Enseigner l’arithmétique au lycée

par une équipe de 14 auteurs de l’IREM de Poitiers

Éd. : IREM de Poitiers, juin 2000
brochure de 276 pages en A4, sous plastique semi-rigide
bonne présentation, très aérée. Intéressante bibliographie (avec une erreur de n° pour un Bulletin APMEP : 421 au lieu de 426)
ISBN : 2-85954-077-6, prix : 75 F sans port (sinon : + 20 F).

Alors que l’APMEP proposera, en Septembre, une brochure d’arithmétique à l’usage du professeur (voir BGV de rentrée), voici un ouvrage plus classique que j’apprécie, lui aussi. Détaillons-le :

• I. « Introduction : De bonnes raisons d’enseigner l’arithmétique » (5 pages).
  De tous temps, la beauté !
  « Un monde fascinant et propre à émerveiller nos élèves ». Les auteurs en donnent des aperçus avec cinq beaux « sapins » de nombres, une suite questionnée, des nombres premiers raccourcissables à droite, permutables, palindromiques, des nombres amis, parfaits, …, d’aguichantes conjectures non résolues, cependant qu’on peut en découvrir facilement…
  Un terrain privilégiée pour certaines techniques de raisonnement (récurrence, disjonction des cas, …).
  De nos jours, des applications techniques et industrielles (clés de contrôle, cryptographie, codes correcteurs d’erreurs, physique théorique, ...).

• II. Les programmes (6 pages) : Troisième, Seconde, TS spécialité.

• III. « Le savoir théorique et le savoir à enseigner » (11 pages). L’ouvrage propose, sans en faire un modèle, un « cours théorique » terminé par les congruences, suivi par les « TP au programme » et des définitions (assorties d’exemples) « pour prendre du recul » (idéal, divers types d’anneaux, ...). J’ai apprécié les commentaires didactiques, sages et clairs autant que directs, ainsi que la pluralité des démonstrations (par exemple, les trois : d’Euclide, Polya, Weil, pour l’infinitude des nombres premiers), celle des formulations (cinq caractérisations du pgcd), celle des cheminements (ainsi « Gauss » possible à divers moments).

• IV. « ÉTUDES DIDACTIQUES ».
  • 1. « Quelles méthodes enseigner en arithmétique ? » (7 pages). L’analyse de deux énoncés d’exercices met en évidence des questions fondamentales d’objectifs et de démarches qui, démystifiant les parachutages, s’explicitent à partir de nouvelles versions d’énoncés (quatre pour le premier). Ces mises en train conduisent à sept relevés de méthodes : pour démontrer que b divise a (8 méthodes), que a et b sont premiers entre eux (4 méthodes), etc.
  • 2. « Étude d’une approche à partir de la lecture d’Euclide » (8 pages).
    Sous-jacente, cette « lecture » n’intervient pas directement. Au départ, un tableau de nombres naturels :
    des colonnes dont les têtes successives amorcent N à partir de 2,
    des lignes avec L1 = 2,3,4,5,..., puis des Lp = p L1.
    De là des observations, démarches heuristiques, conjectures, qui innervent un cours avec des démonstrations. Suivent des propositions d’activités-élèves.
  • 3. « Étude d’une approche suivant Borel » (5 pages). Un tableau initial de trois colonnes : dans la première, on amorce N à partir de 1 ; la seconde propose, en regard, les valeurs numériques de 64n et la troisième les restes de la division par 18.
    Même type d’exploitation que ci-dessus, et sujet d’activités-élèves.
  • 4. « Approche géométrique du cours d’arithmétique » (15 pages).
    Carrelages, quadrillages et leurs nœuds, aires associées, ... nous imprègnent, parfois en plusieurs démarches, des ppcm, pgcd, Gauss et Bézout... Bonjour, Pick !, avec démonstration de sa formule pour un triangle de nœuds..., cependant que nous allons, des nœuds « visibles » ou « cachés » à ceux de Bézout et aux fractions continues. C’est passionnant !
  • Annexe : Les fractions continues (12 pages) avec deux exposés :
    l’un, « moderne », très clair,
    l’autre de Legendre (1795) avec quelques éclairages en regard.
    Le texte de Legendre est sous forme de conférence, avec des « résultats théoriques généralement présentés par illustration sur un exemple. Les algorithmes sont décrits par mise en pratique. Les propriétés sont énoncées en parallèle avec leur exemplification ». On recherche alors des mathématiques aussitôt efficaces !
  • 5. « L’arithmétique et les autres parties du programme, en TS. » (3 pages).
    Exemples d’intervention à propos de courbes (points à coordonnées entières), de dénombrements, de solutions d’équations polynomiales, ..., de géométrie (3 exemples, dont le célèbre « ABC est un triangle rectangle en A tel que AC et AB sont deux entiers. Quels sont les triangles ABC de ce type tels que l’aire et le périmètre soient mesurés par un même nombre entier ? ».

