510
Les problèmes du BV 510 Et solutions des 502-2, 502-3, 502-4
Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 510-1 (Michel Bataille, Rouen)
Soit ABC un triangle rectangle en A, non isocèle. Trouver la valeur minimale de PA lorsque P est un point intérieur au triangle tel que
$$\frac{PA}{\sin \alpha}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{PB}{\sin \beta} \frac{PC}{\sin \gamma}} $$
où
$$\alpha=\widehat{BPC}, \beta=\widehat{CPA}, \gamma=\widehat{APB}$$
voir l’article où est publiée une solution
Problème 510-2
Soit $n \in \mathbb N^*$. On se donne n réels $x_1, …, x_n$, tous distincts. Montrer que pour tout réel $q\in \mathbb R - \{-1,0,1 \}$
$$ \sum_{k=1}^{n} \prod_{j \ne k} \frac{qx_k-q^{-1}x_j}{x_k-x_j}=\frac{q^n-q^{-n}}{q-q^{-1}}$$
voir l’article où est publiée une solution
Problème 510–3 (Michel Lafond, Dijon)
Un couple d’entiers (p, q) avec $2 \le p \le q$ est dit générateur si tout entier naturel peut s’écrire sous la forme $\lfloor a\sqrt p \rfloor +\rfloor b \sqrt q \rfloor$ avec $a, b \in \mathbb N$ et où $ \lfloor \rfloor $ désigne la partie entière.
Démontrer que les couples (2, 9) et (3, 3) sont générateurs puis trouver tous les couples générateurs.
Solutions des problèmes antérieurs
Problème 502–2 (Michel Lafond (Dijon))
Soit p et q deux entiers premiers entre eux et impairs. Un damier rectangulaire $p \times q$ a ses cases colorées alternativement en noir et blanc, les quatre coins étant noirs. Une
diagonale $\Delta$ est tracée. Une partie de $\Delta$ est noire, l’autre est blanche. Démontrer que la proportion de noir le long de D est égale à $\frac{1}{2} \left ( 1+ \frac{1}{pq} \right )$
Solutions de Michel Lafond (Dijon) et Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orques).
Problème 502–3 (Jean-Claude Blanchard (Brunoy))
Pour $n \in \mathbb N$, calculer le pgcd de $2^n + 3^n$ et de $5^n$.
L’auteur de cette question, Jean-Claude Blanchard, propose ensuite une généralisation : soit r un nombre premier impair et p, q des entiers naturels strictement positifs tels que p + q = r. En notant k la valuation r-adique de n, à savoir
l’entier maximal tel que $r^k$ divise n, on va montrer que si n est pair, alors
$$\left( p^n+q^n \right) \wedge r^n=1$$
tandis que si n est impair$$\left( p^n+q^n \right) \wedge r^n=r^{k+1}$$
Généralisation
Problème 502–4 (G.L. Kocher, Ravières)
On suppose que le trinôme $ax^2 + bx + c$ possède deux racines réelles distinctes. En déduire les solutions de l’équation
$$a(ax^2+(b+1)x+c)^2+b(ax^2+(b+1)x+c)+c-x=0$$
<redacteur|auteur=500>