491
Les problèmes du BV 491 et solutions des problèmes 484-1, 485-1, 486-1
Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 491 - 1
Soit F la suite de Fibonacci définie par $F_0= 0, F_1= 1$ et $F_{n+2}= F_{n+1}+ F_n$.
Montrer que pour n ≥ 1,
$$\prod_{k=1}^{n} F_k\le \frac{1}{n !}\exp(F_{n+4}-2n-2)$$
voir l’article où est publiée la solution
Problème 491 - 2 (Question de Fernand Canonico)
Soit P un polynôme complexe de degré n ≥ 1. Pour $\omega \in \mathbb C$, soit $v_\omega$ le nombre de solutions complexes de l’équation $P(z) = \omega$. Montrer que
$$\sum_{\omega \in \mathbb C}(n-v_\omega)=n-1$$
Problème 491 - 3
Trouver toutes les suites strictement croissantes d’entiers $(u_n)_{n\ \mathbb N}$ vérifiant les conditions suivantes pour tout $n \in \mathbb N *$ :
- $u_{2n}= 2u_n$
- si $u_n$ est premier, n est premier.
Erratum
Je remercie Maurice Bauval (Versailles) qui me signale une erreur de frappe dans le bulletin 488. Pages 363 et 384, il faut lire $R=\frac{5}{24}\sqrt{793}=5.866719933$
Solutions des problèmes antérieurs
Problème 484-1 (question de Michel Lafond)
Résoudre dans $\mathbb Z *$ l’équation $a^2 + b^3 = c^4$.
télécharger la solution de Pierre Renfer (Saint George d’Orques)
télécharger la solution de Michel Lafond (Dijon)
télécharger le commentaire de Vincent Thill (Migennes)
Problème 485-1 (Olympiades internationales 2009)
Soit n un entier strictement positif et soit $a_1, \dots, a_k$, avec k ≥ 2, des entiers distincts appartenant à l’ensemble $ [1]$ tels que n divise $a_i(a_{i+1}-1)$ pour $i \ in [2]$.
Montrer que n ne divise pas $a_k (a_1-1)$
télécharger la solution de Franck Gautier (Pérignat lès Sarliève)
Problème 486-1
Soit P et Q deux polynômes à coefficients entiers relatifs et sans racine complexe commune. Pour $n \in \mathbb Z$, on désigne par $u_n$ le pgcd de P(n) et Q(n). Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb Z}$ est périodique.
Solutions de Marie-Laure Chaillout (Épinay sur Orge), Franck Gautier (Pérignat lès Sarliève), Moubinool Omarjee (Paris), Pierre Renfer (Saint George d’Orques).
télécharger la solution et ses commentaires
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