• V. « DES MATÉRIAUX POUR L’ENSEIGNEMENT DE L’ARITHMÉTIQUE ».
  • 1. L’histoire des mathématiques (32 pages).
    Retour à Euclide, cette fois en textes propres (livres VII, VIII, IX) commenté en regard, puis Diophante, Bachet, Viète, Euler, Fermat (théorèmes, descente infinie), Pascal avec cinq grandes pages sur un caractère général de divisibilité par la somme des chiffres (appliqué à 7, puis à 6, etc.), Lagrange et Legendre, puis Gauss avec un texte « limpide et créateur » sur les congruences (six pages englobant une page de Bézout sur une équation du type ax + by = c et parfois affublées de « T, E, D » marginaux qui relèvent de pages antérieures !).
    enfin voici des approximations du nombre d’entiers premiers inférieurs ou égaux à x, et des allusions à Peano, Frege, Hilbert et Gödel...
    De là sont déduites des activités proposées aux élèves à partir du texte de Gauss réduit à ses énoncés, de celui de Pascal. D’autres sont liées à un texte de Laplace sur les systèmes de numération.
  • 2. « Les calculatrices : quelques algorithmes utiles aux élèves » (7 pages).
  • 3. « Usage des tableurs en arithmétique » (29 pages).
    Instructions ; étude d’Excel.

• VI. « UNE APPLICATION DE L’ARITHMÉTIQUE : LA CRYPTOGRAPHIE ».
  • 1. Histoire (des chiffres avant l’informatique) (17 pages).
    Le survol est intéressant. On y découvre un Président des États-Unis (Jefferson) inventeur d’un chiffre. On s’émerveille d’historiques succès militaires, et même d’une déclaration de guerre des USA !, dus à de savants décodages..., tandis que, parfois, ces derniers arrivent après la bataille ! Parmi les chiffres étudiés, celui de Hill utilise des équations (1820), puis des matrices. L’ouvrage aborde ensuite la « cryptologie » moderne avec sa révolution de « clé publique », les systèmes par « empilement » et RSA [Pour savoir de quoi il retourne, si besoin est, se reporter aux articles de D.J. Mercier dans les Bulletins APMEP 406 et 421].
  • 2. « Annexe 1 : test de primalité et cryptographie ».
    F. Salomon signe là une intéressante étude sur des tests de primalité probabilistes établis à partir de « nombres fortement pseudo-premiers » (et de l’indicateur d’Euler). Cf. théorème et algorithme de Rabin : Le test correspondant du système de calcul formel Axiom indique « qu’un nombre est premier avec une probabilité supérieure à 1 - (1/4^10) presque égal à 0,99999905... ».
  • 3. La cryptographie dans les classes.
    Fréquence d’apparition des lettres ; chiffre de Hill ; cryptosystème Vernam ; « sac à dos ».

• VII. UN EXEMPLE DANS LES CLASSES (de traitement du programme d’arithmétique de Spécialité TS).
  Il s’agit de « favoriser l’activité de l’élève, l’observation et la recherche, en valorisant l’aspect expérimental par l’usage d’Excel et des calculatrices ».
  « Le choix des exercices s’est orienté autour de méthodes de démonstration mises en place : analyse-synthèse, disjonction des cas, raisonnement par l’absurde, contraposition ».
  Les progressions sont claires, émaillées de constantes « observations » qui guident, restreignent ou ouvrent, commentent, les choix pédagogiques sont expliqués, les objectifs précisés étape par étape, exercice par exercice, les synthèses fermes. En général, on reste dans le programme (sauf à « en sortir un peu » dans un Exercice 26 : « Vous dites à un ami de multiplier le jour et le numéro du mois de sa date de naissance respectivement par 12 et 31 et d’ajouter les deux produits. Il vous donne alors le résultat. Expliquer pourquoi on peut toujours retrouver les deux nombres. Si le résultat est 170, quel est le jour anniversaire de votre ami ? »).

Ma conclusion : Une brochure excellent outil de réflexion et de travail, qui ne réclame pas de décoller du programme, et utilise ou propose à bon escient les technologies nouvelles.

Apprendre à aimer les Mathématiques

Conditions socio-institutionnelles et élaboration psychique dans les ateliers mathématiques « , par Françoise HATCHUEL (avril 2000)

Éd. Puf. Brochure de 320 pages en 137 • 215. Présentation dense, convenable. Bibliographie (ô combien !). Liste des sigles utilisés ; No ISBN 2-13-050-187-7. Prix : 138 F.

Agrégée de maths, l’auteure (elle s’orthographie ainsi) est actuellement » maîtresse en Sciences de l’Éducation à l’Université, après avoir enseigné en banlieue parisienne.

Issu d’une thèse de doctorat, l’ouvrage en porte la marque : 20 pages de bibliographie, eu égard aux quelque 300 éminents chercheurs cités... Honneur dont ne relève pas l’APMEP, jamais citée, sauf pour trois lignes d’un anonyme Président de l’APMEP, alors qu’elle a joué de 1960 à 1970 un rôle majeur, aujourd’hui continué par ses réflexions sur les problématiques, la rénovation du bac, ..., qui en font, outre ses apports dans le « quotidien », une force de proposition sans égale.

Cela profondément regretté, il n’en reste pas moins que l’auteur a beaucoup lu, assimilé et synthétisé au mieux les travaux de beaucoup de « psy » (psychothérapeutes, psychanalystes, ...), de « socio » (sociologues, sociothérapeutes, ...), de pédagogues et de didacticiens, ... donnant ainsi à ses analyses d’ateliers de solides assises.

