par Michael Freund

Ellipses, juin 2011
164 p. en 16,5 × 24, ISBN 978-2-7298-6548-1

Cet ouvrage est issu d’une double expérience pédagogique de l’auteur, spécialiste des logiques non classiques et de leur application aux sciences cognitives.

D’une part, un cours à l’université Paris IV, dans le cursus de « Langue Française et Techniques Informatiques » : à la différence des apprentis mathématiciens, les étudiants de cette licence n’avaient nul besoin d’entrer dans les détails des fondements de la logique, mais il est très vite apparu qu’ils avaient des difficultés dans la pratique du raisonnement et que le cours devait accorder une place importante à l’interprétation des connecteurs et des quantificateurs et au passage langage naturel-langage symbolique.

D’autre part un volet « Inter-Âges » accueillant des auditeurs venus de tous les horizons et ayant rompu depuis longtemps avec la pratique des études.

Le livre contient donc de nombreux exemples, des exercices permettant de vérifier et d’assurer l’assimilation des notions nouvelles, et pour chaque chapitre un résumé dégageant les points essentiels.

Il consacre une place importante à la formalisation du langage naturel et introduit un « langage naturel restreint », intermédiaire entre langage naturel et langage symbolique ; tout au long du texte sont proposés des exemples du passage de l’un à l’autre.

Après une brève introduction comportant un test de neuf items, l’ouvrage est divisé en deux parties :

• I. Logique propositionnelle
  • 1) Le langage naturel restreint
    Connecteurs de base, propositions du langage naturel restreint ;
  • 2) Le langage propositionnel
    Formules, tautologies, contradictions, cas des logiques finies ;
  • 3) Théorèmes, preuves et démonstrations
    Démonstrations axiomatiques, déduction naturelle ;
  • 4) La relation de conséquence en calcul propositionnel
    La notion de monde ; monde et relation de conséquence.
• II. Calcul des Prédicats
  • 5) Le langage prédicatif restreint
    Termes élémentaires, fonctions et prédicats, quantificateurs ;
  • 6) Le langage de la logique des prédicats
    Formules, variables libres, liées, substitutions ;
  • 7) La déduction en calcul des prédicats
    Déduction axiomatique, naturelle en logique du premier ordre, validité des formules et modèles en logique du premier ordre, relation de conséquence ;
  • 8) Théories axiomatiques
    Arithmétique et axiomes de Péano, théorème d’incomplétude de Gödel.

Les solutions des 78 exercices proposés tout au long du texte sont rassemblées à la fin qui donne aussi un index fort utile.

L’auteur signale fort opportunément que, pour présenter une logique simple et accessible à tous, il a utilisé systématiquement l’équivalence entre sémantique et démonstrations formelles pour illustrer des résultats qui sont en fait nécessaires pour démontrer cette équivalence. Ceci lui permet d’introduire directement des notions qu’il serait impossible de faire passer autrement.

Après une entrée fracassante il y a une quarantaine d’années, dans les programmes de la maternelle au lycée, la logique en a rapidement disparu ; le développement récent du calcul des probabilités au collège et au lycée pourrait s’accompagner d’une initiation s’appuyant sur les premiers chapitres de ce livre clair et agréable à lire .

Il rendra des services à tous les étudiants de mathématiques, mais aussi en histoire et géographie, droit, science du langage, en particulier à tous les futurs professeurs tant du premier que du second degré.