514
Les problèmes du BV 514 Et solutions des problèmes n°503-3, 504-1 et 504-2
Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 514-1 (Michel Lafond)
Un hexagone ayant un centre de symétrie est inscrit dans un cercle. On mesure en
centimètres les distances d’un point M du plan à cinq sommets de l’hexagone. Ces
distances, arrondies à l’entier le plus proche sont, par valeurs croissantes :
$$21, 53, 69, 97 \, \text{et} \, 118.$$
Calculer à 1 cm près la distance de M au sixième sommet.
voir le BV où est publiée la solution
Problème 514-2
Soit $ f :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dérivable. On suppose que pour tout $x \in \mathbb{R} $, $f’(x) = f(x - 1) $ et que $f$
est bornée. Montrer que $f$ est nulle. Étudier cet énoncé en prenant ensuite une
fonction dérivable $ f : I \rightarrow \mathbb{R}$ où $ I$ n’est pas l’intervalle $\mathbb{R}$ tout entier.
voir le BV où est publiée la solution
Problème 514-3 (Jean-Pierre Friedelmeyer)
Un cercle $(0)$ osculateur en un point A d’une parabole $(P)$ d’axe $(d)$ recoupe celle-ci
en un unique point B. Démontrer que les angles que font (OA) et (OB) avec l’axe $(d)$
vérifient
$$ (d,OB) ≡ −3(d,OA) \quad \text{mod} \, \pi .$$
Un cercle $(0)$ coupe une parabole $(P)$ d’axe $(d)$ en quatre points A, B, C, D.
Démontrer que
$$(\overrightarrow{d}, \overrightarrow{OA}) +(\overrightarrow{d}, \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{d}, \overrightarrow{OC}) +(\overrightarrow{d}, \overrightarrow{OD}) \equiv 0 \quad \text{mod}\, \pi, $$
la droite $(d)$ étant orientée arbitrairement.
Solutions des problèmes antérieurs
Problème 503-3
On considère un entier $n \in \mathbb{N*}$ , un nombre premier $p \geq 3$ et un sous-groupe fini G du groupe $GL_{n} (\mathbb{Z})$ des matrices inversibles de taille n à coefficients entiers. Enfin, $\mathbb{F}_{p}$ est le corps $\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}$.
Montrer que l’application naturelle $ \left\{ \begin{array}{1} G \rightarrow
G L_{n}(\mathbb{F}_{p}) \\ A \mapsto A \quad \text{mod} \, p \end{array} \right. $ est injective.
Commentaires et solution de Jean-Philippe Cortier
Problème 504-1 (Moubinool Omarjee, Lycée Henri IV , Paris)
On note $\lfloor \quad \rfloor $ la fonction partie entière et, pour $n \in \mathbb{N*}$ , $p_n$ est le $n$-ième nombre
premier.
Étudier la nature de la série
$$ \sum_{n\geq 1}\dfrac{(-1)^{\lfloor n\sqrt{2}\rfloor}}{p_n}.$$
Réponses de Moubinool Omarjee (Paris) et Pierre Renfer (Saint-Georges
d’Orques)
Problème 504-2 (Ghali Lalami (Marrakech))
Trouver tous les $n \in \mathbb{N}$ tels que $3 ^{n} -2 $ soit un carré parfait.
Réponses de Maurice Bauval (Versailles) et Pierre Renfer (Saint-Georges
d’Orques)
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