Féministe, elle s’investit dans « une écriture incluant le féminin » (Exemple : « le(la) lecteur(trice) ... ») assez pénible. Conformément à la mode, elle authentifie ses thèses par des mots à mots d’entretiens cliniques avec les élèves, son humour la portant à des extraits ... savoureux (" Un matheux, c’est un savant fou qui parle compliqué « , dit un élève à propos d’un » chercheur « co-responsable d’un Atelier...).

 » Grâce à l’analyse du discours d’élèves engagés dans des « Ateliers mathématiques » ", Françoise Hatchuel va nous « parler de réussite et d’échec en maths, d’engagement, de rapport au savoir et d’accompagnement » en soulignant « qu’être seul(e) face au Savoir, particulièrement en mathématiques, c’est difficile ». Or « cela s’apprend : c’est une question de structure psychique. On y » croit « si on a, ancré en soi, des raisons de penser que l’on peut y arriver ; lorsqu’on a vécu l’expérience de la réussite ou qu’on vous l’a transmise, et que l’on sait que les difficultés peuvent être surmontées ; ou lorsqu’on vous aide à le savoir. »

Rappelant que « les ateliers souhaitent permettre une meilleure appropriation des mathématiques en offrant aux élèves l’occasion d’une pratique mathématique s’inspirant de la pratique de recherche’ professionnelle », Françoise Hatchuel souligne que, « parce qu’ils se situent à la marge du système scolaire traditionnel, les ateliers mettent à jour, » en creux « , quelques éléments du fonctionnement de ce système ». Les ateliers " serviront donc de loupe permettant d’examiner le fonctionnement de l’institution « enseignement secondaire » ". À partir « du discours des élèves » sur leur pratique au sein des ateliers, Françoise Hatchuel veut « travailler sur les enjeux symboliques et imaginaires » et « pour cela, replacer l’apprentissage des mathématiques dans son contexte historique, sociologique et théorique, avant d’aborder l’analyse des entretiens d’élèves dans une perspective clinique ».

