais non sur les droites. Une brève excursion en dimension 3 complète cette vision.
• Chapitre 5 : Impressions de voyage
  l’auteur élargit son propos à une réflexion philosophique sur le statut des objets mathématiques, ainsi qu’à un regard sociologique sur l’état de la Recherche, toujours trop soumise au poids des décideurs et des institutions.

Cette immersion progressive dans un univers déroutant a quelque chose de fascinant. À chaque étape on se pose des questions, qui trouvent leurs réponses dans les chapitres suivants. L’effort exigé pour suivre les démonstrations en dit long sur le rôle que joue l’intuition quand nous restons dans le cadre confortable de l’univers euclidien, ce qui peut contribuer à éliminer les fausses « évidences » de nos raisonnements. Une majorité des lecteurs apprendra ici une multitude de choses, par exemple : les géométries euclidienne et hyperbolique se regroupent dans la « géométrie absolue », dont ne fait pas partie la géométrie elliptique parce que l’axiome d’Archimède n’y a pas cours ; le modèle de Poincaré ne se limite pas à une visualisation, c’est aussi l’outil qui permet de prouver que la géométrie hyperbolique est non contradictoire si et seulement si la géométrie euclidienne ne l’est pas non plus.

Néanmoins il est nécessaire de signaler quelques lacunes et imperfections : l’origine de la dénomination « hyperbolique » n’est pas donnée ; certains énoncés, certaines démonstrations, ne sont pas accompagnés de la figure qui aiderait le profane à les suivre ; certaines notations sont utilisées avant d’être définies ; la bibliographie est très succincte, et ne contient aucune référence en français ; et l’absence d’un index est fortement gênante.

Cet ouvrage n’en est pas moins un outil prodigieux pour découvrir un domaine dont chacun de nous a « entendu parler » sans forcément s’y être plongé ; la rigueur et la clarté de la rédaction, la haute qualité des figures et illustrations sont des attraits supplémentaires ; et les réflexions sur les processus de progrès dans la recherche sont tout-à-fait pertinentes.