par Roland Groux et Philippe Soulat

Éditions Cépaduès, 2009 — collection Pratiques mathématiques
326 pages en 14,5 × 20,5, ISBN : 978-2-85428-898-8

D’après le Dictionnaire des mathématiques d’A. Bouvier, M. George et F. Le Lionnais, le terme « fonctions spéciales » désigne de façon imprécise des fonctions solutions d’équations fonctionnelles ou d’équations différentielles. Un grand nombre de ces fonctions ont reçu un nom, et sont intégrées à des logiciels de calcul formel. Le projet de R. Groux et Ph. Soulat est de permettre aux étudiants de L3, Master, CAPES et Agrégation de découvrir les principales d’entre elles.

Mais pour cela un solide bagage de connaissances est nécessaire ; c’est pourquoi un copieux chapitre 1 (un tiers du volume) présente les outils de base  : Séries de Fourier, Développement eulérien du sinus, Théorème de Cauchy- Lipschitz, Problème de Sturm-Liouville, Séries entières, Fonctions holomorphes, Théorème des résidus, Transformée de Laplace.

Puis vient un catalogue de fonctions, dont certaines au nom familier, réparties en quatre familles :

• Chapitre 2 : Fonctions Eulériennes
  Fonction Gamma, Fonction digamma, Fonction Bêta, Fonction Zêta, Fonction de Lerch, Séries de Dirichlet ;
• Chapitre 3 : Fonctions hypergéométriques
  Fonctions de Bessel, Fonctions de Hankel, Équation hypergéométrique, Fonctions hypergéométriques, Fonctions d’Airy ;
• Chapitre 4 : Polylogarithmes et fonctions intégrales
  Dilogarithme, Formule de Simon Plouffe, Exponentielle intégrale, Sinus et cosinus intégral, Nombres géoharmoniques, Logarithme intégral, Fonction d’erreur Erf ;
• Chapitre 5 : Fonctions elliptiques
  Définition intégrale du sinus, Fonctions elliptiques de Jacobi, Fonction de Weierstrass.

Comme l’indique le titre de l’ouvrage, ces notions, y compris les pré-requis du chapitre 1, sont introduites sous forme de problèmes. Problèmes de facture classique, souvent en deux à quatre parties, qui aboutissent aux démonstrations de propriétés et théorèmes ; en général chaque partie correspond à une détermination différente de la fonction étudiée : intégrale, série, produit infini, solution d’équation différentielle.

Les enchaînements de questions sont soignés, les premières étant toujours d’une difficulté limitée qui permet à quiconque d’entrer dans le sujet. Souvent, la fonction est d’abord définie sur $\mathbb{R}$ , puis prolongée à $\mathbb{C}$. À signaler quelques exceptions : les sous chapitres 1.7, 4.4 et 4.6 ne sont pas des problèmes, on y trouve directement les résultats ; 4.5 et 4.2 ne sont pas des études de fonctions. L’ordre des chapitres et sous-chapitres ne doit, lui non plus, rien au hasard, et les renvois de l’un à l’autre sont fréquents.

Les corrigés sont rigoureux et complets concernant les questions délicates, mais quelque peu elliptiques dès qu’il s’agit de calculs classiques, même compliqués ; une certaine virtuosité du lecteur est requise, ainsi que sa parfaite maîtrise des programmes des premières années d’études. Le style est austère, bien dans l’esprit des sujets de concours ; les premières questions n’indiquent que rarement « où on va », et ce n’est qu’a posteriori qu’on atteint une vue d’ensemble ; on ne trouve ni conseils de méthode, ni signalements de risques d’erreur ; l’origine de certaines dénominations (« fonction d’erreur », « fonction elliptique ») n’est pas explicitée.

Néanmoins le souci culturel n’est pas absent, car, sauf pour le chapitre 1, on trouve en fin de corrigé (ou parfois à l’intérieur de l’énoncé) des compléments : brèves notes historiques, généralisations et prolongements avec ou sans démonstrations, état des lieux sur des conjectures encore ouvertes (zéros de la fonction Zêta de Riemann), applications à la physique (fonctions d’Airy et sismologie), évocation rapide de la théorie générale des fonctions elliptiques (dont seuls deux exemples sont étudiés). À noter que les résultats démontrés sont parfois récents (formule de Simon Plouffe : 1995 ; il s’agit d’une détermination de $\pi$ comme somme d’une série à convergence rapide, qui permet d’en trouver directement la n-ième décimale en base 16). On peut néanmoins s’étonner de l’absence, à propos des fonctions et courbes elliptiques, de toute allusion à leur rôle en arithmétique, et dans la démonstration du théorème de Fermat-Wiles. Des indications sont données sur la syntaxe de Maple concernant ces fonctions, et des courbes réalisées avec ce logiciel sont incluses.

On notera quelques défauts de réalisation, qui ne sont pas vraiment gênants : numérotation et titres du sommaire non repris dans le corps du texte ; parfois numérotation différente des questions dans l’énoncé et le corrigé ; quelques coquilles.

Ce livre est riche et dense ; son intérêt majeur est de permettre de cumuler dans un même temps l’entraînement à la résolution de problèmes et l’acquisition de connaissances nouvelles ; il est nettement tourné vers l’application de techniques (et la recherche de la « bonne » technique), et donc vers la préparation d’examens et concours. Mais il sera également un ouvrage de référence pour qui s’intéresse plus particulièrement à l’une ou l’autre des familles de fonctions « spéciales », pour qui veut dépasser le stade de la vulgarisation à propos de certains développements récents des mathématiques.