 Mon compte-rendu insistera plus sur les parties les plus ... titillantes -

• PREMIÈRE PARTIE. « CONTEXTE » :
  • Chapitre 1 (20 pages) « Les mathématiques dans l’enseignement : approche historique ».
    De Napoléon à la Réforme de 1902, en passant par Fortoul et « l’enseignement spécial », le « Secondaire moderne » en parallèle au « Primaire supérieur », la bifurcation (1890) philo- math-élem, ..., l’enseignement des sciences émerge par à-coups entrecoupés de reculs ou d’effacements. Vient 1902 et le « Principe de l’égalité scientifique », abandonné en 1937 et 1941...
    Les décennies 1960-70 nous valent la réforme des Math Modernes, tancée par Françoise Hatchuel : « Il semble que le sens se soit perdu au profit d’un formalisme abscons qui ne s’enseignait plus que pour lui-même. L’abstraction devient une fin en soi, et non plus un moyen »...
    Depuis est venue « l’incantation miracle » : « 80% d’une classe d’âge au bac », « ce qui a entraîné un processus de massification de l’enseignement sans précédent » ..., « car la massification n’implique pas forcément la démocratisation »... Françoise Hatchuel pointe les difficultés corrélatives d’enseignement, relate les enquêtes de « Maths à venir » (j’ajoute : où figurait l’APMEP) et « une certaine dynamique de réflexion relayée par les réseaux d’enseignant(e)s de mathématiques (puis-je y voir l’APMEP ? les IREM ?), dont l’organisation structurée a toujours été particulièrement efficace ».
    « Maths à venir » déplorait, en 1988, un enseignement des mathématiques « qui ne permet ni l’émergence de mathématicien(ne)s de qualité, ni l’appropriation par la plupart des concepts mathématiques essentiels ». De là, dit Françoise Hatchuel, les questions clés : « Quel projet de société pour quel enseignement scientifique ? », « Comment présenter le savoir en fonction des objectifs qu’on lui attribue ? » [Dommage que Françoise Hatchuel ne connaisse pas nos « Chartes » et autres textes APMEP !].
  • Chapitre 2 (30 pages). « La situation actuelle ».
    Françoise Hatchuel y étudie « la représentation des sciences chez les jeunes », « l’image des mathématiques », « la sélectivité de l’accès aux sciences et aux maths » (avec dénonciation du pouvoir des « experts »). Elle prône « une mise en culture de la science ».
    ... Citant Escol (Bautier-Charlot-Rochex-...), elle situe deux rapports au savoir :
    l’" épistémologie «  : le savoir est érigé n objet autonome,
    l’ » identitaire «  : on ne sait pas se détacher des conditions de production, d’apprentissage et de présentation.
    Neuf pages traitent de filles et maths, fort bien, avec un éventail d’explications : psychiques (freudiennes entre autres), de structures et de comportements au sein de l’école.
  • Chapitre 3 (30 pages). » Pratiquer des mathématiques : pour quoi faire ? « .
    Françoise Hatchuel analyse l’intérêt de » la pratique « , les pédagogies I.C.E.M. (Freinet) et G.F.E.N., la notion d’activité et ses dérives, les apports des didacticiens, les théories de » De Vecchi-Giordan « , ... Ce dernier » montre que les méthodes dites « actives » ou de « redécouverte » sont en fait extrêmement dogmatiques, puisque l’ordre et la nature des questions déterminent à l’avance des cheminements précis vers un savoir obligé, en évacuant, faute de temps souvent, les idées des élèves « .
    D’autre part, De Vecchi et Giordan » renvoient dos à dos pédagogies traditionnelles et pédagogies nouvelles, les unes parce qu’elles tentent de plaquer arbitrairement un savoir déjà constitué dans des esprits qui ne sont pas prêts à les accueillir [sauf cas de « même longueur d’onde » entre transmetteur et receveur], les autres parce que, à vouloir prétendre faire découvrir à l’enfant les connaissances, elles en oublient ce qu’un vrai savoir demande de structuration « .
    Françoise Hatchuel analyse ensuite l’intérêt des » situations-problèmes « , du » contrat didactique « , des » situations a-didactiques « (cf. Guy Brousseau), ... et ajoute » les ateliers, en n’annonçant aucun projet d’enseignement portant sur des contenus spécifiques, constituent un cas extrême de situation a-didactique, permettant aux élèves de se confronter à la réalité « brute » des mathématiques... « .
    Mais, d’après Françoise Hatchuel, » la didactique, en se centrant sur les apports cognitifs de l’apprentissage, et sur les conditions didactiques et les situations d’enseignement, oublie que celui-ci s’enracine dans l’ensemble de l’expérience du sujet « . En opposition, de belles pages sur les travaux de L.S. Vygotsky ( » zone proximale de développement « ), A. Léontiev et Y. Galpérine » montrent comment l’apprentissage s’enracine à la fois dans l’interaction et dans le vécu subjectif de l’apprenant(e) « et amorcent des » approfondissements dans ces deux directions « .
    En ce riche paysage, je note des valorisations de » l’apprentissage par les problèmes « et l’apparition du » droit à l’erreur « [cette prescription lapidaire ne mériterait-elle pas ... d’être contextualisée ?] lorsqu’on » passe à un paradigme dogmatique à un paradigme non dogmatique (ou scientifique) « ...
  • Chapitre 4 (33 pages). » Le rapport au savoir : un processus qui engage l’ensemble du psychisme « .
     » C’est l’équilibre entre l’envie de savoir et la peur d’apprendre qui détermine, au moins en partie, la réussite de l’apprentissage « . Faciliter celle-ci » peut donc être soit d’augmenter l’envie de savoir, soit diminuer la difficulté inhérente à l’apprentissage « ...
    Françoise Hatchuel multiplie les apports d’éminents psychothérapeutes, sous-thérapeutes, de Freud à F. Imbert (... » les enfants bolides « , ...), D. Favreau, ..., et, surtout, G. Mendel, avec, entre autres, » Acte Pouvoir « , » Idéal du Moi « , loi » surmoïque « , » espace transitionnel « (qui aide à assumer une perte),... C’est très intéressant...
    Mais nous allons vers » une autre société « . À partir » de cinq axes principaux « où F. Nimier » reprend deux à deux différentes conceptions des mathématiques « [voici le cinquième : » les mathématiques objet en construction, ou au contraire loi-vérité « ], Françoise Hatchuel analyse ensuite différents rôles possibles des maths vis-à-vis du Surmoi, du Moi-Idéal, de l’Idéal du Moi, du Moi, ... et , cf. Blanchard-Laville et Berdot, les envisage même comme » support pour une action thérapeutique «  : » Car, d’une façon générale, à travers le rapport aux mathématiques se posent toujours des questions touchant à la vérité, aux origines, aux relations [...] ou transformations [...] (n’oublions pas à quel point les mots « addition », « soustraction », « multiplication », « division » peuvent faire sens pour l’inconscient). Le sujet exprime là sa fantasmatique « .
    ... » Enfin, si l’on suppose, par ailleurs, avec J. Nimber, que les différents modes de relation aux mathématiques peuvent coexister dans tout groupe d’apprenant(e)s, on peut également imaginer que la plus grande souplesse de l’atelier permette à chaque élève d’établir au fonctionnement plus autonome et correspondant au mieux à ce qu’il(elle) attend des mathématiques... « .

• DEUXIÈME PARTIE ; » LE DISCOURS DES ÉLÈVES « .
  • Chapitre 1 (20 pages). » Le cadre de la recherche : organisation des ateliers et choix d’une approche clinique « .
    (Il y est question, sur une mode » anonyme « , de » L’Association « junior-maths » "...)
  • Chapitre 2 (32 pages). « Le plaisir d’un nouveau mode de travail ».
    Plaisir d’accéder « à un monde inconnu » (de la recherche), de s’organiser soi-même, ... de liberté et d’autonomie, avec « droit à l’erreur », ... de croissance intellectuelle, ... de cohabitation jeu-travail, ... d’enseignants plus éducateurs, ...
  • Chapitres 3 et 4 (50 et 48 pages). « Un plaisir qui n’exclut pas difficultés et malentendus » et « Une mobilisation qui participe de l’ensemble de l’expérience ».
    C’est très critique vis-à-vis :
    • des chercheurs co-responsables : peu présents, inintelligibles, parfois « sadiques » lors d’exposés d’élèves contant leurs travaux, ...
    • du « niveau » des Ateliers : sans recherches, ou trop difficiles !
    • d’interventions trop contraignantes des enseignants (et on n’ose pas leur dire « non »),
    • des comportements d’élèves, trop superficiels ; « des mathématiques, le plaisir de la recherche, de la difficulté vaincue, oui, mais pas au prix d’un trop grand effort »... [avec une amusante remarque de Françoise Hatchuel à propos d’une fille jouant de sa déduction : celle-ci « ne serait alors peut-être qu’un moyen, finalement, de se soumettre d’une façon plutôt agréable »...],
    • des conséquences psychiques des abandons en cours d’année,
    • de la déconnexion Ateliers-Classes « normales » : « En revanche, on peut imaginer qu’un questionnement mutuel de la classe et de l’atelier, en interrogeant la pratique de la classe, contribuerait à la mise en place d’activités mobilisatrices pour tous les élèves : les entretiens des enseignant(e)s montrent bien en quoi la position institutionnelle de l’atelier, objet singulier et isolé dans une institution par ailleurs infantilisante, rend difficiles de telles pratiques en renforçant l’illusion de toute-puissance d’enseignant(e)s par ailleurs mal à l’aise face aux contradictions de la classe ordinaire… ».

