Exercices

Exercice 488-1 : Bruno Alaplantive – Calgary
L’association maintient le cap : Pour les maths !

${CAP \over PLM}=.APMEP\ APMEP \ APMEP ...$

Dans cette fraction et sa notation décimale, de période de longueur 5, chaque lettre représente un chiffre différent.
La notation est à l’anglo-saxonne avec un point à la place de la virgule et le zéro n’est pas écrit.
À l’instar de notre chère centenaire, la fraction est naturellement irréductible !
Déterminer la solution et son unicité.

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Exercice 488-2 : Amstramgram ? (d’après des olympiades australiennes de 1993)

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, les sommets d’un triangle ABC sont de coordonnées entières. Les côtés ne portent aucun autre point de coordonnées entières et il n’y a qu’un seul point, G, de coordonnées entières à l‘intérieur du triangle.
Prouver que G est le centre de gravité du triangle.
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Exercice 488-3 (issu de la compétition austro-polonaise de
mathématiques de 1994)

La fonction f définie sur $\mathbb R$ est telle que pour tout nombre réel x, on a :

$$f(x+19) \le f(x)+19 \ \ \ \text{et}\ \ \ f(x+94) \ge f(x)+94$$

Montrer que pour tout x de $\mathbb R$, on a : $f(x+1)=f(x)+1$
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Exercice 488-4 : L’exercice de géométrie (d’après des olympiades
canadiennes de 1997)

Un parallélogramme ABCD et un point intérieur O sont tels que

$$\widehat {AOB}+\widehat {COD}=180^\circ$$

Prouver que l’on a $\widehat {OBC}=\widehat {ODC}$
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Solutions

Exercice 486-1 : Un classique sous contrainte

Construire le point M de (d) qui minimise MA + MB, sans sortir du cadre.

Autre solution

Exercice 486-2 : B. Lefebvre – Namur

Démontrer le critère de divisibilité par 7 suivant.
Le reste de la division d’un nombre entier par 7 s’obtient par cette méthode peu connue : on multiplie le premier chiffre de gauche par 3, puis on ajoute le chiffre suivant ; on multiplie le résultat par 3, puis on ajoute le chiffre suivant ; et ainsi de suite.
Le calcul se simplifie, si l’on prépare le nombre proposé en retranchant 7 à chacun de ses chiffres supérieurs ou égaux à 7 et si, dans le cours de l’opération, on retranche à chaque résultat avant de le multiplier par 3 le nombre 7 ou tout multiple de 7, s’il s’en trouve.
Par exemple, soit N = 196 874, ou 126 104.
1 × 3 + 2 = 5 ; 5 × 3 + 6 = 21, ou 0 ; 0 × 3 + 1 = 1 ; 1 × 3 + 0 = 3 ;
3 × 3 + 4 = 13 ou 6 ; R = 6.

Exercice 486 - 3 : M. Guisnée – Paris

Soient un segment [AB] et (d) sa perpendiculaire en A. On choisit un point M pris sur (d) et on construit le point P de la demi-droite [MB), qui n’appartient pas au segment [MB] qui vérifie : $PB \times BM = AB^2$.
Déterminer le lieu de P lorsque M varie sur (d).
(Donner, si possible, une solution par géométrie analytique
et une solution « purement » géométrique).

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