Bref il y a loin de la coupe aux lèvres.

• « CONCLUSION » (12 pages).
  Françoise Hatchuel insiste sur le double aspect positif et illusoire des Ateliers, illusoire s’il n’engendre pas un questionnement généralisé sur « enseigner » et « apprendre ». Cela débouche sur une mise en cause radicale de la formation des enseignants : Françoise Hatchuel suggère « une redéfinition du métier sur une base d’enseignement et non plus sur une base disciplinaire » : « devenir avant tout enseignant(e), formé(e) ensuite à différentes spécialisations qui dépendront, bien entendu, de la discipline, mais également en partie du niveau d’enseignement ou du type d’établissement ? ». « On peut, en effet, se demander si les différences entre les enseignements des maths en classe préparatoire ou dans un collège de la banlieue parisienne ne sont pas au moins aussi importantes que celles qui existent entre l’enseignement des maths et celui du français dans le même collège. On peut alors considérer que le cloisonnement disciplinaire empêche la formation d’un véritable corps enseignant et contribue à l’infantilisation des enseignant(e)s en limitant l’élaboration collective d’une réflexion sur les valeurs, les enjeux et les contraintes du métier ».
  Propositions iconoclastes ! mais à ne pas balayer d’un revers de main tant elles entrent dans une réflexion tellement nourrie que j’aurais aimé citer tout le livre !!

Géometries élémentaires — tome 1

par Henri Lombardi. Collection « Didactiques », Éd. Presses Universitaires Franc-Comtoises (1999). Diffusion par C.I.D.

Brochure de 286 pages (sur papier glacé) en 158 • 220. Très bonne présentation. Index. Bibliographie.

No ISBN : 2-913322-45-X. Prix : 110 F.

D’emblée (" Présentation « ), l’auteur précise qu’il » entend par géométries élémentaires des géométries qui peuvent se traiter au moyen d’outils essentiellement algébriques et pas trop sophistiqués d’une part, et qui présentent une grande régularité d’autre part ; Cette grande régularité se traduit par l’existence de groupes de transformations assez gros qui conservent la structure géométrique « ... Plus tard, à propos du triangle, Henri Lombardi précisera : » le vocable « élémentaire » signifie qu’il n’est fait appel qu’aux notions élémentaires de distance, angle et aire, et non pas que les résultats sont faciles à établir « cependant que » les preuves, même ardues, ne font pas appel à des mathématiques très compliquées « .

Pour l’auteur, » les géométries élémentaires comprennent tout d’abord les différentes géométries métriques planes régulières : euclidienne, sphérique (et elliptique), hyperbolique (plan de Lobatchevski, Bolyai, Beltrami, Klein, Poincaré et Cie), aussi les géométries affine, projective et circulaire, enfin les géométries d’espace-temps, galiléennes ou einsteiniennes « . Rassurons-nous : ce tome 1 laissera du pain sur la planche...

L’auteur » considérera trois grandes méthodes :

• les groupes de transformation,
• le calcul vectoriel et barycentrique,
• le calcul sur les coordonnées

[...]. Un but de ce cours est de rendre concrètes ces quelques méthodes géométriques ainsi que les rapports qui les relient « .

 » L’utilisation de différents groupes de transformation permet une réelle organisation du matériau géométrique « . » Les plus directement liés à la géométrie élémentaire sont le groupe affine, celui des similitudes, celui des isométries et certains de leurs sous-groupes « . Mais, » pour que se manifeste réellement la puissance de la méthode « , Henri Lombardi aborde aussi les transformations projectives (ou homographies) et les transformations circulaires.

Un tel point de vue n’a pas grand chose à voir avec celui de naguère, ni avec l’enseignement actuel de la géométrie dans le Secondaire. Il s’agit, non pas de multiplier les études des figures pour en déduire une foule de beaux résultats » inattendus « , quitte à faire intervenir comme outils les transformations géométriques les plus simples, mais de structurer les diverses géométries en traitant, comme leurs objets essentiels, des transformations géométriques associées.

Ce qui fait que » les beaux résultats « relatifs aux figures sont ici très rares. Non pas inexistants : le théorème de Pascal se pavane en plusieurs endroits, et j’ai noté l’enthousiasme de l’auteur pour » un petit miracle « relatif à une propriété de cordes d’un cercle apparue à propos de droites hyperboliques symétriques dans le modèle de Beltrami (c’est effectivement très beau, et superbement démontré, dans un chapitre ultérieur, en une courte évolution de birapports). De plus, l’ouvrage est riche de dessins bien faits et légendés. L’auteur insiste : » On ne peut faire de géométrie sans dessins. Le mieux est de ne pas garder ses dessins dans la tête, mais de les mettre sur papier. « Suit la liste du matériel minimal utile, qui n’oublie pas » des mains propres « , ...

Henri Lombardi accorde une place assez importante aux commentaires, au sens, à la discussion des définitions ». Oui, excellemment. Les choses essentielles sont tournées et retournées dans tous les sens, en des approches multipliées, certaines « informelles », en précédant d’autres plus théoriques. On trouvera, par exemple, quatre définitions (commentées) du plan réel affine avec, pour finir, l’exercice : « Démontrer qu’elles sont équivalentes »). Et le reste à l’avenant.

La façon de commenter et le style, plein d’humour, établissent facilement une connivence entre l’auteur et le lecteur. Le lecteur ? Voire plutôt « la lectrice » C’est à elle qu’Henri Lombardi s’adresse le plus souvent ! « Nous invitons la lectrice à ... ». « Question à la lectrice : Que se passe-t-il si on remplace l’une des inégalités strictes dans [...] par une égalité ? », ... « Détails laissés à la lectrice », etc. Mais il y a, parfois, partage des tâches, tel exercice est « réservé aux angoissés de la rigueur et aux passionnées du calcul algébrique ». J’en déduis qu’une lecture en couple hétéro pourrait s’imposer, avec un risque ... encouru par Paulo Malatesta et Francesca Rimini (Dante. La Divine Comédie) : « Et, ce jour-là, ils ne lurent pas plus avant... » ? ... Il est vrai qu’ici la prose mathématique rend le risque moindre...

Après avoir décrit les mérites de « l’extrêmement rigide » géométrie élémentaire classique, Henri Lombardi déclare, dans l’INTRODUCTION GÉNÉRALE, « vouloir donner le parfum et le goût » des « géométries sphérique, elliptique et hyperbolique, qui ont de très grandes ressemblances avec la géométrie euclidienne, mais qui présentent néanmoins des différences significatives faciles à appréhender ». Et c’est bien là que ce livre, destiné d’abord aux « étudiants de deuxième cycle », peut toucher les enseignants du secondaire : il leur fournira, en contrepoint, valorisations et ouvertures de la géométrie euclidienne. Il leur permettra aussi de voir ce qui, en celle-ci, reste vrai ou se transporte aisément d’une géométrie à l’autre, ou ce qui lui est contingent, sans oublier, comme le souligne Henri Lombardi, « le cadre unificateur » de la géométrie circulaire qui « peut, en outre, être traitée au moyen des inversions »...] ou au moyen des transformations projectives [...] « . De plus une formation minimale en algèbre linéaire en dimension finie sur les réels ou les complexes suffira pour apprécier énoncés, preuves et panoramas...

L’INTRODUCTION GÉNÉRALE, après les remarques générales, une bibliographie de 12 titres, et un petit tableau de dates, insiste (6 pages) sur » groupe opérant sur un ensemble, sur un groupe « .

Puis, » la structure affine ayant été inventée [par élagage] à partir de la structure euclidienne « , voici l’ordre du livre :

• CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE PLANE. LE PLAN EUCLIDIEN COMME ESPACE MÉTRIQUE.
  À partir de R2, vu » schizophréniquement « comme un ensemble de points ou un ensemble de vecteurs, Henri Lombardi développe » le modèle standard du plan euclidien et son groupe d’isométries « (11 pages), puis » la géométrie d’un plan euclidien arbitraire « (13 pages). deux » théorèmes fondamentaux «  : le premier sur les isométries comme produits de symétries orthogonales, le second comme » propriété de libre mobilité « . Un » théorème 7 « final n’est autre que celui des angles inscrits dans un cercle.

• CHAPITRE 2. GÉOMÉTRIE AFFINE PLANE RÉELLE.
  L’Introduction précise que » le groupe des homothéties-translations est celui qui fonde la géométrie affine « , mais que » le groupe des transformations affines est beaucoup plus vaste « . Suit cette remarque du plus grand intérêt dès le Secondaire [Ne chassons plus systématiquement les » figures particulières « , mais exploitons-les !] : » Le groupe des transformations affines ne révèle cependant sa pleine efficacité que dans le cadre de géométries autres que la géométrie affine. Par exemple, s’il est intéressant de voir que deux triangles non aplatis sont toujours « égaux » du point de vue affine, cela n’a de véritable portée que lorsqu’on en déduit que toute propriété affine d’un triangle peut être démontrée en se limitant au cas du triangle équilatéral. plus spectaculairement, toute propriété affine d’une ellipse peut être démontrée en se limitant au cas du cercle. Mais « cercle » et « triangle équilatéral » ne prennent de sens que dans un plan euclidien « .
  • a) » Qu’est-ce qui reste dans un plan euclidien quand on a perdu l’unité de longueur ? « (10 pages) (..., homothéties, similitudes, ...).
  • b) » Applications et transformations affines « (4 pages), avec mention de la transvection et de la biaffinité (produit d’une affinité de rapport h et d’une affinité de rapport k, l’axe et la direction étant échangés).
  • c) » Propositions de définitions pour un « plan réel affine », notion apparue lorsqu’on a cherché à classer les problèmes « (3 pages). On y » oublie tout ce qui est lié à l’égalité des longueurs ou des angles « .
  • d) » Les implicites géométriques du calcul vectoriel « (2 pages - où l’on retrouve le Thalès-triangle -).
  • e) » Aires et déterminants « (3 pages), avec l’invariance des rapports d’aires algébriques par transformations affines [cas particulier : l’égalité d’aires par » symétrie oblique « ], et la remarque d’Henri Lombardi : » En fait, il est naturel de « comprendre » avant tout le déterminant en dimension 2 comme une aire algébrique de parallélogramme, en dimension 3 comme un volume algébrique de parallélépipède et, en dimension n, comme la généralisation de la notion de volume algébrique « .
  • f) » Théorèmes structurels « (6 pages), avec la question » Qu’est-ce qui reste dans un plan euclidien quand on a perdu l’orthogonalité ? « , les générateurs et automorphismes du groupe affine, le groupe des isométries comme sous-groupe du groupe affine, ...

• CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE AFFINE DE DIMENSION n SUR UN CORPS COMMUTATIF.
  • a) Généralités (9 pages) : ..., structure affine d’un espace vectoriel, hyperplans, dualité.
  • b) Calculs dans les espaces affines (5 pages) - dont » le calcul barycentrique « -.
  • c) Le groupe affine (3 pages). Pour donner une idée du langage à maîtriser, je citerai :
    •  » Exercice 1 : Montrer que les transvections d’hyperplan F forment un groupe commutatif isomorphe à . Décrire la structure du groupe des transformations affines qui fixent tous les points de F sous forme d’un produit semi-direct, le sous-groupe distingué étant celui des transvections « .
    •  » Théorème 1 : (symétries). Supposons que dans le corps K on ait 2 ‚ 0. Soit s une transformation affine de E, de carré l’identité. Alors il existe un sous-espace affine F de E et une direction , sous-espace supplémentaire de dans , tels que s soit la symétrie par rapport à F dans la direction « .
  • d) Espaces affines réels et complexes (4 pages).
  • e) Relations d’incidence dans l’espace affine en d
    dimension 3 : géométrie affine synthétique (13 pages), » réécriture « concrète » du très beau traitement « abstrait » de la même question qu’on trouve dans « Algèbre commutative » d’E. Artin « , avec les groupes des translations, des homothéties-translations, ...

• CHAPITRE 4. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE DANS L’ESPACE (de dimension 3).
   » Comme c’est moins fatigant « que de suivre l’ordre inverse :
  • a) Produit scalaire [cf. Ch. 1], distance, orthogonalité (4 pages).
  • b) Isométries de l’espace euclidien (12 pages) : Deux » théorèmes fondamentaux « , comme au Ch. 1 ; groupe des rotations fixant un point, des déplacements ; ... ; isométries : classification, forme analytique.
  • c) Similitudes, transformations affines (4 pages).
  • d) Théorèmes structurels (2 pages) (structures affine et euclidienne).
  • e) Généralisations (2 pages) soit en remplaçant R par » un autre corps ordonné ayant des propriétés algébriques suffisamment agréables « , soit » en passant à une dimension finie quelconque « , avec, encore, les deux » théorèmes fondamentaux « de décomposition d’isométries et de libre mobilité.

• CHAPITRE 5. GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE DE LA SPHÈRE.
  Les propriétés étudiées ici ne dépendent que » de la métrique naturelle de la sphère et non de son plongement dans l’espace euclidien de dimension 3 « . Elles sont » extrêmement voisines de celles du plan euclidien « (groupes d’isométrie).
  • a) Propriétés élémentaires de la distance (17 pages). Ce sous-titre est trop restrictif. Après des définitions de » plan sphérique « , ..., » droite « (grand cercle), ..., » distance « , » cercle « (avec ses deux centres antipodaux), , » médiatrice « , » biangle « (ou fuseau), » triangle « (dont le » triorthogonal « ), voici établis simplement (entre autres) :
    • la somme des angles d’un triangle [formule en ce Bulletin, page , note ] (en admettant » la notion d’aire d’un triangle « ou de » toute surface raisonnable « [...] » comme non problématique « ),
    • la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique,
    • une » géométrie élémentaire du triangle sphérique « ,
    • l’aire d’une figure sphérique [avec une mise en garde analogue à celle qui permet de contrer le célèbre » longueur du demi-cercle = diamètre « ].
  • b) Les isométries de la sphère (10 pages) : Toujours les deux » théorèmes fondamentaux «  ; des questions d’orientation » difficiles « , traitées » de manière plutôt intuitive «  ; ... ; des émergences » d’originalités «  :
    •  » la symétrie antipodale ne fixe aucun point, mais fixe toutes les droites. Elle n’est l’analogue d’aucune symétrie du plan euclidien « ,
    • deux rotations inverses l’une de l’autre sont également dans une situation différente du cas du plan euclidien.

• CHAPITRE 6. ESPACES GÉOMÉTRIQUES (10 pages).
  Un tel espace » est un espace métrique complet où la distance représente la longueur d’un plus court chemin d’un point à un autre « .
  Un espace métrique est » excellent « quand » deux points peuvent toujours être joints par un chemin dont la longueur est leur distance « , autrement dit : il n’a pas de trous...
  Une notion intéressante est celle » de plus grande proximité « [pratiquée sans doute par les joueurs de pétanque].

• CHAPITRE 7. DROITE PROJECTIVE RÉELLE, HOMOGRAPHIES.
  • a) Introduction (4 pages) : perspective d’une droite ; paramétrages rationnels d’un cercle ; …
  • b) Droites projectives, homographies, birapport (10 pages). Deux définitions de la structure de droite projective réelle : » la première est plus proche de la pratique mathématique lorsque celle-ci conduit à attribuer cette structure à tel ou tel objet « [le cercle par exemple], mais » elle ne fait pas assez sérieux « vis-à-vis de l’univers cantorien.
    Henri Lombardi règle alors leur compte aux » gens sérieux « à propos de leurs définitions des entiers, de *, ... » qui montrent que ni Gauss, ni Riemann, ni aucun mathématicien avant Bourbaki n’était vraiment « sérieux » ".
  • c) Le groupe des homographies d’une droite projective (9 pages), ... où l’on rencontre la division harmonique ... avec « un petit calcul [final] laissé à la lectrice courageuse », les involutions d’une droite projective réelle, d’un cercle (avec « un théorème non trivial de géométrie élémentaire du cercle à déduire du produit de trois involutions »).
    Ici encore deux « théorèmes fondamentaux » sur la caractérisation des homographies du groupe, sur les homographies comme produits d’involutions.
  • d) Intersection de deux faisceaux de droites en homographie dans un même plan affine (9 pages), avec intervention des coniques.
  • e) Théorèmes structurels (1 page). Deux théorèmes : le premier caractérisant une homographie par une conservation des divisions harmoniques, un second qui sera prouvé lorsqu’on « interprétera le groupe d’homographies d’une droite projective réelle comme groupe des isométries d’un plan hyperbolique.

• CHAPITRE 8. INTRODUCTION AU PLAN HYPERBOLIQUE ET À SES MODÈLES.
  • a) Quelques propriétés intuitives inévitables du plan hyperbolique (11 pages). Notamment :
    •  » géométrie des puzzles « (= géométrie des objets solides plans) » déplaçables en conformité avec la propriété de libre mobilité « ,
    •  » figure projective [niant « le cinquième postulat »] fondatrice de la géométrie hyperbolique « avec ses parallèles » convergentes « ou » divergentes « ,
    • formule liant l’aire et les angles d’un triangle,
    • points et droites à l’infini,
    • modèle de Beltrami : les points du plan hyperbolique sont représentés par ceux intérieurs à un disque du plan euclidien. Les cordes du cercle frontière sont les droites du plan hyperbolique. Les points du cercle sont les points à l’infini du plan hyperbolique et leur structure est celle d’une droite projective réelle.
  • b) Droites euclidiennes, elliptiques et hyperboliques (15 pages). Des analogies profondes sont explicitées entre droites euclidiennes, cercles euclidiens, droites hyperboliques.

• CHAPITRE 9. LE PLAN HYPERBOLIQUE VIA LE MODÈLE DE BELTRAMI.
  • a) Le modèle de Beltrami : déplacements et antidéplacements du plan hyperbolique (31 pages) [réunis sous le nom de » placements « ].
    Incidemment, l’étude des symétries permet une définition de l’orthogonalité, voire des parallèles divergentes. Ici encore, nos deux » théorèmes fondamentaux «  : placements comme produits de symétries orthogonales et propriété de libre mobilité.
    À noter deux belles classifications des déplacements et antidéplacements (quels sont les éléments fixés ?) avec une intervention des » horocycles « , et une étude de la somme des angles d’un triangle (inférieure à * et l’aire du triangle est proportionnelle à l’écart entre la somme de ses angles et *).
  • b) Structure projective du plan hyperbolique (16 pages). Ici interviennent les » cycles " (ensembles des points symétriques d’un point donné par rapport aux droites d’un faisceau), avec les trois cas des faisceaux elliptiques, paraboliques, hyperboliques.
  • c) Le plan hyperbolique comme espace géométrique (6 pages) avec une distance définie comme un log, ... et une troisième définition du plan hyperbolique réel...
  • d) Théorèmes structurels (4 pages) avec, au début, une caractérisation en termes d’incidence des symétries-points, des milieux d’un segment ou de deux droites divergentes, de l’orthogonalité de deux droites.

MA CONCLUSION :

Probablement très pris par son sujet, Henri Lombardi y est comme un poisson dans l’eau, heureux de conter, avec peu de calculs, ses géométries et la vie de leurs groupes de transformations. Un beau livre du Supérieur et de culture... En redisant, de plus, que, largement déphasé par rapport à l’esprit et à la lettre des programmes du Secondaire, cet ouvrage n’en apporte pas moins une compréhension de leurs ressorts internes, et de séduisantes ouvertures dont certaines pourraient avec bonheur être proposées aux élèves, en activités de découverte, avec un langage adapté.